2020-2021学年江苏省丹阳高级中学、如皋中学高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省丹阳高级中学、如皋中学高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）已知集合，，则集合的子集个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．4

2．（5分）已知扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，则扇形的弧长为　　

A．2 B．4 C．6 D．8

3．（5分）幂函数是偶函数，在上是减函数，则整数的值为　　

A．0 B．1 C．0或1 D．2

4．（5分）如皋定慧寺原有佛塔毁于五代时期，现在的观音塔为2002年6月12日奠基，历时两年完成的，是仿明清古塔建筑，框架七层、八角彩绘，总建筑面积700多平方米．塔内供奉观音大士铜铸32应身，玻璃钢彩铸大悲咒出相84尊，有通道拾级而上可登顶层．塔名由中国书法协会名誉主席、中国佛教协会顾问、国学大师启功先生题写．塔是佛教的工巧明（即工艺学，比如建筑学就是工巧明之一），东汉明帝永平年间方始在我国兴建．所谓救人一命胜造七级浮屠，这七级浮屠就是指七级佛塔．下面是观音塔的示意图，游客（视为质点）从地面点看楼顶点的仰角为，沿直线前进51米达到点，此时看点点的仰角为，若，则该八角观音塔的高约为　　

A．8米 B．9米 C．40米 D．45米

5．（5分）已知，，则用，表示为　　

A． B． C． D．

6．（5分）设函数则满足的的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

7．（5分）已知中，，，，点满足，则　　

A． B．6 C． D．36

8．（5分）函数的所有的零点之和为　　

A．0 B．2 C．4 D．6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分.

9．（5分）下列不等关系中，不正确的是　　

A．若，则 B． 

C．若，则 D．

10．（5分）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具．筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．如图1，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是　　

A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 

B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 

C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 

D．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米

11．（5分）已知，是正数，且，下列结论正确的是　　

A．的最大值为 B．的最小值为 

C．最大值为 D．最小值为9

12．（5分）已知函数，下列结论正确的是　　

A．的最小正周期为 B．函数图象关于直线对称 

C．函数在上单调递增 D．方程有无数个解

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）已知向量，，且，则　　．

14．（5分）“角为第一象限角”是“”的　　条件．（从“充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要”中选一个填写）

15．（5分）若不等式有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为　　，实数的取值范围为　　．

16．（5分）设平行于轴的直线分别与函数和的图象交于点，，若函数的图象上存在点，使得为等边三角形，则点的横坐标为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知集合，．

（1）当时，求；

（2），，若是的必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知．

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，若，是方程的两个根，求的值．

19．（12分）已知函数，从①、②、③这三个条件中选择一个作为已知条件．

①为的图象的一个对称中心；

②当时，取得最大值；

③．

（1）求的解析式；

（2）将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在上的单调递减区间．

20．（12分）如图，在矩形中，，为的中点，是边上靠近点的三等分点，与于点．设，．

（1）求的余弦值．

（2）用和表示；

21．（12分）已知函数为常数且为奇函数．

（1）求的值；

（2）设函数．若函数有零点，求实数的取值范围．

22．（12分）已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意都有，当时，．

（1）判断并证明在上的单调性；

（2）若，对任意的，存在，，使得成立，求的取值范围．

五、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）

23．（3分）是内的一点，，则的面积与的面积之比为　　

A．2 B．3 C． D．6

六、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）

24．（3分）求值：　　．

七、解答题（共1小题，满分0分）

25．已知关于的不等式的解集为．

（1）求实数，的值；

（2）正实数，满足．

①求的最小值；

②若恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省丹阳高级中学、如皋中学高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：，，，

对应的子集为，，，，，共4个．

故选：．

2．【解答】解：设扇形的半径为，

扇形的面积为4，扇形圆心角的弧度数为2，

则，，

即，

即，则扇形的弧长，

故选：．

3．【解答】解：幂函数是偶函数，且在上是减函数，

所以，，

所以整数的值可以为0，1；

当时，，满足题意；

当时，，不满足题意；

所以．

故选：．

4．【解答】解：不妨设，根据条件可得，，

，

，

，

，

米．

故选：．

5．【解答】解：，，

，

．

故选：．

6．【解答】解：由，得：

当，即时，，

由，得，；

当，即时，，

由，得，解得，．

满足的的取值范围为．

故选：．

7．【解答】解：由，得，

即，

则，

则，

故选：．

8．【解答】解：函数，

所以，即，

所以函数的图象关于直线对称，

当时，和为单调递增函数，则为单调递增函数，则当时，为单调递减函数，

又（2），

故函数有两个零点，且两个零点关于对称，

所以函数的所有的零点之和为4．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分.

