海南省海口市海南华侨中学2023届高三模拟测试数学试题

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试

本试卷共22题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.设，其中，为实数，则（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

3.为客观反映建设创新型国家进程中我国创新能力的发展情况，国家统计局社科文司《中国创新指数（CII）研究》课题组研究设计了评价我国创新能力的指标体系和指数编制方法.中国创新指数（China Innovation Index，CII）中有4个分指数（创新环境指数、创新投人指数、创新产出指数、创新成效指数），下面是2005—2021年中国创新指数及分领域指数图，由图可知指数与年份正相关，则对4个分领域指数，在建立年份值与指数值的回归模型中，相关系数最大的指数类型是（    ）

A.创新环境指数 B.创新投人指数 C.创新产出指数 D.创新成效指数

4.已知，若，，则（    ）

A. B. C. D.

5.展开式中的系数为（    ）

A.270 B.240 C.210 D.180

6.下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（    ）

A. B. C. D.

7.已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（    ）

A. B. C. D.

8.已知，，是球的球面上三点，，，，若异面直线与所成角的余弦值为，则球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知，，且，则（    ）

A.的最大值为  B.的最小值为4

C.的最小值为2 D.的最大值为4

10.设为抛物线：（）的焦点，为坐标原点，为上一点，且，则（    ）

A.  B.

C.直线的斜率为 D.的面积为

11.已知函数（）的图象与函数的图象的对称中心完全相同，且在上，有极小值，则（    ）

A.  B.

C.函数是偶函数 D.在上单调递增

12.已知函数（），则（    ）

A.若，则函数在上单调递增

B.若在上有最小值，则在上有最大值

C.过原点有且仅有一条直线与的图象相切

D.若函数存在大于1的极值点，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，不共线，，，写出一个符合条件的向量的坐标：______.

14.已知，则______.

15.工人甲将一底面半径为4、高为4的圆柱型钢料，车削成一下底面半径为4、高为4的圆台型钢坯.经测量，车削下来的钢料体积占圆柱型钢料体积的，则圆台型钢坏所对应圆台的母线长为______.

16.已知圆：的图象在第四象限，直线：，：.若上存在点，过点作圆的切线，，切点分别为，，使得为等边三角形，则被圆截得的弦长的最大值为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

已知的内角，，的对边分别为，，，，.

（1）若，证明：；

（2）若边上的高为，求的周长.

18.（12分）

已知数列中，，是与9的等差中项，记为数列的前项和，满足（）.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求实数的最小值.

19.（12分）

在以视觉为主导的社交媒体时代，人们常借助具有美颜功能的产品对自我形象进行美化.移动端的美颜拍摄类APP主要有两类：类是以自拍人像、美颜美妆为核心功能的APP；类是图片编辑、精修等图片美化类APP.某机构为调查市民对上述，两类APP的使用情况，随机调查了部分市民.已知被调查的市民中使用过类APP的占60%，使用过B类APP的占50%，设个人对美颜拍摄类APP类型的选择及各人的选择之间相互独立.

（1）从样本人群中任选1人，求该人使用过美颜拍摄类APP的概率；

（2）从样本人群中任选5人，记为5人中使用过美颜拍摄类APP的人数，设的数学期望为，求；

（3）在单独使用过，两类APP的样本人群中，按类型分甲、乙两组，并在各组中随机抽取8人，甲组对类APP，乙组对类APP分别评分如下：

记甲、乙两组评分的平均数分别为，，标准差分别为，，试判断哪组评价更合理.（设（），越小，则认为对应组评价更合理.）

参考数据：，.

20.（12分）

如图，多面体中，四边形是菱形，，，，，，平面.

（1）求；

（2）求二面角的正弦值.

21.（12分）

已知函数（）有两个零点.

（1）求实数的取值范围；

（2）设函数的两个零点分别为，，证明：.

22.（12分）

已知双曲线：（，）的离心率为2，右顶点到渐近线的距离等于.

（1）求双曲线的方程.

