2023年广东省实验中学中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省实验中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，属于有理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  单项式的次数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若正数的两个平方根是与，则为(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩单位：分分别是，，，，，，，，对这组数据，下列说法正确的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 极差是

6.  下列命题是真命题的是(    )

A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形

7.  已知，满足方程组，则的值为(    )

A. 一 B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，则的内切圆的半径是(    )

A.
B.
C.
D. 无法判断

9.  如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则函数的图象可能是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接，若点与圆心不重合，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  点关于原点对称的点的坐标是______．

12.  因式分解：______．

13.  在中，，，则 ______ ．

14.  计算： ______ ．

15.  一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则 ______ 填“”或“”或“”．

16.  如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，按以下步骤操作：
第一步，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，则线段的长为          ；
第二步，分别在，上取点，，沿直线继续翻折，使点与点重合，则线段的长为          ．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，已知，，若，求的度数．

19.  本小题分
已知．
化简；
若正方形的边长为，且它的面积为，求的值．

20.  本小题分
【跨学科试题】为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读，参赛者从短歌行将进酒观沧海木兰辞分别用、、、表示中随机抽取一首进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者从蒹葭沁园春雪念奴娇赤壁怀古分别用、、表示中随机抽取一首进行讲解小明和晓慧都参加了诗词大赛．
小明第一轮抽到将进酒的概率是______ ；
利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的概率．

21.  本小题分
电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．
当时，求与之间的关系式；
电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过？

22.  本小题分
便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案．

请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是        ．
A.三角形具有稳定性
B.两点确定一条直线
C.两点之间线段最短
在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图所示的形变若其他因素忽略不计，测得，，，请计算此时水桶下降的高度参考数据：，，

23.  本小题分
如图，已知中，；以为直径作，与边相切于点，交边于点，为中点，连接．
求证：是的切线；
尺规作图：点是线段上一动点，当最小时，请在图中画出点的位置不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，若，，求出的长度．

24.  本小题分
平面直角坐标系中，抛物线：，与轴交于点．
时，过点作直线垂直于轴，与抛物线的另一个交点记为点求的长；
在的条件下，抛物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为，且解析式记为．
与直线交于点、两点，若，求的范围；
若，当抛物线与抛物线的交点始终在定直线为常数上时，求此时的最小值用含的代数式表示．

25.  本小题分
如图，在钝角中，，，点、分别为边、上的点，且，，将绕点逆时针方向旋转度．

求的长；
如图，当时，连接、求证：∽；
如图，在旋转的过程中，直线、交于点．
______ ；
将从图位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是有理数，故A符合题意；
B、是无理数，故B不符合题意；
C、是无理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D不符合题意；
故选：．
根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．
本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：单项式的次数为：，
故选：．
根据单项式次数的定义，即单项式所含字母的指数和为单项式的次数，据此即可解答．
本题考查了单项式次数的定义，熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：正数的两个平方根是与，
，
解得：，
故选：．
根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．
本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
则不符合题意；
B.

，
则符合题意；
C.，
则不符合题意；
D.和不是同类二次根式，无法合并，
则不符合题意；
故选：．
根据绝对值的性质，积的乘方，完全平方公式，二次根式的加法法则将各项运算后进行判断即可．
本题考查绝对值的性质，二次根式的加法运算及整式的运算，实数及整式的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了中位数、众数、平均数与极差的概念，是基础题，熟记定义是解决本题的关键．
由题意可知：总数个数是偶数的，按从小到大的顺序，取中间两个数的平均数为中位数，则中位数为；一组数据中，出现次数最多的数就叫这组数据的众数，则这组数据的众数为；这组数据的平均数；一组数据中最大数据与最小数据的差为极差，据此求出极差为．
【解答】
解：、按从小到大排列为：，，，，，，，，中位数是：，故A选项错误；
B、出现了次，次数最多，所以众数是，故B选项正确；
C、平均数，故C选项错误；
D、极差是：，故D选项错误．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误，不符合题意；
选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误，不符合题意；
选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误，不符合题意；
选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确，符合题意．
故选：．
根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判断即可．
本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，得，
．
故选：．
利用方程方程，可得出，方程两边同时，即可得出的值．
本题考查了解二元一次方程组，利用整体思想，求出的值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，切于，切于，切于，连，，
，，
四边形为正方形，
，，，
，
设的半径为，则，
，，
，即，
．
故选：．
切于，切于，切于，连，，根据切线的性质得到，，则四边形为正方形，得到，根据切线长定理得，，利用可求出．
本题考查了圆的切线的性质和切线长定理：圆的切线垂直于过切点的半径；从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等．
 

