2023年河南省郑州外国语中学中考数学三模试卷(含解析 )

2023年河南省郑州外国语中学中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  数的相反数为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  随着我国经济的快速发展，我国交通工具的发展也越来越多元化，为人们的出行和生活都带来极大便利河南即将迎来一条新建的城际铁路郑登洛城际铁路，其个长约为公里，沿途共设个站点，项目总投资亿元将数据“亿”用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，这个几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，直线与相交于点，射线在内部，且于点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  九章算术是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，随机闭合个开关，，，中的两个开关，能使小灯泡发光的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在菱形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，连接、若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  将抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线，若点，在新抛物线上，且，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

10.  规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推．点经过“”变换后得到点的坐标为______．

11.  实数，在数轴上的位置如图所示，则 ______ 填“”“”或“”

12.  不等式组的解集为，则的范围是______

13.  已知正比例函数为常数，与反比例函数的图象的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为______ ．

14.  如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，直角中，，，，点是边上一点，将绕点顺时针旋转到点，则长的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
计算：．

17.  本小题分
某企业订餐，有，两家公司可选择该企业先连续个工作日选择公司，接着连续个工作日选择公司，记录送餐用时单位：如下表：

根据上表数据绘制的折线统计图如图所示．

根据上述信息，请你帮该企业选择合适的公司订餐，并简述理由；
如果某工作日该企业希望送餐用时不超过，应选择哪家公司？请简述理由．

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点．
求一次函数和反比例函数的解析式；
根据图象，直接写出满足的的取值范围；
若点在线段上，且：：，求点的坐标．

19.  本小题分
胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”已知主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度结果保留整数，参考数据：，

 

20.  本小题分
如图，在中，以为直径作交、于点、，且是的中点，过点作于点，交的延长线于点．
求证：直线是的切线；
若，，求的长．

21.  本小题分
合肥某超市在年月日端午节前，准备购进型、型两种粽子进行销售，若每个型粽子比每个型粽子的进价少元，且用元购进型粽子的数量与用元购进型粽子的数量相同．
每个型、型粽子的进价分别是多少元？
若该超市购进型粽子的数量比型粽子的数量的倍还少个，且购进型、型粽子的总数量不超过个，则超市最多购进型粽子多少个？
在的条件下，如果型、型粽子的售价分别是元个和元个，且将购进的型、型粽子全部售出后，可使销售两种粽子的总利润超过元，那么该超市购进两种粽子有______种方案．

22.  本小题分
如图所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米．
若发射石块在空中飞行的最大高度为米，
求抛物线的解析式；
试通过计算说明石块能否飞越防御墙；
若要使石块恰好落在防御墙顶部上包括端点、，求的取值范围．

 

23.  本小题分
【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值．
问题：若时，值为______ ；
【操作探究】如图，在中，，，；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值．
【解决问题】如图，在菱形中，，若、分别是边、上的动点，且，作，，垂足分别为、，则的值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为数的相反数为，
所以．
故选：．
根据相反数的定义解答即可．
本题考查的是相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：从左边看是个矩形，矩形中间有一条横向的虚线．
故选：．
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
根据垂直定义可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了垂线，邻补角、对顶角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的化简的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，完全平方公式，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为：
．
故选：．

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：，，，，，，，，共种，
能使小灯泡发光的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，
点、分别是、的中点，
，，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：．
根据菱形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出和即可．
此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的对角线垂直解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
将抛物线向右平移个单位得到一条新抛物线为，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，在新抛物线上，且，
，
，
故选：．
根据平移规律得到新抛物线为，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由点，在新抛物线上，且，即可得到关于的不等式，解不等式求得即可判断．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质得到关于的不等式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：点经过变换得到点，点经过变换得到点，点经过变换得到点，

故答案为：．
根据变换的定义解决问题即可．
本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由数轴得：，，
，
故答案为：．
由图可知，，正数大于负数．
本题考查实数大小的比较，正数大于，负数小于．
 

12.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
不等式组的解集为，
，
解得，
故答案为：．
先解不等式组求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集得出关于的方程，解之可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：正比例函数为常数，与反比例函数的图象的一个交点坐标为，
，，
一个交点坐标为，
正比例函数的解析式为，
联立解析式得：
，
解得，，
即另一个交点的坐标为．
故答案为：．
首先利用反比例函数的解析式求出，再利用点的坐标确定正比例函数的解析式，进而利用方程组求交点坐标即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组求交点坐标．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接交于，
沿折叠落到，
垂直平分，
，
，
，
，，
，，
，
，
扇形的面积，的面积，
的面积的面积，
阴影的面积扇形的面积的面积．
故答案为：．
连接交于，由条件推出，的面积的面积，由勾股定理求出的长，得到的长，求出扇形的面积，的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形的面积，关键是求出扇形的面积，的面积．
 

