2024版高考数学一轮复习教材基础练第七章立体几何与空间向量第六节空间向量的应用教学课件

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知识点86：利用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.直线的方向向量和平面的法向量
2.空间位置关系的向量表示
（1）直接法：观察是否有垂直于平面的直线，若有，则此直线的方向向量就是平面的法向量.
1.利用空间向量证明平行问题的方法
2.利用空间向量证明垂直问题的方法
注意 用向量法证明平行与垂直问题时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，需要说明一条直线在平面内，另一条直线在平面外.
3. 如图,已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M,N分别为AB,PC的中点,求证:(1)MN∥平面PAD;(2)平面PMC⊥平面PDC.
知识点87：利用空间向量求空间距离
求点到平面的距离的常用方法
3.ABD　对于选项A,如图1所示,连接AB1,交A1B于点E,连接DE,因为D是AC的中点,所以DE∥B1C,又DE⊂平面A1BD,B1C⊄平面A1BD,所以B1C∥平面A1BD,故A正确;对于选项B,因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,又平面AA1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,所以BD⊥平面AA1C1C,又BD⊂平面A1BD,所以平面A1BD⊥平面AA1C1C,故B正确;
知识点88：利用空间向量求线线角
方法技巧求异面直线所成角的方法
2. 已知a,b为空间中两条互相垂直的直线,直角三角形ABC的直角边AC所在的直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴进行旋转,∠ABC=30°,当直线AB与a所成的角为60°时,直线AB与b所成的角为　　　　. 
【多维探究】在本题中,将条件“N为线段CD1上的动点”改为“N是侧面CC1D1D内(含边界)的一点,且B1N∥平面A1BD”,则异面直线C1D,MN所成角的正弦值的最小值为　　　　 . (将正确答案对应的选项填在答题线上) 
4. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,BC∥AD,AB⊥BC,∠ADC=45°,PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=3.(1)求异面直线PB与CD所成角的大小;(2)求点D到平面PBC的距离.
知识点89：利用空间向量求线面角
方法技巧求直线与平面所成角的方法
3. 如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时, 求CF与平面ABD所成的角的正弦值.
求解线面角一般有两个思路:一是建立空间直角坐标系,利用向量之间的夹角公式进行计算;二是求出点到平面的距离(等积法或直接作线面垂直求距离),利用直角三角形的性质进行求解.
知识点90：利用空间向量求二面角
设平面α,β的法向量分别是n1,n2,平面α与平面β所成二面角的大小为θ,则
方法技巧求二面角常用的方法
求二面角的正弦值的易错点:一是求平面的法向量出错,应注意点的坐标的求解的准确性;二是公式用错,把线面角的向量公式与二面角的向量公式搞混,导致结果出错;三是空间想象能力不足而失分,当求出两个法向量的夹角的余弦值时,误以为是所求二面角的余弦值,因忽视对二面角是锐角或钝角的判断,导致所得结果出错.