2022-2023学年广东省广州市南沙实验外语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省广州市南沙实验外语学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.  如图，在中，，点为边的中点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

4.  冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查．发现白菜价格的平均值均为元，方差分别为，，，第四季度白菜价格最稳定的菜市场是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5.  下列直线与直线平行的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在中，，，，则的长为(    )

A.  B. 或 C. 或 D.

7.  某车间名工人日加工零件数如表所示：

这些工人日加工零件数的众数、中位数分别是(    )

A. 、 B. 、 C. 、 D. 、

8.  如图，在▱中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，函数的图象经过点，与函数的图象交于点，则关于的方程的解为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  一次函数，当时，，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若二次根式有意义，则的取值范围是______ ．

12.  如图，点、是、的中点，若，，的周长为，则 ______ ．

13.  若点，都在直线上，则、的大小关系是        ．

14.  如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______ ．

15.  如图，函数的图象交轴于点，交轴于点，若点为线段上一动点，过分别作上轴于点，轴于点，则线段的最小值为           ．
 

16.  在正方形中，是对角线上的一点，点在的延长线上，连接、、，延长交边于点，若，，则下列结论：
；
；
；
，其中正确的结论序号是        ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
．
．

18.  本小题分
已知函数．
在给出的平面直角坐标系中，请通过列表，描点，连线画出这个函数的图象；
若这个函数的图象与轴、轴分别交于点、，求的面积．
 

19.  本小题分
如图，已知在四边形中，，，、是对角线上两点，且求证：．

20.  本小题分
某校七年级成立了“科学防疫”宣传小组，小明对全体小组成员参加活动次数的情况进行统计分析，绘制了如下不完整的统计表和统计图．

表中表示的数字为______ ；
求每人参加活动的平均次数．

21.  本小题分
如图在中，，，，点是上一点，且．

试判断的形状，并说明理由；
求的长．

22.  本小题分
如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，点是延长线上一点，连接，，．
求证：四边形是菱形；
若，，求的面积．

23.  本小题分
甲、乙两地相距千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离千米与时间小时之间的函数关系；折线表示轿车离甲地的距离千米与时间时之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
求线段对应的函数表达式；
在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．

24.  本小题分
如图，已知直线与直线交于点，与轴交于点．
求和的值；
求的周长；
设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，求出的值．

25.  本小题分
在正方形中，连接对角线，在上截取，连接，过点作于点，延长交于点．
如图，连接并延长交的延长线于点，若，求的面积；
如图，过点作于点，交的延长线于点，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【解答】
解：，
以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边能构成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，
以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，点是斜边的中点，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，求出，再根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
第四季度白菜价格最稳定的菜市场是丁；
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

5.【答案】 

【解析】解：直线与直线平行，
故选：．
根据相同，且不相等判断即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，属于基础题，关键掌握当相同，且不相等，图象平行．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得：，
的长为．
故选：．
在中，已知与的长，利用勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理，能灵活运用定理进行计算是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为出现的次数最多，
所以众数是，
将这组数据按从小到大进行排序后，第个数和第个数的平均数即为中位数，
所以中位数是，
故选：．
根据众数的定义众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据和中位数的定义将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得．
本题考查了众数和中位数，熟记定义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
则，
，
同理可证：，
．
故选：．
先证，则，同理可证，进而得出答案．
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当时，，解得，则，
当时，，
关于的方程的解为，
故选：．
先利用正比例函数解析式确定点坐标，两函数图象交点的横坐标就是关于的方程的解．
本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图形找出两函数图象交点的横坐标是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由一次函数的性质知，当时，随的增大而增大，所以得，
解得；
当时，随的增大而减小，所以得，
解得．
所以的值为或．
故选：．
由一次函数的性质，分和时两种情况讨论求解．
此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质分情况讨论．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，解得：．
故答案为：．
根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开放数为非负数是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点、是、的中点，，，
，，，
的周长为，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，再根据三角形周长公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
随的增大而减少，
，
，
故答案为：．
根据一次函数的性质判断函数值的大小．
本题考查了过定点的直线，解答此题的关键是熟知一次函数图象上点的坐标特点是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，，，
，
，
故答案为：．
根据矩形的对角线平分且相等和直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半，可以求得的长．
本题考查矩形的性质、直角三角形中角所对的直角边与斜边的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
当时，有最小值
，，
根据等面积法可知：

的最小值为
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
四边形是正方形，
，
，
是等边三角形，
，
故正确；
连接、，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
故正确；
≌，
，
，
，
故正确；
过作于，

设，则，，，
，
，
，
，
故错误；
所以本题正确的有；
故答案为：．
证明是等边三角形，可判断；
证明≌，可作判断；
设，分别表示、、的长，可作判断．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出是等边三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】点拨：
先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
先利用多项式乘多项式展开，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

18.【答案】解：列表如下：

描点，连线：

若这个函数的图象与轴、轴分别交于点、，
则，，
，，
． 

【解析】先根据与的关系式列表，再在坐标系中标点后连线即可画出图象；
由列表可知，两点坐标，即可求解，的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
本题主要考查一次函数的图象，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，求解，两点坐标是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形．
．
．
又，
≌．
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证≌，即可证明．
本题主要考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
 

20.【答案】 

【解析】解：由条形统计图可知次数为的有人，
所以，．
故答案为：；

每人参加活动的平均次数是：次．
根据统计图给出的数据直接得出的值；
根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查了加权平均数和条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：是直角三角形，
理由：因为，，，
所以，
所以，
所以是直角三角形；
在中，，，，
所以． 

【解析】利用勾股定理逆定理即可求解；
利用勾股定理得出的长即可求解．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是菱形；
解：由得：，，
在中，由勾股定理得：，
，
四边形是菱形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由勾股定理得，则，再证四边形是平行四边形，得，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键．
 

23.【答案】解：由图象可得，
货车的速度为千米小时，
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米，
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是千米；
设线段对应的函数表达式是，
点，点，
，
解得，
即线段对应的函数表达式是；
当时，两车之间的距离为：，
，
在轿车行进过程，两车相距千米时间是在之间，
由图象可得，线段对应的函数解析式为，
则  ，
解得，，
轿车比货车晚出发小时，小时，小时，
在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶小时或小时，两车相距千米． 

【解析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据，可以得到货车的速度和轿车到达乙地的时间，然后即可计算出轿车到达乙地时，货车与甲地的距离；
根据函数图象中的数据，可以得到线段对应的函数表达式；
根据题意和函数图象中的数据，可以计算出在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距千米．
 

24.【答案】解：直线经过点点，
，
，
把代入得，，
；
把代入得，
，
，，
的周长；
把代入得，，解得；
把代入得，，解得；
分三种情况：当第三点在轴上时，，
解得；
当第三点在直线上时，，
解得；
当第三点在直线上时，，
解得；
直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则的值为或或． 

【解析】点拨
把点代入求得，得到，然后根据待定系数法即可求得；
利用勾股定理求得线段的长度，进而即可求得的周长；
求得两条直线与直线的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，两直线相交问题，待定系数法求一次函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，

四边形是正方形，，
，，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
的面积；
证明：如图，在上截取，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】由正方形的性质得出，，，由等腰三角形的性质得出，得出≌，进而证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，代入三角形面积公式进行计算，即可求出的面积；
在上截取，连接，先证明≌，得出，再证明≌，得出，由，得出．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，线段的和差计算等知识是解决问题的关键．