（2）点，在上，且，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

2023年普通高等学校招生全国统一考试

数学模拟测试参考答案

1. B  【命题意图】本题考查集合的基本运算，要求考生能用集合表示简单不等式的解集，理解两个集合交集的含义，能求两个集合的交集.

【解题分析】由题意得，.

2. A  【命题意图】本题考查复数的有关概念及运算，要求考生理解复数的有关概念和掌握复数代数形式的四则运算.

【解题分析】，，.

3. D  【命题意图】本题考查成对数据的统计相关性，要求考生了解样本相关系数的统计含义.

【解题分析】由题图易知4个分领域指数的起始位置相同，其中创新投入指数，创新产出指数从2014年起，指数增幅大，变化趋势明显大于另两类指数；从2011年起，创新环境指数的波动幅度比创新成效指数的波动幅度大，创新成效指数对应的散点更趋近于某一条直线，故其对应的相关系数最大.（也可通过直尺度量比较）

4. D  【命题意图】本题考查指数、对数比较大小，要求考生理解对数的运算性质，指数函数、对数函数的单调性.

【解题分析】，，，，故选D.

5. A  【命题意图】本题考查二项式，要求考生会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

【解题分析】展开式的通项公式为，

则原展开式中的系数为.

6. B  【命题意图】本题考查函数的性质与图象，要求考生了解函数奇偶性的概念与几何意义，能比较函数图像的变化规律，并能简单应用.

【解题分析】由图象可知函数是奇函数，排除C；当时，，排除A；当时，，排除D.故选B.

7. C  【命题意图】本题考查椭圆的离心率，要求考生掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质.

【解题分析】作轴，垂足为，在中，，设，由题意知，由余弦定理得，由椭圆定义知，则离心率.

8. A  【命题意图】本题考查立体几何体初步，要求考生认识柱、锥、球的结构特征及表面积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.

【解题分析】由题意知，在中，，

，，外接圆的圆心是的中点，易知平面.设，长方体如图所示，易知，且，四边形是平行四边形，则，为异面直线与所成角（或补角），易知，，则在等腰中，，解得，则球的半径，球的表面积为.

9. AC  【命题意图】本题考查基本不等式的应用，要求考生能用基本不等式解决简单的最值问题.

【解题分析】，得，当且仅当时取等号，选项A正确；

，当且仅当时取等号，此时，选项B不正确；

，当且仅当时取等号，选项C正确；

，当且仅当时取等号，选项D不正确.

10.  【命题意图】本题考查抛物线，要求考生了解抛物线的定义、标准方程及简单的几何性质.

【解题分析】由题意得，解得，的方程为，焦点，

由抛物线定义及，得，，的面积，故选ABD.

11. AD  【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，要求考生了解的实际意义，能借助图象理解参数，，的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.

【解题分析】由题意，函数与的最小正周期相同，则，且.

当时，，，

则，，，有极大值，无极小值，不合题意；

当时，，，，，，有极小值，满足题意.（或通过求对称中心定的值.）

，，A项正确，B项不正确；

，不是偶函数，C项不正确；

当时，，函数在上单调递减，则在上单调递增，D项正确.

12. BC  【命题意图】本题考查导数在函数中的应用，要求考生能利用导数求三次的多项式函数的极值与最值，体会导数与单调性、极值、最值的关系.

【解题分析】当，时，易知函数在上单调递增，当，时，易知函数在上单调递减，A项不正确；函数是奇函数，即函数满足，B项正确；，设切点，切线方程为，切线过点，得，该方程有且仅有一解，C项正确；若函数有极值点，则有两个不同的根，则，设两根分别为，，则，若，则，当，时，，当，时，，D项不正确.

13.（答案不唯一）  【命题意图】本题考查平面向量，要求考生会计算平面向量的数量积，会用数量积判断两个平面向量垂直、共线的关系.

【解题分析】由题意得，，则，设，得，且，满足条件的向量的坐标可以为（答案不唯一）.

14.  【命题意图】本题考查三角恒等变换，要求考生理解同角三角函数的基本关系式，能运用三角公式进行简单的恒等变换.

