专题17 等腰、等边三角形（讲通）-【讲通练透】中考数学一轮（全国通用）（教师版）

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专题17 等腰、等边三角形1.了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这二种图形；2.理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定；3.能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决简单问题；4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性质和判定；一、等腰、等边三角形1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.性质：
(1)具有三角形的一切性质.
(2)两底角相等(等边对等角)
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3.判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.
特别提醒：(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.
例1．如图，等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(    )
A.顶角的2倍 　　　B.顶角的一半 　　　C.顶角 　　　D.底角的一半
　　　　                      　【答案】B.【解析】如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，所以∠ABC=∠C，∠BDC=90°，所以∠DBC=90°-∠C=90°-(180-∠A)= ∠A，例2．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=30cm，DE=2cm，则BC=　  　cm．【答案】32;【解析】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=30，DE=2，∴DM=28，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=14，∴BN=16，∴BC=2BN=32，故答案为32．二、直角三角形1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.2性质：
(1)直角三角形中两锐角互余.
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°.
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3．判定：
(1)有两内角互余的三角形是直角三角形.
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形.
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边.例3．已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D.
　　(1)若∠BAC=30°，求证: AD=BD；
　　(2)若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　图2【答案】　(1)证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°
　　　　　　 又∵ BD平分∠ABC， ∴∠ABD=30°，∴ ∠BAC =∠ABD，∴BD=AD；
  (2)解法一： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　　∴=45°
　　　　　　∵ BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　  　∠BAP=，∠ABP=
　　　　　　　　即∠BAP+∠ABP=45°
　　　　　 ∴∠APB=180°-45°=135°
　解法二： ∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°
　　　　　 ∴=45°
　　　　　 ∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC
　　　　　　　∠DBC=，∠PAC=
　　　　　∴∠DBC+∠PAD=45°
　　　　　∴∠APB=∠PDA+∠PAD =∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°.1．（2022·黑龙江九年级期末）如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离为，则这两棵树之间的坡面的长为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】是的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出的长．【详解】解：如图，，，m，∴AB=2BC，∴，即，解得：m，∴m，故选：C．2．（2022·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AB′C′，若点B′恰好落到边BC上，则∠CB′C′的度数为（    ）A．50° B．60° C．70° D．80°【答案】D【分析】依据旋转的性质可求得AB＝AB’，∠AB’C’的度数，依据等边对等角的性质可得到∠B＝∠BB’A，于是可得到∠CB’C’的度数．【详解】解：由旋转的性质可知：AB＝AB’，∠BAB’＝80°，∴∠B＝∠AB’C’，∵AB＝AB’，∴∠B＝∠BB’A＝50°．∴∠BB’C’＝50°＋50°＝100°．∴∠CB’C’＝180°−100°＝80°，故选：D．3．（2022·哈尔滨市虹桥初级中学校九年级一模）如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到的（点的对应点是点，点的对应点是点），连接．若，则的大小是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．【详解】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．∵∠CC′B′=32°，∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，∵∠B=∠C′B′A，∴∠B=77°，故选：C．4．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）下列命题中是真命题的是（    ）A．三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三个角对应相等的两个三角形全等C．直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半D．等边三角形是中心对称图形【答案】A【分析】根据三角形中垂线的性质、全等三角形的判定、直角三角形的性质和等边三角形的性质判断即可．【详解】解：A、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确；B、三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；C、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，错误；D、等边三角形是轴对称图形，错误；故选：A．5．（2022·全国九年级课时练习）如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可．