江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期期末数学试卷

这是一份江苏省南京市中华中学2022-2023学年高二下学期期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了已知集合，2，3，，，则，现有四个函数，幂函数在上是减函数，则实数值为，已知，，，则，函数在区间，上的最大值为，已知，则下列不等式一定成立的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年南京市中华中学高二下学期期末试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，2，3，，，则　　A． B．， C．， D．（2,4） 2．现有四个函数：①，②，③；④的图象（部分）如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排序正确的一组是　　A．③②①④ B．④③②① C．②①③④ D．①②③④3．幂函数在上是减函数，则实数值为　　A．2 B． C．2或 D．14．已知，，，则　　A．  B． C． D．5．函数在区间，上的最大值为　　A．1 B． C． D．6．已知，则下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论错误的为　　A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D．8．若直线与曲线相切，直线与曲线相切．则的值为　　A． B．1 C． D．二．选择题（共4小题，每小题5分，共20分）9．下列说法正确的是　　A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 D．命题“，”的否定是“，”10．几位同学在研究函数时，给出了下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（   ）．A．的图象关于轴对称；B．在上单调递减；C．的值域为；D．当时，有最大值；11．若对任意，恒成立，其中，是整数，则的可能取值为　　A． B． C． D．12．已知关于的方程有两个不等的实根，，且，则下列说法正确的有　　A． B． C． D．三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．设集合，，则满足的实数的值所成集合为　　．14．已知非负数，满足，则的最小值是 　　．15．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是 　　．16．已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点；③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数在，上的最大值为，则数列的前7项和为．其中所有正确结论的编号是 　　．四．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知命题：存在实数，使成立．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题：任意实数，，使恒成立，如果命题“或”为假命题，求实数的取值范围．18．（12分）已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．19．（12分）已知函数，．（1）若，求函数在，的值域；（2）令，则，已知函数在区间，有零点，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数，其中实数a,b,c满足2b=a+c．（1）若b=0，且在上单调递增，求a的取值范围；（2）若b-a=3，求函数的极值 .21．（12分）欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．（1）已知，判断和是不是倒函数，并说明理由；（2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围．
2022-2023学年南京市中华中学高二下学期期末试卷一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，2，3，，，则　　A． B．， C．， D．（2,4） 【解答】解：，2，3，，或，，．故选：．2．现有四个函数：①，②，③；④的图象（部分）如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号排序正确的一组是　　A．③②①④ B．④③②① C．②①③④ D．①②③④【解答】对于函数，有，所以为奇函数，图象关于原点对称，且时，，所以对应的是第个三函数图象；对于函数，有，所以函数是偶函数，所以函数对应的是第二个函数图象；对于函数，为幂函数，且在上是减函数，所以函数对应的图象是第一个图象；对于函数，当时，，所以函数对应的是第四个函数图象；则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②①④.故选：A．3．幂函数在上是减函数，则实数值为　　A．2 B． C．2或 D．1【解答】解：幂函数，，解得，或；又时为减函数，当时，，幂函数为，满足题意；当时，，幂函数为，不满足题意；综上，，故选：．4．已知，，，则　　A．  B． C． D．【解答】易知，，，而，故，又因为，，故，即，所以，故选：D．5．函数在区间，上的最大值为　　A．1 B． C． D．【解答】解：因为函数，，，所以，当，时，，，，，所以，所以在，上单调递减，所以函数在区间，上的最大值为．故选：．6．已知，则下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．【解答】解：由可知，所以，所以错误；因为，但无法判定与1的大小，所以错误；当时，，故错误；因为，所以，故正确．故选：．7．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，，且，都有，则下列结论错误的为　　A．是偶函数 B． C．的图象关于对称 D．【解答】解：根据题意，函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则的图象关于点对称，同时关于直线对称，则有，，则有，故有，则函数是周期为4的周期函数，依次分析选项：对于，的图象关于点对称，同时关于直线对称，则，即轴也是函数的对称轴，则为偶函数，正确；对于，是周期为4的周期函数，则（3）（1），正确；对于，的图象关于点对称，为偶函数，所以的图象关于点对称，正确；对于，对任意的，，且，都有，则在区间上为增函数，为偶函数，则，的图象关于直线对称，，又由，故，错误；故选：．8．若直线与曲线相切，直线与曲线相切．则的值为　　A． B．1 C． D．【解答】解：的导数为，的导数为，设与曲线相切的切点为，直线与曲线相切的切点为，所以，，即，，，即，又，即，可得，考虑为方程的根，为方程的根，分别画出，和，的图像，可得和的交点与和的交点关于直线对称，则，即．故选：．9．下列说法正确的是　　A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．