【解题分析】，解得，

.

15. 5  【命题意图】本题考查旋转体，要求考生认识圆柱与圆台的结构特征，并了解圆柱和圆台体积的计算方法.

【解题分析】设圆台的上底面半径为，由题意得，

解得，则圆台的母线长.

16.  【命题意图】本题考查直线与圆，要求考生能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.

【解题分析】由题意知，，直线：，直线与圆相离，

圆心到直线的距离，由题意易知，则，

，则，

圆心到直线的距离，被圆截得的弦长为.

17.【命题意图】本题考查解三角形，要求考生掌握三角恒等变换及正、余弦定理.

【解题分析】由正弦定理得，

则，.…………1分

（1）由，得，，，…………2分

，…………3分

，，，…………4分

函数在上单调递减，则.…………5分

（2）由题意得的面积，…………6分

又，则，…………7分

由余弦定理，

得，…………8分

得，…………9分

的周长为.…………10分

18.【命题意图】本题考查数列，要求考生理解等比数列的通项公式与前项和公式的关系，能解决相应的问题.

【解题分析】（1）由题意知，当时，，得，…………1分

当时，，又，得，…………2分

易知数列是公比为的等比数列，则数列是公比的等比数列，…………3分

，即，解得或（舍去），…………5分

故.…………6分

（2）由（1）知，…………7分

由题意得，设，…………8分

，…………9分

当时，，当时，，…………10分

的最大值为.…………11分

故的最小值为.…………12分

19.【命题意图】本题考查统计与概率，要求考生了解相互独立事件，掌握二项分布及其数字特征，理解离散程度参数的统计含义，并能解决简单的实际问题.

【解题分析】（1）设事件表示“使用过类APP”，事件表示“使用过类APP”，由题意知，.…………2分

任选一人，该人使用过美颜拍摄类APP的概率

.…………4分

（2）由题意知，…………5分

则的数学期望.…………6分

.…………8分

（3），

.…………9分

，

，…………10分

，…………11分

故甲组对类APP的评价更合理.…………12分

20.【命题意图】本题考查空间向量与立体几何，要求考生了解空间中的平行和垂直的关系，能用向量方法解决简单夹角问题，体会向量方法在研究儿何问题中的作用.

【解题分析】（1）取的中点，连接，.

在菱形中，，易知是正三角形，

，…………1分

平面，.…………2分

，平面，.…………3分

，，平面，…………4分

，，，…………5分

四边形是正方形，，.…………6分

（2）取的中点，连接.

，易知是正三角形，，.

平面，，，两两相互垂直.…………8分

如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，.…………9分

设平面的法向量为，，，

，即，令，则，…………10分

设平面的法向量为，，

，即，令，则，…………11分

，二面角的正弦值为.…………12分

21.【命题意图】本题考查导数的综合应用，要求考生了解函数的单调性与导数的关系，体会导数与单调性、极值、最值的关系.

【解析分析】（1）当时，，若，则.…………1分

设（），.…………2分

当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，.…………4分

（当时，；当时，）

当时，最多有一个解；…………5分

当时，有两个解.综上，.…………6分

（2）由题意知，，由（1）设，…………7分

得，即，设，…………8分

得，即，则.…………9分

设（或设，解略），

，设，，

易知函数在上单调递增，，

则易知函数在上单调递增，，…………10分

则当时，，即，…………11分

即.…………12分

22.【命题意图】本题考查双曲线综合，要求考生了解双曲线的定义，标准方程即简单的几何性质.

解题分析：（1）由题意，取渐近线，

右顶点到该渐近线的距离，…………2分

又，，解得，，，…………4分

的方程为.…………5分

（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线：，

与的方程联立，消去得，易知，…………6分

由韦达定理得，则.…………7分

，用代替（显然此时），

得，…………8分

得，…………9分

直线：，

过定点.…………10分

当时，直线的斜率不存在，易知直线的方程为，过左焦点.…………11分

综上，直线过定点.…………12分