9．【解答】解：对于：当时，，故错误；

对于，，，故正确；

对于：当，时，无意义，故错误；

对于：根据指数函数的性质，，故正确．

故选：．

10．【解答】解：如图所示：

依题意设，

由于一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，

所以，，

当时，，

即，解得，

所以，

对于和分钟时，以射线为始边，为终边的角为，故正确，错误，

对于：当时，，当时，，故正确；

对于：令，即，在一个周期内满足，解得，即有2分钟满足条件，

由于1小时有10个周期，所以有20分钟满足条件，故正确．

故选：．

11．【解答】解：选项：因为，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故正确；

选项，由选项可知，所以，

即的最小值为，故正确；

选项，当且仅当，即，时取等号，又，都是正数，故等号不成立，故错误；

选项，

当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，故正确；

故选：．

12．【解答】解：当时，即，

即，时，

，

当时，即，

即，时，

，

作出函数的图象如图：

则由图象函数的周期是，故错误，

函数关于直线对称，故正确，

函数在上单调递增，故正确，

由得，即方程无解，故错误，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．【解答】解：向量，，且，

所以，

解得．

故答案为：．

14．【解答】解：因为，所以，

所以，

则“角为第一象限角”可以推出“”，满足充分条件，

而“”不能推出“角为第一象限角”，不满足必要性，

所以“角为第一象限角”是“”的充分不必要条件．

故答案为：充分不必要．

15．【解答】解：不等式，令，则△，

所以方程有两个不相等的实数根，，

因为，所以，，

故不等式的解集为，

由题意可知，不等式有且只有两个整数解，

所以这两个整数解为1和2，

则，解得，又，所以，

故这两个整数解之和为3；实数的取值范围为．

故答案为：3；．

16．【解答】解：因为平行于轴的直线分别与函数和的图象交于点，，

则设，，，

又因为函数的图象上存在点，使得为等边三角形，

设，，由、的坐标可知，，

因为为等边三角形，

所以，即，

①②可得，或（舍，

由，则，即，所以代入②中，可得，即，

所以，又，所以，则，

因此点的横坐标为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【解答】解：（1）当时，，或，

所以或；

（2）由（1）可知，，，

因为，，且是的必要条件，

所以，

当，即时，或，则有，解得；

当，即时，或，满足；

当，即时，或，满足；

综上所述，实数的取值范围为．

18．【解答】解：（1）当时，，

，

当且仅当取等号，

故当时，的最小值为4．

（2）由题意，

因为，即，解得，

故．

当时，．

19．【解答】解：（1）选条件①为的图象的一个对称中心，

则，可得，，

又，所以，

所以．

选条件②当时，取得最大值，

则，可得，，

又，所以，

所以．

选条件③，

则，可得，，

又，所以，

所以．

（2）将的图象上的各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象，

再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象，

令，，求得，，

又，

所以的单调递减区间为，，，．

20．【解答】解：（1）建立坐标系如图：

，为的中点，是边上靠近点的三等分点，

，，，

则，，，，，．

则，，

由得，即，，

则，，，，

则，，，

，，

则，，

则即．

（2），，，，

设，

即的，

即．

21．【解答】解：（1）由于为奇函数，

则，

即，

所以，

所以，

所以，

所以，解得（舍去）或．

（2）由（1）知，

令，解得，

函数的定义域为，

所以，

令，可得，即，

即，

所以有解，

即在上有解，

令，

对称轴为，

①当时，即，

所以，即，解得，

所以，

②当时，即，

因为△恒成立，

故此时（1）或，

解得或（不成立），

故．

③当时，即，

所以，

因为不成立，舍去，

综上，的取值范围为．

22．【解答】解：（1）在上单调递减；

证明如下：

任取，则，

因为，所以，，

则，即，

所以在上单调递减；

（2）因为是奇函数，所以，，

因为对定义域内的任意都有，

所以令得（1）（1），即（1），

因为是奇函数，，

所以即，即是周期为2的周期函数，

因为在上单调递减，所以时，，时，，

所以在，上的值域为，

而是周期为2的周期函数，则对任意的，，

由对任意的，存在，，使得成立，

则存在，，使得，

令，，，则，

①时，（4），所以，解得或，即；

②时，（1），所以，解得或，即；

所以的取值范围为或．

五、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）

23．【解答】解：取中点，连接，则；

，如图所示：

；

；

的面积与的面积之比为3．

故选：．

六、填空题（共1小题，每小题3分，满分3分）

24．【解答】解：．

故答案为：6．

七、解答题（共1小题，满分0分）

25．【解答】解：（1）由题意可得和是方程的两个根，

由根与系数的关系可得，解得，．

（2）由（1）可得，即，

①，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为9．

②若恒成立，即恒成立，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，

即实数的取值范围是，．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/4/10 17:48:35；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394