2020-2021学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）若角的终边经过点，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）设函数的定义域为，函数的定义域为，则　　

A． B．， C． D．，

3．（5分）设实数满足，函数的最小值为　　

A． B． C． D．6

4．（5分）已知，，都是负数，且，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）有一组实验数据如表所示：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是　　

A． B． C． D．

6．（5分）若函数与都在区间上单调递减，则的最大值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数在，的图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

8．（5分）若函数同时满足：①定义域内存在实数，使得；②对于定义域内任意，，当时，恒有；则称函数为“函数”．下列函数中是“函数”的为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．

9．（5分）关于函数，下列说法中正确的是　　

A．最小正周期是 B．图象关于点，对称 

C．图象关于直线对称 D．在区间，上单调递增

10．（5分）已知曲线，，下列说法中正确的是　　

A．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到 

B．把向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到 

C．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到 

D．把上所有点的横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度，得到

11．（5分）我们知道，如果集合，那么的子集的补集为，且．类似地，对于集合，，我们把集合，且叫作集合与的差集，记作．据此，下列说法中正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，．已知函数，下列说法中正确的是　　

A．是周期函数 B．的值域是， 

C．在上是增函数 D．，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）已知幂函数的图象过点，则实数的值是　　．

14．（5分）已知函数，若，则的值为　　

15．（5分）已知，则的值为　　．

16．（5分）地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的　　倍（精确到．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）已知集合，．

（1）当时，求；

（2）已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）（1）计算：；

（2）已知，，求证：．

20．（12分）已知函数为上的奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若不等式对任意，恒成立，求实数的最小值．

21．（12分）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：由关系式确定，其中，，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．

（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：和时间（单位：之间的函数关系；

（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．

22．（12分）对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知．

（1）当时，求的不动点；

（2）若函数有两个不动点，，且．

①求实数的取值范围；

②设，求证：在上至少有两个不动点．

2020-2021学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．

1．【解答】解：角的终边经过点，，

由三角函数的定义可知：

符号不确定，故，圴错误；

，故正确，错误．

故选：．

2．【解答】解：函数的定义域为，函数的定义域为，

，

．

，．

故选：．

3．【解答】解：，，

，当且仅当，即时等号成立，

函数的最小值为．

故选：．

4．【解答】解：对于，由题意，则，选项错误；

对于，由，不等式两边同除，可得，即，选项错误；

对于，由不等式的可加性可知，由，可得，选项错误；

对于，由，所以，选项正确．

故选：．

5．【解答】解：法一、从图表数据可知，随着的变大，变大，则函数为单调递增，且增加速度越来越快，

选项为线性增加的函数，选项为递减函数，选项为比线性增加较为缓慢的函数，排除选项、、．

故选：．

法二、取，对于选项，，故选项错误；

对于选项，，故选项可能正确；

对于选项，，故选项错误；

对于选项，，故选项错误．

以上只有选项最接近，

故选：．

6．【解答】解：由题意函数在，上单调递减，函数在上单调递减，

则，，所以的最大值为，

故选：．

7．【解答】解：，，，

，

为，上的奇函数，因此排除；

又，因此排除，；

故选：．

8．【解答】解：由①定义域内存在实数，

使得的限制可知，定义域内需有正有负，且函数值有正有负，

由②的限制可知，函数单调递增，

对于，的定义域内有正有负，函数值有正有负，函数单调递增，故成立；

对于，不是单调增函数，故不成立；

对于，的值域中没有负数，故不成立；

对于，的定义域中没有负数，故不成立．

故选：．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有选错的得0分．

9．【解答】解：由题意函数的最小正周期为，故选项正确；

由，故选项正确；

因为函数不存在对称轴，故选项错误；

因为，，所以，此区间不是函数的单调递增区间，故选项错误；

故选：．

10．【解答】解：变换方式一：由函数的图象可向左平移个单位长度，

再将所有点的横坐标变为原来的倍，得到；

变换方式二：因为，

所以由函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，

再向左平移个单位长度，得到．

故选：．

11．【解答】解：由差集的定义可知，对于选项，若，则中的元素均在中，则，故选项正确；

对于选项，若，则中的元素均在中，则，故选项错误；

对于选项，若，则、无公共元素，则，故选项正确；

对于选项，若，则，故选项正确；

故选：．

12．【解答】解：由题意，

所以，可得到函数是周期为1的函数，

且值域为，，

在上单调递减，

故选项、正确，错误；

对于选项，，所以选项错误，

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．【解答】解：幂函数的图象过点，

则，．

故答案为：．

14．【解答】解：，

（2），

解得，

故答案为：4．

15．【解答】解：

，

故答案为：．

16．【解答】解：由题意可得，

即，所以，

当时，地震的最大振幅为；

当时，地震的最大振幅为，

所以，

故答案为：32．

四、解答题（共6小题，满分70分）

17．【解答】解：（1）由，得，所以．

．

当时，．

所以．

（2）因为“”是“”的必要条件，所以．

若，不符合题意；

若即时，，符合题意；

若，则，

所以，解得．

综上，，．

18．【解答】解：（1）因为，且，

所以．（2分）

故

．（4分）

又因为，所以，即，

所以．

所以．（6分）

（2）法一：由（1）知，又因为，

所以．

因为，，

所以，即，（9分）

解得或．（10分）

因为，所以，

所以．（12分）

法二：由（1）知

因为，所以，

故，（10分）

所以．（12分）

19．【解答】解：（1）原式（2）．

（2）证明：因为在上递减，在上递增，

所以，，所以，

因为，且在递增，

所以，即，

所以，即．

20．【解答】解：（1）因为函数为上的奇函数，

所以对任意成立，

即对任意成立，

所以，所以．

（2）由得，

因为函数为上的奇函数，所以．

由（1）得，是上的单调增函数，

故对任意，恒成立，

所以对任意，恒成立．

因为，

令，由，，得，，即，，

所以在，递增，可得最大值为，

故，

即的最小值为．

21．【解答】解：（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以．

因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，

即，所以．

所以，．

（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，

以后每隔一个周期都出现一次最高点，

因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，

所以．

因为，所以，

所以的取值范围为，．

（注的取值范围不考虑开闭）

22．【解答】解：（1）当时，．

方程可化为，解得或，

所以的不动点为和．（2分）

（2）①因为函数有两个不动点，，

所以方程，即的两个实数根为，，

记，则的零点为和，

因为，所以（2），

即，解得．

所以实数的取值范围为．（6分）

②因为．

方程可化为，即

因为，△，所以有两个不相等的实数根．

设的两个实数根为，，不妨设．

因为函数图象的对称轴为直线，（1），，，

所以．

记，

因为（1），且（1），所以是方程的实数根，

所以1是的一个不动点．（8分）

，

因为，所以，，

且的图象在，上的图象是不间断曲线，

所以，使得，（10分）

又因为在上单调递增，所以，

所以是的一个不动点，

综上，在上至少有两个不动点．（12分）

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日期：2021/4/10 17:46:13；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394