2023年湖南省永州市零陵区中考数学三模试卷（含解析）

2023年湖南省永州市零陵区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列各数中：、、、，最大的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是(    )

A. 圆锥 B. 正方体
C. 三棱柱 D. 圆柱

3.  北京时间年月日时分，神舟十四号乘组迎来神舟十五号名航天员顺利进驻中国空间站，完成“太空会师”，年月日，神舟十四号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是(    )

A. 中国火箭 B. 中国探火
C. 航天神舟 D. 中国行星探测

4.  中国科学院高能物理研究所发布，基于中国“慧眼”卫星和“极目”空间望远镜对产生于距离地球光年字宙深处伽马射线暴的高精度测量，发现其具有迄今观测到的最大亮度，其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  判定三角形全等的方法有(    )
；；；；

A.  B.  C.  D.

7.  下列求三角函数值，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，圆锥的底面半径是，则圆锥侧面展开图中扇形的弧长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知一次函数和反比例函数的图象相交于、两点，则不等式的解集为(    )

A. 或
B.
C.
D. 或

10.  “数形结合”是一种重要的数学思维，观察下面的图形和算式：






解答下列问题：请用上面得到的规律计算：(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  三角形的内角和是______

12.  请写出一个在第二象限的点的坐标______．

13.  抛掷一枚硬币，则硬币正面朝上的概率为______ ．

14.  命题“等边对等角”的逆命题是“______ ”

15.  若一次函数的图象经过点，则 ______ ．

16.  如图，已知线段，用尺规作它的垂直平分线步骤如下：
第一步：分别以和为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点和点；
第二步：作直线．
点是直线上一点，则线段 ______ 填、或．

17.  小明背对小亮按下列四个步骤操作：
分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；
左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现在还剩有的张数是______ ．

18.  我们学习了一元二次方程和二次函数，综合利用它们的性质解决问题，阅读下列材料，回答问题：
例：已知关于的方程有实数根，求的最大值？
解：由题意可知，当时，方程有实数解
当时，
即

设函数
当时，
综上
已知关于的方程有实数根，则的最大值为______ ；
已知方程有实数根，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

解：解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
将不等式和的解集在数轴上表示；
原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
列方程组解应用题：
平谷区某食用菌种植合作社将废弃树枝秸秆粉碎后制作成蘑菇菌棒．废菌棒经过高温灭虫后还田，生产性废料循环利用还可以改善土壤值土壤酸碱度和板结的情况，抑制杂草生长，改善蔬果口感．合作社积极鼓励村民用废弃树枝秸秆换取菌棒，培训推广科学种植菌菇技术，扩大种植规模，让更多的村民能够拥有一技之长，形成一条绿色循环生态产业链，实现生态效益与经济效益双赢．现合作社准备购进一批加工菌棒的设备，现有，两种型号的设备，经调查购买一台型号的设备比购买一台型号的设备多万元；购买台型号的设备比购买台型号的设备少万元．求，两种型号的设备每台各多少万元？

22.  本小题分
虹承中学为做好学生“午餐工程”工作，学校工作人员搭配了，，，四种不同种类的套餐，学校决定围绕“在，，，四种套餐种类中，你最喜欢的套餐种类是什么？必选且只选一种”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查问卷适当整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢中套餐的学生占被抽取人数的，请你根据以上信息解答下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
通过计算，补全条形统计图；
如果全校有名学生，请你估计全校学生中最喜欢中套餐的学生有多少名？

23.  本小题分
如图，在中，，点在边上，平分，交于，是的外接圆．
求证：是的切线；
若，，求的半径长．

24.  本小题分
在物理学中，速度具有大小和方向如图，点受到两个速度，的影响，大小方向用有向线段，表示，以线段，为邻边作平行四边形，则对角线的大小和方向表示合速度即实际速度的大小和方向，这种方法称为平行四边形法则下面利用平行四边形法则解决实际问题．
已知小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为如图，当小船朝着垂直河岸方向航行时，根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东        ，大小为        ；
已知小河的水流速度仍为如图，若要使小船的实际速度方向为垂直于河岸方向，大小为，则小船应该朝哪个方向航行，速度大小为多少？

 