15.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，过点作于点，
则，，

，，
，，
由旋转得：，，
，
，
，
，
，
≌，
，
当且仅当，即点与点重合时，为的最小值，
的最小值为．
故答案为：．
取的中点，连接，过点作于点，可证得≌，得出，当且仅当，即点与点重合时，为的最小值，即可得出的最小值为．
本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式



． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及算术平方根定义计算即可求出值；
原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：选择公司订餐，理由如下：
公司送餐用时在分钟和分钟内波动，波动较小；公司送餐用时在分钟和分钟内波动，波动较大；
选择公司订餐，理由如下：
公司个工作日送餐用时都超过分钟，故送餐用时超过分钟；公司个工作日送餐用时平均数小于分钟． 

【解析】根据方差的定义判断即可；
根据平均数的意义解答即可．
此题主要考查了方差和平均数的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
 

18.【答案】解：反比例函数经过，
，
反比例函数为，
在反比例函数的图象上，
，
，
直线经过，，
，解得，
一次函数的解析式为；
观察图象，的的取值范围是或；
设，
：：，
， 即，
，

解得，舍去，
点坐标为 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，也考查了待定系数法求函数解析式，数形结合解不等式，三角形面积问题，勾股定理等．
把的坐标代入即可求得，得到反比例函数的解析式，再把代入反比例函数的解析式即可求得点的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
根据图象即可求得；
设，利用三角形面积公式得到，即，根据勾股定理得到，然后解方程求出符合题意的即可得到点坐标．
 

19.【答案】解：在中，，，
，
在中，，，
，
，
，
．
答：主塔的高约为． 

【解析】根据锐角三角函数的定义可求出的长度，然后即可求出的长度，再结合图形即可求出答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义．
 

20.【答案】证明：连接，
，，
是的中位线，
，，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
解：设的半径为，则，，
，
，
，即，
解得：，
，，
，
，即，
解得：，
． 

【解析】连接，根据三角形中位线定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
根据余弦的定义求出的半径，根据三角形中位线定理求出，再根据余弦的定义求出，计算即可．
本题考查的是切线的判定、三角形中位线定理、锐角三角函数的定义，掌握切线的判定定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：设型粽子每个的进价为元，则型粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：型粽子每个的进价为元，则型粽子每个的进价为元；
设超市购进型粽子个，则购进型粽子个，
由题意得：，
解得：，
答：超市最多购进型粽子个；
 

【解析】解：设型粽子每个的进价为元，则型粽子每个的进价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：型粽子每个的进价为元，则型粽子每个的进价为元；
设超市购进型粽子个，则购进型粽子个，
由题意得：，
解得：，
答：超市最多购进型粽子个；
设超市购进型粽子个，则购进型粽子个，
由题意得：，
解得：，
由可知，，
所以，
又为正整数，
的值有：个，
即该超市购进两种粽子有种方案，
故答案为：．
设型粽子每个的进价为元，则型粽子每个的进价为元，由题意：用元购进型粽子的数量与用元购进型粽子的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设超市购进型粽子个，则购进型粽子个，由题意：购进型、型粽子的总数量不超过个，列出一元一次不等式，解不等式即可；
设超市购进型粽子个，则购进型粽子个，由题意：销售两种粽子的总利润超过元，列出一元一次不等式，解得，再由可知，，则，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用；解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出不等关系，列出一元一次不等式；找出不等关系，列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：设石块运行的函数关系式为，
把代入解析式得：，
解得：，
解析式为：，即；
石块能飞越防御墙，理由如下：
把代入得：
，
，
石块能飞越防御墙；
由题可知，抛物线，
把，代入得：，
解得；
把，代入解析式，
解得，
的取值范围为． 

【解析】设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案；
把代入，求得的值，与作比较即可；
把，和，分别代入求出即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】  

【解析】解：【问题发现】于点，于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【操作探究】对，
证明：于点，于点，，
，
，
∽，∽，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
的值为定值，．
【解决问题】如图，连交于点，在上截取，作于点，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
于点，，
，
≌，
，，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【问题发现】由，，得，，而，则，于是得到问题的答案．
【操作探究】由，，可证明∽，∽，得，，因为，则，于是可推导出，所以；
【解决问题】连交于点，在上截取，作于点，由菱形的性质得，，，可求得，再由，，证明，再证明≌，得，，则，由，，，得，则．
此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、菱形的性质等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．