陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析)
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这是一份陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一数学下学期期末试题(Word版附解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
长安一中2021-2022学年度第二学期期末考试高一数学试题时间:100分钟 分值:150分一、选择题:本题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合,集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简得,,再分析即可【详解】由题意,,,因为表示所有偶数,能表示所有整数,故故选:B2. 牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化:如果物体的初始温度为,则经过一定时间t分钟后的温度T满足,h称为半衰期,其中是环境温度.若℃,现有一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟,那么水温从75℃降至55℃,大约还需要(参考数据:,,)( )A. 3.5分钟 B. 4.5分钟 C. 5.5分钟 D. 6.5分钟【答案】C【解析】【分析】根据已知条件代入公式计算可得,再把该值代入,利用对数的运算性质及换底公式即可求解.【详解】解:由题意,℃,由一杯80℃的热水降至75℃大约用时1分钟,可得,所以,又水温从75℃降至55℃,所以,即,所以,所以,所以水温从75℃降至55℃,大约还需要分钟.故选:C.3. 已知函数的定义域为,为奇函数,为偶函数,则函数的周期是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由奇函数性质可得,由偶函数性质可得,化简整理可得,即可求出周期.【详解】因为为奇函数,所以, 因为为偶函数,所以,则,则,即,所以,即,则,所以的周期是4.故选:C.4. 已知平面向量满足,且与的夹角为,则的最大值为( )A. B. 6 C. D. 8【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则,构造出三角形后运用余弦定理得到关于的方程,由判别式大于等于0可得的最大值.【详解】根据题意和向量减法的三角形法则,可构建如图所示三角形.所以,设,在中根据余弦定理化简得有正解,又因为二次函数对称轴,所以只需要判别式即可,解得,所以.故选:A.5. 某几何体的三视图如图所示,其中正视图与侧视图均为等腰直角三角形,则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为1,从而可求出其表面积【详解】因为该几何体的三视图中,正视图与侧视图均为等腰直角三角形,俯视图为边长为2的正方形,所以该几何体是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为1,如图所示,所以其表面积为,故选:D6. 若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据二倍角公式,结合同角三角函数的关系求解即可【详解】因为,显然,故,故选:A7. 数列中,,,若,则( )A. 3 B. 5 C. 4 D. 6【答案】D【解析】【分析】令,求得,得到数列是首项为2,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式,列出方程,即可求解.【详解】由题意,数列中,,,令,可得,即,所以数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,又由,解得.故选:D.8. 若两个正实数满足,且不等式有解,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意,结合基本不等式求得的最小值为,把不等式有解,转化为,即可求得实数的取值范围.【详解】由题意,正实数满足,则,当且仅当时,即时,等号成立,即的最小值为,又由不等式有解,可得,即,解得或,即实数的取值范围为.故选:C.9. 在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到直线的距离的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用点到直线的距离公式,求得点到直线的距离,结合基本不等式,即可求解.【详解】设曲线上任意一点,则 可得点到直线的距离为 由于,当且仅当时,即时,等号成立,所以点到直线的距离最小距离为.故选:C.10. 在△ABC中,已知,则△ABC的形状是( )A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦和差角公式可化简得,再运用正弦定理将边化为角,根据正弦的二倍角公式化简,可得出三角形的角的关系,可判断出三角形的形状.【详解】由得,即得,即,再由正弦定理可得,即,所以,所以,即,解得或,即或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形。故选:D.【点睛】本题主要考查正弦的和差角公式,正弦定理的应用,正弦的二倍角公式,关键在于运用相应的公式进行三角形的边角进行转化,统一边或角,属于中档题.11. 在平面中,过定点作一直线交轴正半轴于点,交轴正半轴于点,面积最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设直线的截距式,再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可【详解】易得直线不经过原点,故设直线的方程为,因为直线过定点,故,所以,故.当时等号成立故故选:C12. 已知菱形的边长为3,,沿对角线折成一个四面体,使平面垂直平面,则经过这个四面体所有顶点的球的体积为( ).A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设球心为,,则,,可得,求出,可得,即可求出球的体积.【详解】是的中点,由题意可知: 平面 ,如图所示,设球心为,在平面中的射影为,是的中点,,则,, 所以,球的体积为.故选:A.