9.【答案】 

【解析】解：图象可知一次函数与二次函数的图象交于第一象限的、两点，
方程，即有两个不相等的正实数根，
函数与轴正半轴有两个交点，
符合题意，
故选：．
从图中可看出，两个方程联列方程组，有两个正实数根，从而函数有两个正实数解，又开口方向向上，即可推出答案．
本题考查了二次函数与一次函数的综合题，解题的关键是两个函数联列后的解的情况，就是函数成轴交点情况．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是直径，
，
，
．
根据翻折的性质，所对的圆周角为，所对的圆周角为，
，
，
．
故选C．
连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据等于所对的圆周角减去所对的圆周角，计算即可得解．
本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质，难度适中．根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称的点的坐标是．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，，，，
，
即，
故答案为：．
根据三角形内角和定理以及图形中的各角之间的关系进行计算即可．
本题考查三角形内角和，掌握三角形内角和是是正确解答的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：




．
故答案为：．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得，
反比例函数的图象在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
根据一元二次方程根的判别式可得的值，再根据反比例函数的增减性即可进行比较．
本题考查一元二次方程根的判别式、反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【解答】
解：如图，过点作于，则四边形是矩形，连接，，设交于．

四边形是矩形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
由翻折可知，垂直平分，即，
，，
，
，
∽，
，
，
，，
，
设，
垂直平分线段，
，，

，
，
，
，
由，得，
，
故答案为：；．  

17.【答案】解：

． 

【解析】根据特殊角的三角函数值以及零次幂，二次根式的性质化简，进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值以及零次幂，二次根式的性质化简是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质与判定可进行求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
 

19.【答案】解：；
由边长为的正方形的面积为，得到，
则． 

【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可；
由正方形的面积求出边长的值，代入计算即可求出的值．
 

20.【答案】 

【解析】解：由题意可得，小明第一轮抽到将进酒的概率是．
故答案为：．
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的结果有种，
晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的概率为．
直接利用概率公式可得答案．
画树状图得出所有等可能的结果数以及晓慧第一轮抽中木兰辞且第二轮抽中沁园春雪的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：由题意，
解得，，
设．
过点，
．
当时，与的关系式为：；

过点，
温度每上升，电阻增加．
过点，
，
解得：，
故与的关系式为：，
，当时，得；
，当时，得；
答：温度取值范围是：． 

【解析】设关系为，将代入求；
将代入关系式中求，再利用温度每上升，电阻增加，得出图象上点的坐标，再求出函数关系即可，将代入函数关系式求出的值．
此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．
 

22.【答案】 

【解析】解：选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：；
如图：

根据题意知，，是的中点，
，
，
，
设，则，
在中，
，
，即，
解得，
，
此时水桶下降的高度为．
根据三角形的稳定性解答即可；
设，在中，，代入数据可解得答案．
本题考查解直角三角形的应用，涉及三角形稳定性，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
 

23.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
即，
半径，
是的切线；

解：如图：

过作的垂线，交于，交于；
连接，与交于点；
此时的即为使最小的点；

解：是的切线，
，
又，，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
故C的长度为． 

【解析】连接，根据角的关系证即可得证；
过作的垂线，交于，交于；连接，与交于点；即可确定点的位置；
利用特殊角三角函数和勾股定理分别求出，，的长度，再证∽，根据线段比例关系即可求出的长度．
本题主要考查圆的综合知识，相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练应用相似三角形得出线段比例关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，，
令得，
，
在中，令得：，
解得或，
，
；
抛物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为，
设解析式记为，
在中，令得：，
，，
，
，
，
解得：；
经检验，时，有实数解，
；
联立得：，
整理得：，
，
，
抛物线与抛物线的交点始终在定直线为常数上，
，
，
，
当时，取最小值，




，
当时，取最小值，
取最小值，
当时，的最小值为；
答：的最小值是． 

【解析】由求出，的坐标，即可求出的长度；
根据抛物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为写出抛物线的解析式，表示出的长度，由列不等式可解得的范围；
由当抛物线与抛物线的交点始终在定直线为常数上可得，再用配方法求出的最小值即可．
本题考查二次函数的综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，二次函数与一元二次方程的关系，配方法等知识，解题的关键是熟练应用配方法求二次函数的最大小值．
 

25.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
∽，
，即，
；
证明：由知，，
，
，
，
∽；
解：如图中，设交于点．

∽，
，
，，，
，
故答案为：；
如图以为边向左边等边，连接，，以为圆心，为半径作，

，，
，
点在上运动，
以为圆心，为半径作，当直线与相切时，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
的长，
观察图象可知，点的运动路程是的长的两倍．
如图，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似，可得，即可求解；
在图中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可；
利用相似三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解；
点的运动路程，是图中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．
本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．