25.  本小题分
如图，在等腰三角形中，，点是底边上任意一点不与、重合，过点作，，垂足为、，由等面积法可知，即，从而可得：即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．
如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作、的垂线，垂足分别为、求的值；
如图，在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处点为线段上一动点不与点，重合，过点分别作直线、的垂线，垂足分别为、，以、为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；
如图，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线，垂足分别为点、、若，直接写出的面积．

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点点在点的左侧．
求、两点的坐标用含的式子表示；
将该二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，结合函数图象，求的取值范围；
已知直线：，点在二次函数的图象上，点的横坐标为，二次函数的图象在、之间的部分记为包括点，，图象上恰有一个点到直线的距离为，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
最大的数是：．
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最大的数即可．
本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆锥的左视图和主视图都是相同的等腰三角形，俯视图是圆带圆心，故本选项不合题意；
B.正方体的三视图都是正方形，故本选项符合题意；
C.该三棱柱的主视图一个矩形，俯视图是一列两个相邻的矩形，左视图是三角形，故本选项不合题意；
D.圆柱的左视图和主视图都是相同的长方形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
故选：．
主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看所得到的图形，据此判断即可．
本题考查了简单几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意，看得到的棱用实线表示，看不到的棱用虚线表示．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项B、、都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：．
一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解： ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值，逐项分析判断即可求解．
本题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值，熟练掌握算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，合并同类项，化简绝对值是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：判定三角形全等的方法有；；；，
故选：．
根据判定三角形全等的方法分析即可求解．
本题考查了判定三角形全等的方法，熟练掌握判定三角形全等的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解： ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据特殊角的三角函数值，逐项分析判断即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：圆锥底面圆的半径为，
圆锥底面圆的周长为：，
圆锥侧面展开图扇形的弧长为：．
故选：．
根据圆锥底面圆的周长等于它侧面展开图扇形的弧长，所以只要求出圆锥底面圆的周长即可．
此题主要考查了圆锥侧面展开图与圆锥各部分对应情况，这个问题在中考中是重点题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：观察函数图象，发现：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
不等式的解集是或．
故选：．
根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：观察下面的图形和算式：
，
，
，
，
，
发现规律：，
，
解得，
．
故选：．
观察图形和算式可得规律，得，解得，进而可得结果．
本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
 

11.【答案】 

【解析】解：三角形的内角和为，
故答案为：．
根据三角形内角和定理和外角和可直接得到答案．
此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握三角形内角和为．
 

12.【答案】 

【解析】解：令横坐标为负数，纵坐标为正数，如，等，答案不唯一．
只需让横坐标为负数，纵坐标为正数即可．
用到的知识点为：第二象限点的坐标的符号为．
 

13.【答案】 

【解析】解：一枚硬币只有正反两面，
抛掷一枚硬币，硬币落地后，正面朝上的概率是．
故答案为：．
因为一枚硬币只有正反两面，所以共有两种情况，再根据概率公式即可解答．
此题主要考查了概率公式的应用，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
 

14.【答案】等角对等边 

【解析】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为：等角对等边．
交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是分清原命题的题设和结论．
 

15.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
．
故答案为：．
直接把点代入一次函数，求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据作图可得是线段的垂直平分线，
，
故答案为：．
根据作图可得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解．
本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设第一步时候，每堆牌的数量都是；
第二步时候：左边，中间，右边；
第三步时候：左边，中间，右边；
第四步开始时候，左边有张牌，则从中间拿走张，则中间所剩牌数为．
所以中间一堆牌此时有张牌．
故答案为：．
此题看似复杂，其实只是考查了整式的基本运算．把每堆牌的数量用相应的字母表示出来，列式表示变化情况即可找出最后答案．
本题考查整式的加减，解决此题，根据题目中所给的数量关系，建立数学模型．根据运算提示，找出相应的等量关系．
 

18.【答案】不存在  

【解析】解：将方程整理，得．
它有实数解，
，整理得．
设函数，
令，即，解得或．
当时，或，
的最大值不存在．
故答案为：不存在．
令，将代入方程，得，
整理得．
它有实数根，
．
设函数，
令，得或．
当时，，
的最大值为．
故答案为：．
根据题中的举例计算即可；
将作为参数，解出关于参数的表达式，代入方程，得到关于的二次函数，然后再按照题中的举例计算即可．
本题主要考查二次函数与轴的交点和根的判别式的运用，题目很新颖，难度不大，但计算要特别细心．
 

