浙江省精诚联盟2022-2023学年高二数学下学期5月联考试题（Word版附解析）

高二年级数学试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；

2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､学号和姓名；考场号､座位号写在指定位置；

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；

4.考试结束后，只需上交答题纸.

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求出B集合的具体区间，再根据交集的求法求解.

【详解】对于B集合，，即，；

故选：C

2 若复数满足，则（    ）

A. 2 B. 2023 C.  D. 1

【答案】D

【解析】

【分析】先利用虚数单位的性质化简，从而解方程，结合复数的四则运算求得，再利用共轭复数的定义与模的运算公式即可得解.

【详解】因为，

所以，则，即，故，

则，

故，，

故选：D.

3. 已知的展开式中含项的系数是－160，则为（    ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】B

【解析】

【分析】由二项展开式通项公式可得．

【详解】由题意其展开式通项公式为，

时，，由于是正整数，故解得，

故选：B．

4. 1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系.对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻，若，，，估计的值约为（    ）

A. 0.2481 B. 0.3471 C. 0.4582 D. 0.7345

【答案】C

【解析】

【分析】利用对数式与指数式的互化及换底公式即可求出的近似值．

【详解】∵，

，

所以.

故选：．

5. 已知均为单位向量且，则在上的投影向量为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的模长结合向量的数量积的运算律可得，进而求投影向量.

【详解】由题意，可得，

因为，所以，

解得，

所以在上的投影向量为.

故选：B.

6. 从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件概率的定义和古典概型计算.

【详解】第一次取到的是偶数有：，共有种方法，在第一次是偶数的条件下，

第二次取到的是3的倍数共有11种方法，

；

故选：A.

7. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用缩放法和对数的计算规则求解.

【详解】设，则单调递增，，；

，又，，

即；

故选：A.

8. 在三棱锥中，两两垂直，且，半径为1的球在该三棱锥内部且与面､面､面均相切.若平面与球相切，则三棱锥的外接球被平面所截得的截面面积的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先推出球的截面面积与球心距离的关系，再根据条件将三棱锥看作正方体的一部分，求出外接球的球心和半径，运用前面推出的关系求解.

【详解】设截面圆与球心的距离为h，球的半径为R，截面圆的半径为r，则，
 

即h越大，截面的面积越小；

由题意三棱锥是正方体的一部分，

其外接球的球心为正方体对角线AH的中点，

外接球的半径，则，如下图：

以BC为x轴，BD为y轴，BA为z轴建立坐标系，则，，

到球O球面上最远的点距离为，

此时以最远点为切点的平面截外接球截面圆的半径为，

即截面面积的最小值为；

故选：C.

二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9. 下列命题正确的是（    ）

A. “事件与事件相互独立”是“事件与事件相互独立”的充要条件

B. 样本空间中的事件与，“”是“事件与事件对立”的必要条件

C. 已知随机变量，若，则

D. 已知随机变量，且函数为偶函数，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据概率论中相关的定义和公式逐项分析.

【详解】对于A，A与B相互独立即意味着A的发生与B无关，所以也与B无关，

同时与B无关，则A也与B无关，所以是充分必要条件，正确；

对于B，因为样本空间中只有A和B，并且A与B对立，所以，

反之如果，并且，则A与B不是对立事件，即是A与B对立的必要条件，正确；

对于C，根据二项分布的公式有，错误；

对于D，根据偶函数的定义，有，即，正确；

故选：ABD.

10. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 是该函数的一个单调递增区间

B. 函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称

C. 若，则的最小值为

D. 若，函数在上有且仅有三个零点，则

【答案】AD

【解析】

【分析】，A选项，由正弦函数单调区间可判断选项正误；B选项，得到平移后的函数解析式，后由正弦函数对称轴可判断选项；由，要使最小，则可取为相邻的两个最值点，据此可判断选项正误；D选项，设，由，，结合在上有且仅有三个零点可得关于的不等式，即可判断选项正误.

【详解】.

A选项，，，因在上单调递增，则是该函数的一个单调递增区间，故A正确；

B选项，函数的图象向右平移个单位长度后的函数解析式为，其对称轴满足，，不包含y轴，故B错误；

C选项，若，要使最小，可取为相邻的两个最值点，此时为最小正周期的一半，即，故C错误；

D选项，设，则，，因函数在上有且仅有三个零点，则，故D正确.

