2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高二（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高二（下）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省深圳市龙岗区德琳学校高二（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足，其中为虚数单位，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  根据变量与的对应关系如表，求得关于的线性回归方程为，则表中的值为(    )  A.  B.  C.  D. 4.  的展开式中，的系数为(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知随机变量，满足，的期望，分布列为：则，的值分别为(    )A. ， B.  C.  D. 6.  已知命题：，命题：，则是的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7.  某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能积极选择自己喜欢的社团目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接收名学生，恰好含甲、乙的名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知，，，则下列选项正确的是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列求导正确的是(    )A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则10.  现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装袋，第一袋有名男士和名女士的报告表，第二袋有名男士和名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取份，则(    )A. 在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为
B. 两份报告表都是男士的概率为
C. 在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各份的概率为
D. 两份报告表恰好男士和女士各份的概率为11.  已知，则下列结论正确的是(    )A. 展开式中所有项的二项式系数的和为 B.
C.  D. 12.  已知，则下列结论正确的有．(    )A. 若，则
B. 若，则
C.
D. 若，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知函数，那么在点处的切线方程为        ．14.  已知服从正态分布，且，则 ______ ．15.  甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“局胜制”，即先胜局为胜方，比赛结束．已知甲每局获胜的概率均为，则甲开局获胜并且最终以：取胜的概率为______．16.  已知函数，若在定义域上单调递增，则实数的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知，，全集．
若，求；
若，求实数的取值范围．18.  本小题分
已知数列满足，．
证明是等比数列，并求的通项公式；
求数列的前项和．19.  本小题分
年月，教育部印发关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见中指出：中小学生各项身体素质有所改善，大学生整体下降某高校为提高学生身体素质，号召全校学生参加体育锻炼运，结合“微信运动”每日统计运动情况，对每日平均运动步或以上的学生授予“运动达人”称号，低于步称为“参与者”，统计了名学生在某月的运动数据，结果如下：  运动达人参与者合计男生 女生   合计 完善列联表并说明：能否在犯错误概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？
从全校运动“参与者”中按性别分层抽取人，再从人中选取人参加特训，将男生人数记为，求的分布列与期望．
参考公式：，．  20.  本小题分
如图，直三棱柱的侧面为正方形，，，分别为，的中点，．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
21.  本小题分
张先生到一家公司参加面试，面试的规则是：面试官最多向他提出五个问题，只要正确回答出三个问题即终止提问，通过面试根据经验，张先生能够正确回答面试官提出的任何一个问题的概率为，假设回答各个问题正确与否互不干扰．
求张先生通过面试的概率；
记本次面试张先生回答问题的个数为，求的分布列及数学期望．22.  本小题分
已知函数．
若，讨论函数的单调性；
若函数有两个极值点，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
化简集合，再求并集即可．
此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：，
，
，
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，考查复数求模问题，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由表中数据，计算，，
因为回归直线方程过样本中心，
，
解得．
故选：．
先求得样本点中心，再根据回归直线过样本点中心即可求解．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：二项式的展开式中含的项为，
所以的系数为，
故选：．
利用二项式定理求出展开式中含的项，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：由分布列的性质可得，，
，
随机变量，满足，的期望，
，
联立解得，，．
故选：．
根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：命题：，即命题：，命题：，即命题：或．
由命题：成立，可得命题：或成立，故充分性成立．
但由命题：或成立，不能推出命题：成立，故必要性不成立，
故是的充分不必要条件，
故选：．
由题意，利用充分条件、必要条件、充要条件的定义，得出结论．
本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：名同学分别进入话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团共有种，
其中甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团有种，
由古典概型的概率计算公式可得，按学校规定每人只能加入一个社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为．
故选：．
先利用排列计算出总的种数，再计算出甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的种数，最后代入古典概型的概率计算公式即可求解．
本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】【分析】本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于中档题．
由，，，则，，的大小比较可以转化为的大小比较．设，则，根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．【解答】解：，，，
，
，，的大小比较可以转化为的大小比较．
设，
则，
当时，，当时，，当时，，
在上，单调递减，
，
，
，
故选：．  9.【答案】 【解析】解：对于，若，则，故A正确；
