专题09 二元一次方程（组）及其应用（讲通）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

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专题09 二元一次方程（组）及其应用1、能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型2、掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。3、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。一、二元一次方程（1）二元一次方程的概念含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0）。判定二元一次方程必须同时满足三个条件：①方程两边的代数式都是整式——整式方程；②含有两个未知数——“二元”；③含有未知数的项的次数为 1——“一次”。（2）二元一次方程的解使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。例1．下列方程中是二元一次方程的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二元一次方程组的定义判断逐项分析即可，方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程．【详解】A.只含有一个未知数，故不是二元一次方程；B.是二元一次方程C.的分母含未知数，故不是二元一次方程D.含有二次项，故不是二元一次方程故选B．二、二元一次方程组（1）二元一次方程组的概念由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。注意：二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为 0 的二元方程）。（2）二元一次方程组的解二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。（3）二元一次方程组的解法a.代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一。通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法。步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如 y，用另一个未知数如 x 的代数式表示出来，即写成 y = ax + b 的形式；② y = ax + b 代入另一个方程中，消去 y ，得到一个关于 x 的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出 x 的值；④回代求解：把求得的 x 的值代入 y = ax + b 中求出 y 的值，从而得出方程组的解。b.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一。加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法。步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值。例2．下列方程组为二元一次方程组的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二元一次方程组的定义，即含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程判断即可；【详解】中，xy的次数是2，故A不符合题意；是二元一次方程组，故B符合题意；中y在分母上，故C不符合题意；中有3个未知数，故D不符合题意；故选B．例3．方程组的解是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据加减消元法即可求解．【详解】解②-①得x=2把x=2代入①得y=3∴方程组的解为故选A．三、二元一次方程的应用1、列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。所列方程必须满足：(1) 方程两边表示的是同类量；(2) 同类量的单位要统一；(3) 方程两边的数值要相等。2、二元一次方程组的应用步骤（1）审题：弄清题意及题目中的数量关系（2）设未知数：可直接设元，也可间接设元（3）找等量关系：根据相关公式变量等，找出题目中的等量关系（4）列方程组：根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组（5）解方程组：利用消元法等方法解所列的方程组（6）检验：检验解的正确性，是否满足实际问题（7）答话：回答题目问题3、常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程。(2)相遇问题：相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。2.利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)利润＝成本（进价）×利润率；(3)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(4)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）3.储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金。②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。③本息和：本金与利息的和叫做本息和。④期数：存入银行的时间叫做期数。⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。⑥利息税：利息的税款叫做利息税。(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率④税后利息＝利息× (1－利息税率)⑤年利率＝月利率×12注意：当题目中涉及免税利息时，需要明晰免税利息=利息4.数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当n为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等。有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字5.其他问题：（1）工程问题：工作效率×工作时间=工作量（2）增长率问题：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量（3）和差倍分问题：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量（4）几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式（5）年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的例4．