第三章图形的平移与旋转讲义北师大版八年级数学下册

这是一份第三章图形的平移与旋转讲义北师大版八年级数学下册，共8页。
图形的平移与旋转平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．要点诠释：（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.性质：图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等；            （2）平移后，对应角相等；（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等；      （4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变.要点诠释：（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.例1．如图，将三角形ABC水平向右平移得到三角形DEF，A，D两点的距离为1，CE＝2，∠A＝70°．根据题意完成下列各题：（1）AC和DF的数量关系为　        　；AC和DF的位置关系为　        　；（2）∠1＝　      　度（3）BF＝　   　．  变式：如图，将△ABC沿着某一方向平移一定的距离得到△DEF，则下列结论：①AD＝CF；②AC∥DF；③∠ABC＝∠DFE；④∠DAE＝∠AEB．其中正确的是（　　）A．仅①② B．仅①②④ C．仅①②③ D．①②③④    作图：平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．(1)定：确定平移的方向和距离；                              (2)找：找出表示图形的关键点；(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；    (4)连：按原图形顺次连接对应点．例2.如图，将△ABC平移，可以得到△DFE，点C的对应点为点E，请画出平移后的△DFE．例3. 如图，将△ABC先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到△A'B'C'，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（﹣4，﹣1），（﹣5，﹣4），（﹣1，﹣3）．（1）分别写出点A'，B'，C'的坐标；（2）求△A'B'C'的面积；（3）若△A'B'C'是由△ABC经过一次平移得到的，请指出这一次平移的方向和距离．   变式：如图，△A′B′C′是△ABC经过平移得到的，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣4，﹣1），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣3），△ABC中任意一点P（x1，y1）平移后的对应点为P′（x1+6，y1+4）（1）请写出三角形ABC平移的过程；（2）写出点A′，C′的坐标；（3）求△A′B′C′的面积．  多变题型1．如图，将Rt△ABC沿AB方向平移得到Rt△DEF，已知BE＝6，EF＝8，CG＝3，求阴影部分的面积．2．如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为　     　．3．如图，A，B的坐标分别为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为（　　）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，4） D．（4，1）旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.例1. △ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）若M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？变式：如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是BC边上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，则旋转中心是点　   　，∠BAD的对应角是　       　，线段AD的对应线段是　     　，∠DAE＝　      　°．旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；　　(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　(3)旋转前、后的图形的形状与大小不变.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.例2. 如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与A是对应点，点B′与B是对应点，点B′落在边AC上，连接A′B，若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，则A′B的长为 　              　．变式：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（　　）A．AC＝DE B．BC＝EF C．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：　步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；   (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；        (4)连接所得到的各对应点.例3. 如图，四边形ABCD绕点O旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B，C，D的对应点的位置以及旋转后的四边形．  多变题型1．如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝63°，∠ACB＝25°，求∠FGC的度数．   2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．（1）求证：△BDC≌△EFC；（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°． 3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，2）．（1）将△ABC以原点O为旋转中心旋转180°得到△A1B1C1，画出旋转后的△A1B1C1．（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（3，﹣3），画出平移后的△A2B2C2．（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．4．如图，等边三角形ABC内有一点O，已知OA＝4，OB＝3，OC＝5，求∠AOB的度数．5．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝　                  　．中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；    （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合.中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。例1. 如图，△ABC与△DEF关于点O对称，请你写出两个三角形中的对称点，相等的线段，相等的角．变式：如图，△ABC与△A′B′C′成中心对称，下列说法不正确的是（　　）A．S△ABC＝S△A′B′C′     B．AB＝A′B′，AC＝A′C′，BC＝B′C′    C．AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′               D．S△ACO＝S△A′B′O中心对称作图：要作出一个图形关于某一点中心对称的图形，关键是作出该图形上特殊点关于对称中心的对称点，最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出与原图形中心对称的图形.【特别提醒】（1)   中心对称作图只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状.（2)作法及步骤：①找对称中心；②连接原图形上某一特殊点和对称中心并延长；③找对称点，使特殊点到对称中心的距离和对称点到对称中心的距离相等；④按原图形的形状顺次连接所找到的各对称点.　例2. 如图，已知四边形ABCD以及点O．求作：四边形A′B′C′D′，使得四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点O成中心对称．  变式：如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．中心对称图形的概念：把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.中心对称图形的性质（1）中心对称图形上对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分.（2）过对称中心的任一直线把中心对称图形分成全等的两部分.例3. 如图所示的银行图标中，既是旋转对称图形又是轴对称图形的是（　　）A． B． C． D．变式：我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（　　）A．         B．  C．     D．多变题型1．如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为（　　）A．A2P的中点 B．A1B2的中点 C．A1O的中点 D．PO的中点 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过中心对称变换得到△A′B′C′，那么对称中心的坐标为（　　）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）3．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（　　）A．1 B．3 C．5 D．74．在平面直角坐标系中，有A（3，3）、B（3，﹣3）两点，则A与B关于（　　）A．x轴对称            B．y轴对称 C．原点对称            D．直线y＝x对称5．如图，在Rt△ABC中，斜边AB长为8，直角边BC长为12，若扇形ACE与扇形BDE关于点E中心对称，则图中阴影部分的面积约为（　　）A．27 B．42 C．56 D．1086．如图所示，在△ABC中，D为AB边的中点，AC＝4，BC＝6．（1）作出△CDB关于点D成中心对称的图形；（2）求CD的取值范围．  7．已知如图，AC＝5，AB＝3，边BC上的中线AD＝2，求△ABC的面积．