13. 已知数列满足,,记数列的前项和为,则=( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将变为,即可得,利用裂项求和的方法可得,即可求得答案.【详解】因为,,所以,所以,又 ,故,故选:A14. 设函数的定义域为,若存在常数,使对一切实数均成立,则称为“函数”.给出下列函数:①;②;③;④;⑤是定义在上的奇函数,且对一切实数有.其中是“函数”的个数为( )A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个【答案】B【解析】【分析】对①,直接根据“函数”定义分析即可.对②,代入有恒成立, 不存在故不是“函数”;对③,举反例当时不成立即可.对④,代入化简可得恒成立,再根据二次函数的最值求解即可.对⑤, 取,即可证明恒成立,故是“函数”.【详解】①时,由,恒成立,故是“函数”;②时,,即,时即恒成立,而,故不存在,不是“函数”;③时,,故在时不成立,不是“函数”;④时,,时左右相等,时即恒成立.,,即可,,是“函数”;⑤由是定义在上的奇函数,则.取,,则,即恒成立,即可,是“函数”.综上,“函数”的个数为3个.故选:B【点睛】本题主要考查了函数新定义的应用,需要根据函数满足的关系式,结合已知函数的值域进行分析,或者举出反例.属于中档题.二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分.15. 不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】将等价转化为或,解不等式组可得答案.【详解】原不等式等价于或,解得 或 ,故答案为:16. 直线关于直线的对称直线方程为__________.【答案】【解析】【分析】先求得两直线的交点坐标,然后在任取一点,求得其关于直线的对称点,即可求得答案.【详解】联立和直线,求得它们的交点为,在直线取点,设其关于的对称点为,则 ,解得,故直线关于直线的对称的直线为AC,其斜率为 ,直线方程为,即,故答案:17. 已知、满足,则的最小值是__________.【答案】##1.5【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域,数形结合即可求出.【详解】画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分,,其中表示点与连线的斜率,由图可知,直线的斜率最小,联立方程,解得,所以.故答案为:.18. 在中,若,的面积为,角B的平分线交AC于点D,且,则________.【答案】【解析】【分析】根据面积关系可得,,再利用余弦定理即可求出.【详解】设三角形的三边分别为,则,所以,又,所以,由余弦定理,即.故答案为:.19. 在锐角三角形中,,则的最小值是________.【答案】##【解析】【分析】由已知结合三角函数恒等变换公式可得,再由为锐角三角形,可求出,而,令(),换元化简可求出其最小值【详解】因为在中,,,所以,所以,所以,因为为锐角三角形,所以,所以,所以因为为锐角三角形,所以,所以,所以,当且仅当时取等号,由,得,所以,所以,当且仅当时取等号, 所以,令(),则因为,所以,所以,所以,所以,当且仅当时取等号,所以的最小值为,故答案为:20. 如图所示,在正方体中,点E是棱上的一个动点,平面交棱于点F.给出下列四个结论:①存在点E,使得 //平面;②存在点E,使得 ⊥平面;③对于任意的点E,平面⊥平面 ④对于任意的点E,四棱锥的体积均不变其中,所有正确结论的序号是________.【答案】①③④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理,以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可.【详解】解:①当为棱上的中点时,此时也为棱上的中点,此时;满足平面成立,①正确.②平面,若存在点,使得平面,则,则矩形,是正方形或菱形,在正方体中,.则矩形,不可能是正方形或菱形,不可能存在点,使得平面,②错误.③连结,则平面,而平面,平面平面,成立,③正确.④四棱锥体积等于,设正方体的棱长为1,无论,在何点,三角形的面积为为定值,三棱锥的高,保持不变.三角形的面积为为定值,三棱锥的高为,保持不变.三棱锥和三棱锥体积为定值,即四棱锥的体积等于为定值,④正确.故答案为:①③④ 三、解答题:本题共4小题,共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21. 已知数列前项和满足.(1)求数列的通项公式;(2)已知__________,求数列的前项和.从下列三个条件中任选一个,补充在上面问题的横线中,然后对第(2)问进行解答.条件:① ; ②;③注:如果选择多个条件分别解答,以第一个解答计分.【答案】(1) (2)答案不唯一,具体见解析【解析】【分析】(1)由,利用,即可求得数列的通项公式;(2)分别选择条件①②③,求得数列的通项公式,结合乘公比错位相减法、裂项法和分类讨论,进而求得数列的前项和.【小问1详解】解:因为在数列中,.当时,;当时,,又因为也满足,所以数列的通项公式为.【小问2详解】解:选择条件①:由,可得,,两式相减得,故.选择条件②:由(1)知,所以∴.选择条件③:因为,当n为偶数时,;当n为奇数时,,综上所述:数列的前项和.22. 在锐角中,内角所对的边分别为,已知,(1)求角的大小;(2)求取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据已知结合和的余弦公式和二倍角公式化简可得即可求出;(2)利用正弦定理化边为角,由正弦函数的性质即可求出.【小问1详解】由可得,化简可得,即,又因为三角形为锐角三角形,所以.【小问2详解】根据正弦定理,可得,故,又因为,所以.23. 如图所示,在四棱锥中,平面,底面ABCD满足AD∥BC,,,E为AD的中点,AC与BE的交点为O.(1)设H是线段BE上的动点,证明:三棱锥的体积是定值;(2)求四棱锥的体积;(3)求直线BC与平面PBD所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)【解析】【分析】(1)证明平面,由于H是线段BE上的动点,即可证明三棱锥的体积是定值;(2)平面,说明是四棱锥的高,根据棱锥的体积公式即可求得答案;(3)建立空间直角坐标系,求得相关点的坐标,求出平面的法向量,利用向量的夹角公式结合三角函数同角的关系求得答案.【小问1详解】因为底面为梯形,AD∥BC,E为AD的中点,且,所以四边形为平行四边形,则 ,又平面,平面,所以平面,又因为H为线段上的动点,的面积是定值,从而三棱锥的体积是定值.【小问2详解】因为平面,所以,结合,所以,又因为,且E为的中点,所以四边形为正方形,所以,结合,则平面,连接,则,因为平面,所以,因为,所以是等腰直角三角形,O为斜边上的中点,所以,且,所以平面,所以是四棱锥的高,又因为梯形的面积为,在中,,所以.【小问3详解】以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则,则,设平面的法向量为,则 ,即 ,则 ,令,得到,设与平面所成的角为,则,所以,所以直线与平面所成角的余弦值为.24. 已知二次函数.(1)若,试判断函数零点个数;(2)是否存在,使同时满足以下条件:①对任意,且;②对任意,都有.若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.【答案】(1)当时,函数有一个零点;当时,函数有两个零点;(2)存在,,,.【解析】【分析】(1)由,可得,代入判别式,讨论判别式的符号,可得函数的零点个数;(2)假设,,存在,由① 对称轴和顶点,由②可得以及联立求解.【详解】解:(1),即又已知当时,,函数有一个零点;当时,,函数有两个零点;(2)假设,,存在,由可得的对称轴为.即①又由得即②联立① ②可得故可化作.由条件② 可得.∴得.即∴ ,解得,又,,.综上所述:存在,,使其满足条件① ②.
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