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五：人出七，余三：问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．【详解】解：设合伙人数为人．羊价为元，依题意，得：．故选：B．四、涉及二元一次方程需要注意以下要点：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。(4)列方程组解应用题应注意的问题：①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验。1．（2022·陕西九年级专题练习）在下列各式中①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，是二元一次方程的有（   ）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断，即可求解．【详解】解：是二元一次方程的是⑤和⑦①，不是方程，不合题意；②，是二元二次方程，不合题意；③，是一元一次方程，不合题意；④，是分式方程，不合题意；⑤，是二元一次方程，符合题意；⑥，化简后只有一个未知数，是一元一次方程，不合题意；⑦，化简后是二元一次方程，符合题意，∴是二元一次方程的是⑤和⑦．故选：A2．（2022·江苏苏州市振华中学校九年级月考）已知则a + b的值是（   ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】两方程相加即可求得结果．【详解】解：，①②得，，所以，，故选：B．3．（2022·辽宁锦州·中考真题）二元一次方程组的解是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．【详解】解：，把②代入①得：4y＋y＝10，解得：y＝2，把y＝2代入②得：x＝4，则方程组的解集为．故选：C．4．（2022·黑龙江九年级三模）若一次购买单价分别为7元、5元的两款笔记本共用了54元，则7元笔记本最少买（    ）A．2本 B．3本 C．4本 D．7本【答案】A【分析】设7元、5元的两款笔记分别购买了x，y本，根据等量关系，列出二元一次方程，即可得到答案．【详解】解：设7元、5元的两款笔记分别购买了x，y本，由题意得：7x+5y=54，∵x，y为正整数，∴，，∴7元笔记本最少买2本，故选A．5．（2022·浙江）已知关于x、y的方程x2m-n-2+ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（    ）A．m＝1，n＝﹣1 B．m＝﹣1，n＝1C．m＝，n＝﹣ D．m＝﹣，n＝【答案】A【分析】直接利用二元一次方程的定义得出关于m，n的方程组求出答案．【详解】∵关于x、y的方程x2m﹣n﹣2+ym+n+1＝6是二元一次方程，∴，解得．故选：A．6．（2020·浙江九年级期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：“一支杆子一条索，索比杆子长一托，对折索子来量杆，却比杆子短一托．”若1托为5尺，则杆子、索长分别为____尺（　　）A．15，20 B．20，15 C．7.5，12.5 D．12.5，7.5【答案】A【分析】设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设索长为x尺，竿子长为y尺，根据题意得：，解得：．答：索长为20尺，竿子长为15尺．故选：A7．（2022·海南）为了防治“新型冠状病毒”，我市某小区准备用3400元购买医用口罩和洗手液发放给本小区住户．若医用口罩买800个，洗手液买120瓶，则钱还缺200元；若医用口罩买1200个，洗手液买80瓶，则钱恰好用完．求医用口罩和洗手液的单价．【答案】医用口罩的单价为1.5 元/个，洗手液的单价为20元/瓶．【分析】设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得出方程组，解方程组即可．【详解】（1）设医用口罩的单价为x元/个，洗手液的单价为y元/瓶，根据题意得：，解得：，答：医用口罩的单价为1.5 元/个，洗手液的单价为20元/瓶．8．（2022·海南海口·）为推广海南各县市名优农产品，省政府组织创办了“海南冬交会”，顾客在“海南冬交会”发现，如果购买盒兴隆咖啡和盒白沙绿茶，共需元；如果购买盒兴隆咖啡和盒白沙绿茶共需元，问每盒兴隆咖啡和每盒白沙绿茶分别需要多少元？【答案】每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元【分析】设每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元，然后根据等量关系列出方程进行求解即可得到答案.【详解】解：设每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元，根据题意得：把② ×6-①得，解得把代入② 中解得∴方程组的解为∴每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元．答：每盒兴隆咖啡需要元，每盒白沙绿茶需要元．9．（2022·沈阳市第四十三中学九年级月考）某班对周考进步的同学进行表彰，若购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，需花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，需花费225元．（1）求甲、乙两种笔记本的单价；（2）如果再次购买甲、乙两种笔记本共35个，并且购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过300元，求至多购买多少个甲种笔记本？【答案】（1）购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）至多需要购买25个甲种笔记本【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；若购买甲种笔记本10个，乙种笔记本25个，共花费225元．列出方程组，可求解；（2）设需要购买a个甲种笔记本，由总费用不超过300元，列出不等式，即可求解．【详解】解：（1）设购买一个甲种笔记本需x元，一个乙种笔记本需y元，由题意可得：，解得：，答：购买一个甲种笔记本需10元，一个乙种笔记本需5元；（2）设需要购买a个甲种笔记本，由题意可得：10a+5（35-a）≤300，解得：a≤25，答：至多需要购买25个甲种笔记本．10．（2022·海南九年级期中）刘老师和他的朋友一起共42人去公园划船，共租了10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，每条船恰好都坐满且不超员，问大船、小船各租了几条？【答案】大船租了1条，小船租了9条．【分析】设大船租了条，小船租了条，根据总人数42人，总船只10条列出方程组，进而求解即可．【详解】解：设大船租了条，小船租了条．依题意，得：，解得：，答：大船租了1条，小船租了9条．