专题15 相交线与平行线（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

这是一份专题15 相交线与平行线（练透）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题15 相交线与平行线一、单选题1．（2022·辽宁鞍山·）如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行线的性质求解，找出图中，进而求出∠3，再根据平行线性质求出∠2即可．【详解】解：如图，作，三角尺是含角的三角尺，，，，，，，，，故选：C．2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）把一块等腰直角三角板和一把直尺按如图所示的位置构成，若∠1＝25°，则∠2的度数为（    ）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】利用平行线的性质求出∠3可得结论．【详解】解：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝25°，∵∠2＋∠3＝45°，∴∠2＝45°﹣∠3＝20°，故选：B．3．（2022·江苏淮安·）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（    ）A．70° B．90° C．100° D．110°【答案】D【分析】根据邻补角得出∠3的度数，进而利用平行线的性质解答即可．【详解】解：∵∠1＝70°，∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝110°，故选：D．4．（2018·广东九年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定AB//DF的是（　　）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A【答案】D【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论．【详解】解：A、因为∠A=∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．B、因为∠A+∠2=180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意．C、因为∠1=∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意．D、因为∠1=∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意．故选：D．5．（2022·全国九年级单元测试）下列命题中，正确的命题是（   ）A．平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦 B．平分弦的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧C．在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD      D．圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径【答案】A【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：A、平分一条弧的直径，垂直平分这条弧所对的弦，正确，  B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的弧，故原命题错误，C、在⊙O中，AB、CD是弦，若BD=AC，则AB∥CD，错误，D、圆是轴对称图形，对称轴是圆的每一条直径所在的直线，故原命题错误，故选A．6．（2022·四川德阳·中考真题）如图，直线AB∥CD，∠M＝90°，∠C＝120°，则∠MPB＝（　　）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】根据平行线的性质和三角形外角性质解答即可．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠EFP=∠CEF=120°，∴∠MPF=∠EFP-∠M=120°-90°=30°，∴∠MPB=180°-∠MPF=180°-30°=150°，故选：D．7．（2022·湖南九年级期末）如图，为⊙O的直径，点C、D是的三等分点，，则的度数为（    ）A．40° B．60° C．80° D．120°【答案】C【分析】先求出∠BOE=120°，再运用“等弧对等角”即可求解【详解】解：∵∠AOE=60°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=120°，
∴ 的度数是120°，
∵C、D是上的三等分点，
∴弧CD与弧BC的度数都是40度，
∴∠BOD=80°．
故选D．8．（2022·湖北九年级期中）一副三角板按如图所示放置，AB//DC，则∠CAE的度数为( )A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】C【分析】由平行线的性质可得∠BAC=∠ACD=30°，由三角形内角和定理可求解．【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD=30°， ∵∠AED=45°， ∴∠AEC=135°， ∵∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，∴∠EAC=180°-∠AEC-∠ACE=180°-30°-135°=15°，故选C．9．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，已知，∠A＝52°，∠E＝16°，则∠C的度数是（　　）A．36° B．34° C．32° D．30°【答案】A【分析】过点作，则，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，结合可得出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数．【详解】解：过点作，则，如图1所示．，∴∠AEF＝∠A＝52°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝52°﹣16°＝36°．又，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．10．（2022·福建省福州屏东中学）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（　　）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．【详解】解：点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），∴AB＝，即AB＝CD＝5，∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，由平移的性质得：BC//AD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当BC⊥CD时，BC的值最小，∵C（m,﹣m)∴点C在直线y＝﹣x上运动，∵BC⊥直线y＝﹣x，∴直线BC平行直线y＝x,∴直线BC的解析式为y＝x+b，把B（ ，1）代入y＝x+b得：1＝5+b，解得：，∴,联立方程组得：,解得: ∴C（2,﹣2），∴m＝2，故选：C．二、填空题11．（2022·佛山市华英学校九年级一模）如图，直线a，b，a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，则∠2的度数为______．【答案】20°【分析】先根据对顶角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠1＝70°，∠1与∠3是对顶角，∴∠3＝∠1＝70°．