对于，若，则，故B错误；
对于，若，则，故C正确；
对于，若，则，故D错误．
故选：．
根据基本初等函数的导数公式，导数的四则运算法则，简单复合函数的导数对选项逐一分析即可得到答案．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为，A正确；
对于，若选第一袋，两份报告表都是男士的概率为；若选第二袋，两份报告表都是男士的概率为；
则两份报告表都是男士的概率为，B错误；
对于，在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各份的概率为，C正确；
对于，若选第一袋，两份报告表恰好男士和女士各份的概率为；
若选第二袋，两份报告表恰好男士和女士各份的概率为；
则两份报告表恰好男士和女士各份的概率为，D错误．
故选：．
由条件概率和全概率公式依次计算求解即可．
本题考查了古典概型和条件概率相关知识，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：，
令，得，故B正确；
令，得；故A错误
令，得，
两式相加，得，
，故C正确；
两式相减，计算可得，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合赋值法，即可求解．
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查二项分布数学期望与方差的求解，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件结合选项分别判断即可．【解答】解：，若，则，，故A选项错误，选项正确，
，，故C选项正确，
，，化简整理可得，解得，故D选项正确．
故选：．  13.【答案】 【解析】解：函数的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
切线的方程为，
即为．
故答案为：．
求得的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线方程．
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：由题知：，故，
又，
故．
故答案为：．
由正态分布的对称性求解即可．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：甲开局获胜并且最终以：取胜的情况共种：胜负胜胜，胜胜负胜，
故所求概率为．
故答案为：．
甲开局获胜并且最终以：取胜的情况共种：胜负胜胜，胜胜负胜，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出结论．
本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：函数的定义域为，，
因为在定义域上单调递增，所以在上恒成立，
又，所以在上恒成立，即，
设，原问题等价于求在上的最小值，
因为，
所以当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是．
故答案为：．
采用参变分离法，可将原问题转化为在上恒成立，设，再利用导数求出在上的最小值，即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，理解函数的单调性与导数的正负性之间的关系，熟练掌握参变分离法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 17.【答案】解：时，，，全集，
所以或，
；
，，
若，
当时，，即，
当时，，解得，
综上，的取值范围为或． 【解析】先分别求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
由已知结合集合的包含关系对是否为空集进行分类讨论可求．
本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
 18.【答案】证明：由题意可得：，
，
所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即，
因此的通项公式为；
解：由知，
令，则，
所以，
综上． 【解析】根据题意结合等比数列定义可证，可得是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；
因为，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．
本题考查了等比数列的证明以及分组求和计算问题，属于基础题．
 19.【答案】解：由题意完善列联表：  运动达人参与者合计男生女生合计，
故在犯错误概率不超过的前提下不能认为获得“运动达人”称号与性别有关；
由题意知：选取的人运动参与者中男生人，女生人，
则服从超几何分布，的所有可能情况为：、、、，
且，，，，
故的分布列为：． 【解析】完善列联表，计算与比较大小，从而判断在犯错误概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别的相关性即可；
根据题意可知，服从超几何分布，的所有可能情况为：、、、，计算对应概率，得到的分布列与期望即可．
本题考查离散型随机变量的应用，属于中档题．
 20.【答案】证明：因为三棱柱为直三棱柱，
所以，又因为，，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为，平面，所以，，
因为为正方形，所以，
故以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，
因为，
所以，
因为，平面，，
所以平面；
解：由可知：平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
解得：，令，则，所以，
设平面与平面夹角为，
故，
故平面与平面夹角的余弦值为． 【解析】证明出，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积为得到，从而证明出线面垂直；
求出两平面的法向量，求出平面夹角的余弦值．
本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
 21.【答案】解：记张先生第次答对面试官提出的问题为事件，则，张先生前三个问题均回答正确为事件，前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件，则．
根据题意，得，，．
因为事件，，互斥，所以，
即张先生能够通过面试的概率为．
根据题意，，，表明前面三个问题均回答错误淘汰或均回答正确通过，所以；表明前面三个问题中有两个回答错误且第四个问题又回答错误淘汰或者前面三个问题中有两个回答正确且第四个问题回答正确通过，
所以；表明前面四个问题中有两个回答错误，两个回答正确，所以．
所以的分布列为：故． 【解析】记张先生第次答对面试官提出的问题为事件，则，张先生前三个问题均回答正确为事件，前三个问题回答正确两个且第四个又回答正确为事件前四个问题回答正确两个且第五个又回答正确为事件，张先生通过面试为事件，则，利用古典概型概率以及互斥事件的概率求解即可．
根据题意，，，求解概率，得到所的分布列，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 22.【答案】解：，，
，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增．
，
设，，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
，且当时，，当时，，
则当时，方程有个不等的实根，
使得函数在上单调递增，在单调递减，在上单调递增，
即若函数有两个极值点，则．
故的取值范围是． 【解析】代入的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
求出函数的导数，问题转化为方程有个不等的实根，设，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．