19.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示出来：
，
原不等式组的解集为：，
故答案为：；；．
首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是掌握解集的确定方法：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
 

20.【答案】解：原式，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

21.【答案】解：设型号的设备万元台，型号的设备万元台，
依题意得：，
解得：．
答：型号的设备万元台，型号的设备万元台． 

【解析】设型号的设备万元台，型号的设备万元台，根据“购买一台型号的设备比购买一台型号的设备多万元；购买台型号的设备比购买台型号的设备少万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

22.【答案】解：一共抽取的学生有名，
答：在这次调查中，一共抽取了名学生；

根据题意得：
喜欢种套餐的学生有
名；

全校有名学生，
全校学生中最喜欢中套餐的学生有
名，
答：估计全校最喜欢种套餐的学生有名． 

【解析】根据最喜欢种套餐种类的人数除以最喜欢中套餐的学生所占的百分比，即可求出调查总人数；
根据中所求出的总人数减去喜欢，，三种套餐种类的人数，即可求出答案；
用全校总学生数乘以最喜欢中套餐的学生所占的百分比，即可求出答案．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

23.【答案】证明：连接．

平分，
．
又，
，
，
，
．
又点在上，
是的切线．
设的半径为，
，
，
即，
解得，
的半径为． 

【解析】连接，由于是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即是的切线；
利用勾股定理即可求出半径．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了勾股定理．
 

24.【答案】  

【解析】解：如图，
根据题意得，，，，
，
根据勾股定理得，，
小船的实际速度方向为北偏东，大小为，
故答案为：，；
如图，
根据题意得，，，，
根据勾股定理得，，
，
，
根据平行四边形法则，，，
，
小船应朝北偏西方向航行，速度大小为．
根据题意得，，，，根据勾股定理求出小船的实际速度方向和大小；
根据题意可知，，，，根据勾股定理求出的值，，根据平行四边形法则即可确定小船航行方向和速度大小．
本题考查了平行四边形的性质与实际应用相结合，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：在矩形中，，，
，，
设到的距离为，
则，
，
等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离和，等于腰上的高．
，
四边形是矩形，
，，
，
将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，
，，，，，
，
，
是等腰三角形，
在与中，
，
≌，
，
在中，，
即等腰三角形，腰上的高为，
依题意，，
平行四边形的周长为；
如图所示，连接，，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据勾股定理求得，设到的距离为，等面积法求得，根据题意，即可求解；
根据折叠的性质，得出是等腰三角形，勾股定理求得即等腰三角形腰上的高，结合平行四边形的性质即可求解；
根据三角形的面积公式，根据，求得，根据等边三角形的性质即可求解．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，平行四边形的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握题中结论是解题的关键．
 

26.【答案】解：令，，
解得或，
点在点的左侧，
，．
二次函数对称轴为：，
经翻折后函数的变化为：
当时，函数的函数值随的增大而减小，
当时，函数的函数值随的增大而增大，
当时，函数的函数值随的增大而减小，
当时，函数的函数值随的增大而增大，
若当时，这个新函数的函数值随的增大而减小，
则，解得，
或，解得．
综上：或时，当时，这个新函数的函数值随的增大而减小．
当时，，
，
当点在点的左侧，那么图象在轴的上方，
图象上恰有一个点到直线的距离为应过直线，
令，解得或，
恰有一个点到直线的距离为，
，
解得；
当点在点的右侧，那么图象在轴的下方，
图象上恰有一个点到直线的距离为应过直线，
令，解得或，
恰有一个点到直线的距离为，
，
解得．
综上：当或时，图象上恰有一个点到直线的距离为． 

【解析】令，用表示出的值，要注意点在点的左侧求出两点坐标；
求出新函数函数值随的变化规律，根据题意列出关于的不等式，求出的取值范围；
求出的坐标，明确图象的位置，判断图象与哪条直线相交，根据题意列出关于的不等值，求出的取值范围．
本题以二次函数为背景考查了二次函数中图象的性质，考查学生对二次函数特殊点的坐标的灵活运用，本题常作为考试题出现，难度中上，解决问题的关键是找准临界点，利用特殊点列出正确的不等式即可求出答案．