故选：AD

11. 已知，下列不等式一定成立的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】运用基本不等式逐项分析.

【详解】对于A，原不等式等价于，，显然成立，正确；

对于B，，由基本不等式知：，错误；

对于C，，

当且仅当即时等号成立，正确；

对于D， ，由基本不等式知：，

当且仅当 即时等号成立，正确；

故选：ACD.

12. 定义在上的函数满足：的图象关于对称，，则（    ）

A.

B. 5是函数的一个零点

C.

D ，其中

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用换元法得出的图象关于点对称，，所以，直接判断A，然后用赋值法确定函数值判断BC，得出成等差数列， 成等差数列，公差为，计算后判断D．

【详解】设，由题意的图象关于点对称，

所以，从而，令，则有，即，所以的图象关于点对称，，

所以，A正确；

又，，，

，，所以，

因此，B正确；

由以上推理得，若，则有，也符合题意，即不一定为0，C错；

，

，，

，则，

，

所以成等差数列，公差为，成等差数列，公差为，

所以，

，D正确，

故选：ABD．

【点睛】方法点睛：抽象函数的求值方法主要是通过赋值法得出函数值，一是利用抽象函数满足的条件通过赋值得出函数可能具有的性质，如奇偶性、周期性、对称性，二是通过赋值得出特殊的函数值，或函数值之间的关系，如本题中的等差数列，然后结合题中要求进行判断求解．

三､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.

13. 众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图的分布形态中，分别表示众数､平均数､中位数，则中最小值为__________.

【答案】

【解析】

【分析】将所给的直方图近似看作为一个梯形，再根据众数，平均数和中位数的定义求解.

【详解】将所给的直方图近似看作为一个梯形，则众数m出现在最大的矩形（即从左边数第6个矩形）内，

平均数n出现在从左边数第4个矩形内，中位数p必须保证中位数p两边矩形面积相等，所以出现在从左边数第5个矩形内，

所以n最小；

故答案为：n.

14. 已知在中，为平面内一点，则的最小值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】先用余弦定理求出，建立坐标系，再用坐标的方法求解.

【详解】 

由余弦定理得：，

以B点为原点，BC为x轴，建立直角坐标系如图，

则A点的横坐标为 ，纵坐标为，

即，设，

则，

，

当时，上式最小=-6；

故答案为：.

15. 某节目录制现场要求三位选手回答六道题，已知每位选手至少答一题，且不能连续答三题，每题限一人答题，则不同答题方案有__________种.

【答案】

【解析】

【分析】将三个人进行编号，通过分析三个人的符合要求的做题量，即可求出不同的答题方案的种类.

【详解】由题意，

三位选手回答六道题，已知每位选手至少答一题，且不能连续答三题，每题限一人答题，

设三位选手分别的编号为，

∴三个人可能做题量有以下几种情况：

①三人做题量为：，此时有种方法

②三人做题量为：，此时一个人必须有间隔，一人不能出现做题，此时有种方法

③三人做题量为：，此时有种方法，

∴共有种方法.

16. 若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】依题意可同构成恒成立，令，问题等价于恒成立，利用导数说明函数的单调性，考虑到，则只需恒成立，参变分离可得，再令，，利用导数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围，即可得解.

【详解】因为对任意，不等式恒成立，

所以恒成立，显然，

所以恒成立，

即恒成立，

令，则问题等价于恒成立，

又，当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

又，当时，

因为，所以，

所以只需恒成立，

所以，令，，

则，所以当时，单调递增，

当时，单调递减，

所以，所以，则，

所以，所以实数的最小值是.

故答案为：

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是通过将式子变形同构成，再构造函数，将问题转化为恒成立.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 在中，的中点为，把绕旋转一周，得到一个旋转体.

（1）求旋转体的体积；

（2）设从点出发绕旋转体一周到达点的最近路程为，探究与的大小，并证明你的结论.

【答案】（1）   

（2），证明见解析

【解析】

【分析】（1）过作于，得到旋转体由两个同底圆锥组成，求出其半径和高，利用圆锥体积公式即可；

（2）得到展开的扇形，求出其圆心角，再利用余弦定理即可得到答案.

【小问1详解】

旋转体由两个同底的圆锥组成，

过作于，则，，，

【小问2详解】

把圆锥沿展开得到一扇形，则.

从沿旋转体表面一周到达的最短路程：

.