“对任意一个无理数，也是无理数”是真命题 D．命题“，”的否定是“，”【解答】解：对于，若，则，若，因为，所以，所以“”是“”的充分不必要条件，故正确；对于，“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；对于：取为无理数，则为有理数，故错误；对于：命题“，”的否定是“，”故正确．故选：．10．几位同学在研究函数时，给出了下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（   ）．A．的图象关于轴对称；B．在上单调递减；C．的值域为；D．当时，有最大值；【解答】解：根据题意，依次判断4个结论：对于A，的定义域为，且，则是偶函数，其的图象关于轴对称，故正确；对于B，当时，，在上单调递减，故正确；对于C，，，故的值域不是，故错误；对于D，当时，，则在，上单调递增，又是偶函数，故在上单调递减，故在上的有最大值，故正确．故答案为：ABD．11．若对任意，恒成立，其中，是整数，则的可能取值为　　A． B． C． D．【解答】解：当时，由可得对任意，恒成立，即对任意，恒成立，此时不存在；当时，由对任意，恒成立，可设，，作出，的图象如下，由题意可知，再由，是整数可得或或，所以的可能取值为或或．故选：．12．已知关于的方程有两个不等的实根，，且，则下列说法正确的有　　A． B． C． D．【解答】解：方程，可化为，因为方程有两个不等的实根，，所以与有两个不同的交点，令，则，令，可得，当时，，函数在单调递减，当时，，函数在单调递增，，当时，，且，当时，，当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，故，当时，，，根据以上信息，可得函数的大致图象如下：，且，故正确．因为，构造，，，在上单调递增，，，即，由在单调递增所以，故正确．对于，由，，所以，又，所以，则，所以，故错误．对于，由，可得，所以，正确．故选：．13．设集合，，则满足的实数的值所成集合为　，，　．【解答】解：，又当，无解，故，满足条件若，则，或，即，或故满足条件的实数，，故答案为，，14．已知非负数，满足，则的最小值是 　4　．【解答】解：由，可得，当且仅当，即，时取等号．故答案为：4．15．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是 　0　．【解答】解：设直线与曲线、分别相切于点、，对函数求导得，则，曲线在点处的切线方程为，即，对函数求导得，则，曲线在点处的切线方程为，即，所以，，化简可得．故答案为：0．16．已知是定义在上的奇函数，当时，有下列结论：①函数在上单调递增；②函数的图象与直线有且仅有2个不同的交点；③若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为8；④记函数在，上的最大值为，则数列的前7项和为．其中所有正确结论的编号是 　①④　．【解答】解：当时，，此时不满足方程，若，则，即，若，则，即，作出函数的图象，如图所示：对于①，由图可知，函数在上单调递增，由奇函数性质可知，函数在上单调递增，故①正确；对于②，可知函数在时的图象与直线有1个交点，结合函数的奇偶性可知，的图象与直线有3个不同的交点，故②错误；对于③，设，则关于的方程等价于，解得或， 当时，即对应一个交点为，方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：（1），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为8，（2），即对应3个交点，且，，此时4个实数根的和为4，故③错误；对于④，函数在，上的最大值为（2），即，由函数解析式及性质可知，数列是首项为1，公比为的等比数列，则数列的前7项和为，故④正确．故答案为：①④．四．解答题（共6小题，共70分）17．已知命题：存在实数，使成立．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题：任意实数，，使恒成立，如果命题“或”为假命题，求实数的取值范围．【解答】解：（1）：存在实数，使成立△或，实数的取值范围为，，；（2）：任意实数，，使恒成立，，，，，命题“或”为假命题，假假，，，，，实数的取值范围．18．已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，因为在定义域为上是奇函数，所以，即；（2）因是奇函数，从而不等式：等价于，因为减函数，由上式推得：．即对一切有：，从而判别式，即的取值范围是．19．已知函数，．（1）若，求函数在，的值域；（2）令，则，已知函数在区间，有零点，求实数的取值范围．【解答】解：（1）因为，所以，由二次函数的性质可知，当，时，函数为增函数，所以函数的最大值为（4），函数的最小值为（1），则函数的值域为，．（2），令，由于，，则，，则问题等价为在，上有零点，即在，上有解，即在，上有解，即，令，则，，则，则在，上递增，则当时，，当时，，，即，即实数的取值范围是．20．（12分）已知函数，其中实数a,b,c满足2b=a+c．（1）若b=0，且在上单调递增，求a的取值范围；（2）若b-a=3，求函数的极值 .【解答】解：（1）因为，所以，可得，故，因为在上单调递增，所以在上恒成立，可得，故，所以.（2）因为，所以，所以（说明：消元并化简正确即可给分，也可以写成，或）则，令，解得，，可得：x0—0单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数的极大值为，极小值为 21．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．（1）已知，判断和是不是倒函数，并说明理由；（2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．【解答】解：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数，（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立，又，是倒函数，对于，定义域为，故当时，不符合倒函数的定义，不是倒函数；（2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数，记，由题设，，又是上的倒函数，，故，充分性：当时，且，又在上是严格增函数，，，故成立；必要性：当时，有，又恒大于0，，即，在上是严格增函数，，即有成立；综上，是的充要条件．22．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，求实数的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为，，，当时，令得，所以在上，单调递增，当时，，所以在上单调递增，当时，令得，所以在上，单调递增，在，上，单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在，上单调递减．（2）若，则，所以，所以，令，则不等式为，，所以在上单调递增，所以在上恒成立，所以，令，，，令得，所以在上，单调递减，在上，单调递增，所以（1），所以，所以的取值范围为，．