吉林省通化市梅河口市第五中学2023届高三数学最后一模考试试题（火箭班）（Word版附答案）

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数，则复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是2的倍数的概率为（    ）

A． B． C． D．

4．若，则（    ）

A．1 B． C． D．

5．函数的图像大致为（    ）

A． B． C． D．

6．若直线恒过点，点也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

7．直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数有两个大于1的零点，则的取值范围可以是（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．为了提高学生的英语基础，某中学要求学生每天坚持一小时的听、说、读、写训练．为了调查该校5000名高中学生每周平均参加英语训练时间的情况，某教师从高一、高二、高三三个年级学生中按照3∶1∶1的比例分层抽样，收集了100名学生平均每周英语训练时间的样本数据（单位：h），整理后得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法中正确的有（    ）

A．估计该校高中学生平均每周英语训练时间不足4h的人数为1500人

B．估计该校高中学生平均每周英语训练时间不少于8h的人数所占百分比为22%

C．估计该校高中学生平均每周英语训练时间的中位数为5h

D．估计该校高中学生平均每周英语训练时间为5.84h

10．设函数，则（    ）

A．是奇函数 B．当时，有最小值2

C．在区间上单调递减 D．有两个极值点

11．已知点是抛物线上的动点，为坐标原点，为焦点，，且三点顺时针排列，则（    ）

A．当点在轴上时，

B．当点在轴上时，点的坐标为

C．当点与点关于轴对称时，

D．若，则点与点关于轴对称

12．如图，四棱锥的底面为梯形，底面，，，为棱的中点，则（    ）

A．与平面所成的角的余弦值为

B．

C．平面

D．三棱锥的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量满足，且，则与的夹角为________．

14．已知函数，把的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则________．

15．若函数为定义在上的奇函数，则曲线在点处的切线方程为________．

16．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点分别为，离心率为，过且斜率为的直线与交于两点，四边形的面积为，则四边形的周长是________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知为正项等差数列，为正项等比数列，其中，且，成等比数列，．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

18．（12分）已知锐角的内角的对边分别为，且．

（1）求；

（2）若，角的平分线交于点，求的面积．

19．（12分）如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．

（1）过点作，垂足为点，求证：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20．（12分）据统计，某医院10月份因患心脏病而住院的500名男性病人中，有260人秃顶，而另外500人不是因患心脏病而住院的男性病人中有100人秃顶．

（1）填写下列秃顶与患心脏病列联表：

据表中数据估计秃顶病患中患心脏病的概率和不掉头发病患中患心脏病的概率；

（2）能够以99.9%的把握认为秃顶与患心脏病有关吗？请说明理由；

（3）从不是因患心脏病而住院的男性病人中按照分层抽样方法抽取10人，再从这10名病患中随机抽取2人做进一步调查，设抽到的秃顶病患人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

注：．

21．（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4．

（1）求的方程；

（2）点是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由．

22．（12分）已知函数．

（1）证明：；

（2）讨论的单调性，并证明：当时，．

参考答案

1．C  2．D  3．B  4．C  5．C  6．B  7．A  8．D  9．B D  10．BCD  11．ABC  12．CD

13．  14．0  15．  16．26

17．解：（1）设等差数列的公差为，则．

因为，且成等比数列，

所以解得或（舍去）

所以．

因为，即，可得或（舍去），

所以．

（2），记的前项和为，

，①

，②

由①-②，得

，

所以．

18．解：（1）因为，

所以由正弦定理，得，即，

于是．

因为，所以．

（2）因为，

所以．

又，所以．

由余弦定理，得，

联立得，

解得或（舍去），

所以．

19．解：由直三棱柱，得平面，又，

可得三棱柱的体积，得．

如图，建立空间直角坐标系，

则，

则．

设，则，

故．

因为，所以，

所以，

解得，即．

（1）证明：由，

得，

，

所以．

因为，所以平面．

（2）易得为平面的一个法向量，

设为平面的法向量，．

由得

令，则，

所以为平面的一个法向量，

得．

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

20．解：（1）如下表所示

，

（2）能．

理由：由题可知，的观测值，

所以能够以的把握认为秃顶与患心脏病有关．

（3）从不是因患心脏病而住院的男性病人中按照分层抽样方法抽取10人，秃顶病患人数为2，不秃顶病患人数为8，再从这10名病患中随机抽取2人作进一步调查，抽到的秃顶病患人数的可能取值为0，1，2，得，，．

的分布列为

的期望为．

21．解：（1）的面积为4，则，得．

由离心率为，得，解得，

所以，

所以的方程为．

（2）为定值．

设，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为．

由，可得，

所以在第一象限内，，

所以，故．

因为，

所以，

代入直线的方程，得，

即．

由，可得，

所以直线的方程为，即．

因为直线的方程为，

所以直线与直线的交点的坐标为，

直线与直线的交点的坐标为，

所以，

所以，即的值为定值．

22．（1）证明：令，则，

所以在上单调递减，所以，即．

令，则有，

所以，所以，即．

（2）解：由可得，

令，则，

令，则，

所以在上单调递增，．

令，则有，

所以在上单调递增，所以在上单调递增，

所以对于，有，

所以，所以，

即，

整理，得．