，

所以从沿旋转体表面一周到达的最短路程大于.

18. 人工智能正在改变我们世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：

（1）根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？

（2）现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.

附：，其中.

【答案】（1）没有    （2）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据题意求，并与临界值对比判断；

（2）根据分层抽样求各层人数，结合超几何分布求分布列和期望.

【小问1详解】

零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.

根据表中数据得，

所以根据小概率值的独立性检验，

没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.

【小问2详解】

由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，

有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，

有人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，

则的可能取值为，

又，

所以的分布列为

所以.

19. 已知在锐角中，内角所对的边分别是，且.

（1）求；

（2）记面积为，求的取值范围.

【答案】（1）60°    （2）

【解析】

【分析】（1）运用正弦定理求解；

（2）运用正弦定理和面积公式将转化为三角函数求解.

【小问1详解】

，由正弦定理得，，

又；

【小问2详解】

，其中，

锐角，从而得；

综上，，.

20. 已知函数满足，其中.

（1）求实数的值；

（2）若对于任意的，均有成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意代入运算求解即可；

（2）根据分析可得，结合分段函数以及二次函数求的最值，进而可得结果.

【小问1详解】

因为，即，

可得，

若，则，不恒成立，不合题意；

若，则；

综上所述：.

【小问2详解】

当时，不等式显然成立；

当时，等价于，

设，

（ⅰ）当，即时，

当时，；

当时，；

所以，故；

（ⅱ）当，即时，

当时，；

当时，；

因为，即。

所以；

综上所述：，可得.

所以实数的取值范围.

21. 如图，三棱柱中，，侧面为矩形，，二面角的正切值为.

（1）求侧棱的长；

（2）侧棱上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由.

【答案】（1）2    （2）存在在的三等分点靠近的分点处，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意三垂线法可得二面角的平面角为，进而可得结果；

（2）法一：建系，利用空间空间向量处理二面角问题；法二：根据题意三垂线法可得二面角的平面角为，进而可得结果.

【小问1详解】

取的中点，连接，

因为，则，

又因为侧面为矩形，则，//，

且//，则//，即四点共面，

平面平面，

所以平面，则，

则是二面角的平面角，

则，所以，

设，

因为，则，

又因为，则，

可得，

在中，由余弦定理

得：，即，

平方整理得，得或（舍去），

即为2.

  【小问2详解】

解法一：如图，建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，

过作底面，

因为，可得，

则，，

可得，

所以，

则，，

设平面的法向量为，则，

则，令，则，即，

设，

设，则，

设平面的法向量为，

因为，

则，

令，则，即，

平面与平面所锐二面角为，

可得，解得，

所以存在，在的三等分点靠近的分点处.

解法二：把三棱柱补为四棱柱，如图，为中点，过作，

由（1）知：，则，

由棱柱的性质易得：且，即为平行四边形，

所以，故，又，

，面，则面，在面内，

所以，而，面，

则平面，且平面，则，

过作，连，，面，

则平面，且平面，可得，

则为二面角的平面角，

设，则，

可得，

由点到的距离为，

则，解得，

所以存在，在三等分点靠近的分点处.

22. 已知函数.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）记函数，且的最小值为.

（i）求实数的值；

（ii）若存在实数满足，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）（i）；（ii）.

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求得斜率，进而求得切点，再利用点斜式即可写出切线方程；

（2）（i）求导后，设导数的零点，从而确定最小值即可求解；（ii）由题意得，不妨令，设，则.

记，求导后设导数的零点，进而得到，再结合单调性可得，进而可解.

【小问1详解】

，则，又，

所以切线方程为：，即.

【小问2详解】

（i），

令，即，则且，

所以有两异号实数根，

因为在上单调递增，所以在上单调递增，

所以有唯一零点.

所以当时，，当时，，

则在上递减，在上递增.

所以，且.

代入可得，

因为在上单调递增，所以在上单调递增，

所以，故.

（ii），即，则

不妨令，设，则.

记，则，

令，即，则且，

所以有两异号实数根，

因为在上单调递增，所以在上单调递增，

所以有唯一零点.且.

所以当时，，当时，，

则在上递减，在上递增，所以.

其中，即，

又在上单调递减，且，得，

又因为在上单调递增，

所以（当时，有），所以的最小值为.

【点睛】方法点睛：隐零点的处理思路：

第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；

第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.