∵a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣70°﹣90°＝20°．故答案为：20°．12．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，直线，若，则____．【答案】【分析】利用平行线的性质可得，再利用邻补角即可求的度数．【详解】解：如图，，，，．故答案为：．13．（2022·吉林九年级期末）如图，将一个直角三角板ACB（∠C=90°）绕60°角的顶点B顺时针旋转，使得点C旋转到AB的延长线上的点E处，则三角板旋转了_________度．【答案】120【分析】先利用邻补角计算得出∠CBE=180°-∠ABC=120°，再根号旋转的性质得到∠CBE等于旋转角，即可得出结论．【详解】解：∵∠ABC=60°，∴∠CBE=180°-∠ABC=120°，∵直角三角板ACB绕顶点B顺时针旋转得到△DEB，∴∠CBE等于旋转角，∴三角板旋转了120°．故答案为120．14．（2022·靖江市靖城中学九年级一模）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【分析】作CG∥AB，DH∥EF，由AB∥EF，可得AB∥CG∥HD∥EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【详解】解：作CG∥AB，DH∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥HD∥EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y=90°-x+z．15．（2020·山东九年级一模）如图所示，，则的度数为______．【答案】125°【分析】结合题意，根据对顶角相等的性质，通过证明，得，再根据补角的性质计算，即可得到答案．【详解】如图：∵，且∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：125°．三、解答题16．（2022·武汉一初慧泉中学九年级月考）已知：如图，D，E，F分别是，，上的点，，，求证：．【答案】见解析【分析】先根据DE∥BC，得到，从而得到，则EF∥AB，由此即可求解．【详解】证明：∵DE∥BC，∴，∵，∴，∴EF∥AB，∴．17．（2020·山东）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．【答案】15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M，解Rt△ACB求出BC，在Rt△BMC中求出CM，BM，推出BM=DM，即可求得答案．【详解】解：过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，∴∠ABC＝30°，BC＝AC•tan60°＝10，∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°．∴BM＝BC•sin30°＝10×＝5，CM＝BC•cos30°＝10×＝15，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∴MD＝BM＝5，∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．18．（2022·全国九年级专题练习）如图，若之间有什么关系？【答案】∠B+∠E-∠C=180°．【分析】过点E作EF∥AB，根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠1，两直线平行，内错角相等表示出∠2，再根据∠E=∠1+∠2整理即可得解．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，
则∠1=180°-∠B，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠2=∠C，
∵∠1+∠2=∠BEC，
∴180°-∠B+∠C=∠BEC，
∴∠B+∠BEC-∠C=180°．19．（2022·全国九年级专题练习）如图所示，已知，平分，平分，求证：【答案】见解析【分析】先根据平行线的性质得出∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC，再由BE平分∠ABC，DE平分∠ADC可知∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：如图：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠ADC，∠C＝∠ABC．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC．
∵∠3是三角形的外角，
∴∠3＝∠E＋∠2＝∠C＋∠1，，
即∠E＋∠C＝∠C＋∠A，
∴∠E＝（∠A＋∠C）．20．（2022·全国九年级课时练习）如图，在梯形中，，，E是的中点．（1）求证：；（2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由．【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析【分析】（1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1,AD=CF，BF=AB-AF=1，然后利用勾股定理求出，即可得到，再证明即可；（2）利用勾股定理求出，,然后证明即可.【详解】解：（1）过点C作CF⊥AB于F，∴∠A=∠CFA=∠CFB=90°，∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°，∴∠D=90°，∴四边形ADCF是矩形，∴AF=CD=1,AD=CF，∴BF=AB-AF=1，∴，∵E是AD的中点，∴，∴，∴，又∵∠D=∠A=90°，∴△CDE∽△EAB；（2）△CDE∽△CEB相似，理由如下：∵，,∴，，，∴ ，∴△CDE∽△CEB.21．（2022·全国九年级专题练习）已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D．22．（2022·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，的直径，和是它的两条切线，切于，交于，交于．设，．（1）求证：AM∥BN；（2）求y关于x的关系式；（3）求四边形ABCD的面积S，并证明：S≥2【答案】（1）见解析；（2）；（3），证明见解析【分析】（1）根据切线的性质得到它们都和直径垂直就可证明；（2）作直角梯形的另一高，构造一个直角三角形，根据切线长定理和勾股定理列方程，再表示出关于的函数关系式；（3）根据直角梯形的面积公式表示梯形的面积，再根据作差法比较它们的大小．【详解】（1）证明：是直径，、是切线，，，．（2）解：过点作于，则．由（1），四边形为矩形．，．、，、都是切线，根据切线长定理，得，．在中，，，，，化简，得．（3）解：由（1）、（2）得，四边形的面积，即．，当且仅当时，等号成立．，即．23．（2022·西安市铁一中学九年级模拟预测）如图，是⊙O的内接三角形，，为⊙O的直径，过点作⊙O的切线，与的延长线相交于点．（1）求证：；（2）若⊙O的半径，，求的长．【答案】（1）见解答；（2）【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到，所以，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）过点作于，如图，利用圆周角定理得到，，，则可判断和都是等腰直角三角形，于是可计算出，利用勾股定理计算出，则，接着证明，利用相似比得到，设，，所以，解方程求出，从而得到的长．【详解】（1）证明：连接，如图，∵为的切线，∴，∴，∵，∴，∴；（2）过点作于，如图，∵为的直径，∴，∵，∴，，∴和都是等腰直角三角形，∴，，在中，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，设，，∴，解得，经检验为方程的解，∴．