【详解】∵为的外心，，，∴OA是∠BAC的平分线，∴，∵，∴，∴，∵为正三角形，∴，∴，又∵为的外角，∴．故选A．6．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BD上的一点，连接EC，过点B作BG⊥CE于点G，交AC于点H，EF⊥EC交AB于点F．若正方形ABCD的边长为4，下列结论：①OE＝OH；②EF＝EC；③当G为CE中点时，BF＝；④BG•BH＝BE•BO，其中正确的是（　　）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】①由“ASA”可证△BOH≌△COE，可得OE=OH；②过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，由“ASA”可证△QEF≌△PEC，可得EF=EC；③由线段的垂直平分线的性质可求BC=BE=4，由正方形的性质可求BP=PE=，可求BF的长；④通过证明△BOH∽△BGE，可得，可得BH•BG=BE•BO．【详解】解：∵BG⊥CE，EF⊥EC，∴∠FEC＝∠BGC＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ECO+∠GHC＝90°＝∠OBH+∠BHO，∠BHO＝∠CHG，∴∠OBH＝∠ECO，又∵BO＝CO，∠BOH＝∠COE＝90°，∴△BOH≌△COE（ASA），∴OE＝OH，故①正确；如图，过点E作EP⊥BC于P，EQ⊥AB于Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∴EQ＝EP，又∵EP⊥BC，EQ⊥AB，∠ABC＝90°，∴四边形BPEQ是正方形，∴BQ＝BP＝EP＝QE，∠QEP＝90°＝∠FEC，∴∠QEF＝∠PEC，又∵∠EQF＝∠EPC＝90°，∴△QEF≌△PEC（ASA），∴QF＝PC，EF＝EC，故②正确；∵EG＝GC，BG⊥EC，∴BE＝BC＝4，∴BP＝EP＝2，∴PC＝4﹣2＝QF，∴BF＝BQ﹣QF＝2﹣（4﹣2）＝4﹣4，故③正确；∵∠BOH＝∠BGE＝90°，∠OBH＝∠GBE，∴△BOH∽△BGE，∴BH•BG＝BE•BO，故④正确，故选：D．7．（2022·全国九年级专题练习）如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是________．【答案】120°【分析】由△BPM∽△PAN，可得出∠BPM=∠A，进而再由等边三角形的性质以及角之间的转化，即可得出结论．【详解】解：∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，∵ △PMN是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．故答案为：120°．8．（2022·西宁市教育科学研究院中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是________．【答案】【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．【详解】解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．∵是等边三角形，，N是的中点，
∴AC=AB=6,AN=AB=3, ,∴.即BM+MN的最小值为．故答案为：.9．（2022·福建省福州杨桥中学九年级月考）如图，已知，，点E为线段BC上的一点，连接AE．（1）将线段AE绕点A逆时针旋转得到线段AF，点E的对应点是点F．请用尺规作图作出线段AF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：点F在的平分线上．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1)作∠DAT=∠EAB，在射线AT上截取AF，使得AE=AF即可；（2)在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH. 证明ΔABH是等边三角形，证明B、H、F共线可得结论.【详解】（1）如图，线段AF即为所求；（2)证明：在AD上取一点H，使得AH=AB，连接BH，FH.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°，∵∠ABC=120°，∴∠BAH=60°，∵AH=AB，∴ΔABH是等边三角形，∴∠AHB=∠ABH=60°，∴∠EAF=60°，∴ ∠EAF=∠BAH，∴ ∠FAH=∠EAB，在ΔFAH和ΔEAB中，∴ΔFAH≌ΔEAB (SAS)，∴∠AHF=∠ABE=120°，∴∠AHF+∠AHB=180°，∴B、H、F共线，∵∠FBA=∠FBE=60°，∴点F在∠ABC的角平分线上。10．（2022·沙坪坝区·重庆八中九年级二模）如图1，在RtACB中，AC＝BC，过B点作BD⊥CD于D点，AB交CD于E．（1）如图1，若AC＝6，tan∠ACD＝2，求DE的长；（2）如图2，若CE＝2BD，连接AD，在AD上找一点F，使CF＝DF，在FD上取一点G，使∠EGF＝∠CFG，求证：AF＝EG；（3）如图3，D为线段BC上方一点，且∠BDC＝90°，AC＝6，连接AD，将AD绕A点逆时针旋转90°，D点对应点为E点，H为DE中点，求当AH有最小值时，直接写出ACH的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．解直角三角形求出CD，CE可得结论．（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．想办法证明△ACF≌△EAJ（AAS），可得结论．（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．易知AH＝AD，求出AD的最小值可得结论．【详解】解：（1）如图1中，过点E作EH⊥BC于H．∵BD⊥CD，∴∠D＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠DBC＝90°，∴∠ACD＝∠DBC，∴tan∠DBC＝tan∠ACD＝2，∴＝2，∵AC＝BC＝6，∴BD＝，CD＝，∵EH⊥BC，∠EBH＝45°，∴∠EHB＝90°，∠EHB＝∠HBE＝45°，∴EH＝BH，设EH＝BH＝m，则HC＝2EH＝2m，∴3m＝6，∴m＝2，∴EH＝2，CH＝4，∴EC＝，∴DE＝CD﹣CE＝．（2）如图2中，过点A作AT⊥CE于T，在AG上取一点J，使得EJ＝EG．∵EJ＝EG，∴∠EJG＝∠EGJ，∵∠CFG＝EGJ，∴∠CFG＝∠EJG，∴∠AFC＝∠AJE，∵∠ATC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠DCB＝90°，∠DCB+∠CBD＝90°，∴∠ACT＝∠CBD，∵AC＝BC，∴△ATC≌△CDB（AAS），∴CT＝BD，∵EC＝2BD，∴CT＝ET，∵AT⊥EC，∴AC＝AE，∴∠ACT＝∠AEC，∴∠ACF+∠FCD＝∠EAJ+∠FDC，∵FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∴∠ACF＝∠EAJ，∴△ACF≌△EAJ（AAS），∴AF＝EJ＝EG．（3）如图3中，取BC的中点T，连接DT，AT．∵AC＝BC＝6，∠ACT＝90°，CT＝TB＝3，∴AT＝，∵CD⊥BD，∴∠CDB＝90°，∴DT＝BC＝3，∴AD≥AT﹣DT，∴AD≥3﹣3，∴AD的最小值为3﹣3，∵△ADE是等腰直角三角形，AH⊥DE，∴DH＝EH，∴AH＝DE＝AD，∴AH的最小值为；此时，A，D，T共线，如图3﹣1中，过点D作DQ⊥AC于Q，过点E作EP⊥CA交CA的延长线于P，过点H作HJ⊥AC于J．∵DQ∥CT，∴，∴，∴DQ＝，AQ＝由△AQD≌△EPQ，可得PE＝AQ＝，∵EP∥HJ∥DQ，EH＝HD，∴PJ＝JQ，∴JH＝（PE+DQ）＝∴△ACH的面积＝×6×＝．