2022-2023学年湖北省荆荆襄宜四地七校联考高一（下）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年湖北省荆荆襄宜四地七校联考高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省荆荆襄宜四地七校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角为(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知在复平面内，是原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部是(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  已知，为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为(    )A.  B.  C.  D. 5.  设是定义在上的奇函数，对任意的，满足且，则不等式的解集为(    )A.  B.
C.  D. 6.  宜昌奥林匹克体育中心为了迎接月日湖北省第十六届运动会开幕式，将中心内一块平面四边形区域设计灯带已知灯带米，米，米，且，则(    )
A.  B.  C.  D. 7.  在中，已知，，外接圆半径为，点，分别是，的三等分点，与相交于点，则的余弦值为(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知在上的最小值为，则的解有个．(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知平面内四点，，，可构成平行四边形，其中，，，则点的坐标可能为(    )A.  B.  C.  D. 10.  下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是(    )A.  B.  C.  D. 11.  在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是(    )A. 若，则点的轨迹不可能经过的外心
B. 若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C. 若，则点的轨迹可能经过的重心
D. 若，则点的轨迹可能经过的内心12.  已知是边长为的等边三角形，平面内有两动点，满足若，则的值可能为(    )A.  B.  C.  D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  已知，，则 ______ ．14.  若平面内不共线的三个向量两两的夹角相等，且，则 ______ ．15.  在中，已知，是的一元二次方程的两个实根，则 ______ ．16.  已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知．
若，且，，三点共线，求的值．
当实数为何值时，与垂直？18.  本小题分
要得到函数的图象，可以从正弦函数或余弦函数图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到． __________________________________________________________________________________________由图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
用“五点法”画出函数在区间上的简图．
19.  本小题分
已知函数在区间上的最大值为．
求常数的值；
求函数的单调递减区间．20.  本小题分
已知函数为奇函数，．
求实数；
求函数在区间上的最小值；21.  本小题分
宜昌卷桥河湿地公园是一幅美丽的田园湿地画卷，它将自然山体、阳光草坪、亲水草滩、芒草湿地、溪谷密林等有机融合，设计的十分精致优美为了迎接年的春天，公园里开辟了一块等腰直角三角形农田种植七彩油菜，其斜边米为了方便游客观光，欲在上选择一点，修建两条观赏小径，，点，分别在边，上，且小径，与边的夹角都是区域和区域种植粉色油菜，区域种植黄色油菜．
随着春天到来，油菜均已开花，为了游客深度体验观赏，准备在种植黄色油菜区域内修建小径，当点在何处时，三条小径的长度之和最小？
种植粉色油菜的成本是元平方米，求种植粉色油菜的最少费用．22.  本小题分
定义非零向量的“伴随函数”为，非零向量为函数的“伴随向量”其中为坐标原点．
设，求出与的“伴随向量”共线的单位向量；
已知点满足，向量的“伴随函数”在处取得最小值，求的取值范围；
向量，其“伴随函数”为，已知，求的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：根据题意：作出如下图形，

，
则为等边三角形，故，
则这条弦所对的圆心角为．
故选：．
如图所示，根据弦长得到为等边三角形，得到答案．
本题主要考查圆心角的求解，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：向量对应的复数分别为，，
则，，
，
故向量对应的复数为，其虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量的线性运算，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及向量的线性运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：，，
，
．
故选：．
利用三角函数的诱导公式化简即可求解．
本题考查了三角函数的运算公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，向量在向量上的投影向量，．
故选：．
根据题意，由投影向量的计算公式直接计算可得答案．
本题考查投影向量的计算，涉及向量数量积的性质，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：根据题意，设，，
是定义在上的奇函数，即，
故，函数为偶函数，
当时，，
又由对任意的，满足，此时，必有，
则有，函数在上为减函数，
又由为偶函数，则在上为增函数，
又由，则，同时，
或，必有或，
即的取值范围为．
故选：．
根据题意，设，，分析的奇偶性和单调性，而或，由此分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
 6.【答案】 【解析】解：如图，连接．
在中，由余弦定理有：，
在中，由余弦定理有：，
由得：，
又，，
，
又，
，
或．
，，
若，则舍，
．
故选：．
在和分别用余弦定理得到，的等量关系，再由和平方关系将等量关系转化为关于的三角方程，求出的三角函数值即可．
本题考查平面几何图形中的解三角形问题，还考查了计算能力，属中档题．
 7.【答案】 【解析】解：在中，，外接圆半径为，
，，
在中，由余弦定理可得，
，解得舍去或，
建立以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

则，，，
，
，
，，
，，．
故选：．
由题意建立以为原点，以所在直线为轴，过作的垂线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，利用向量法可求的余弦值．
本题考查三角形中的几何计算，考查转化思想和数形结合思想，考查向量法在解三角形中的应用，考查运算能力，属中档题．
 8.【答案】 【解析】解：当时，，而，显然不满足题意；当时，因为，所以，
要使在上的最小值为，
则有，所以，
此时在处取得最小值，
即，
令，
因为，所以在上单调递减，
又在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又因为，，
由函数零点存在性定理可知，此时函数有唯一的零点，
也即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
当时，因为，
所以，
要使在上的最小值为，
则有，解得，
当时，则，结合余弦函数的图象可知，
函数在上的最小值为，解得，满足题意；
当时，则，
此时在处取得最小值，即，
从而将问题转化为与的图像有多少个交点，
因为，所以在上单调递增，
又，，
则与的大致图像如下，

所以与的图像有唯一交点，
即当，函数在上的最小值为时，则的解只有一个；
综上可知，的解有个．
故选：．
分类讨论，和三种情况，结合余弦函数的图像和性质，进一步缩小的范围，再利用复合函数的单调性与零点存在定理，以及数形结合即可得解．
本题考查了三角函数的性质、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：因为平面内四点，，，可构成平行四边形，其中，，，
则，
可设，
则，，
则，即，
选项中符合条件的有．
故选：．
根据向量平行的坐标运算即可．
本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于：函数的最小正周期为，在区间上单调递增，故A正确；
对于：函数的最小正周期为，在区间上单调递减，故B错误；
对于，函数的最小正周期为，在区间上单调递增，故C正确；
对于：函数的最小正周期为，在区间上先减后增，故D错误．
故选：．
直接利用函数的周期性和单调性的应用求出结果．
本题主要考查了三角函数的周期性和单调性，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：对于，若，则，，三点共线，即在直线上，
在中，若，的中点为三角形外心，则有可能为外心，所以A错误；
对于，若三角形为钝角三角形，且，则点在的重心上，所以B错误；
对于，若为的重心，由重心性质知，与矛盾，所以C错误；
对于，由选项知，当时，过的重心，当为正三角形时，重心与内心重合，故D正确．
故选：．
根据题意，运用向量与三角形的“五心”知识依次分析选项即可．
本题考查向量与三角形之间的代数与几何问题，涉及平面向量的基本定理、向量的线性运算，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：因为，所以，
所以，即，
因为，，，，所以，所以点在的内部或者边上，
取的中点，则，
因为，所以，即，所以，
所以，即，
所以，，，
故选：．
由条件式化简变形得，根据，的取值范围可确定点的位置，再由转化思想得，求出的取值范围，即可得出结论．
本题考查向量的线性运算及数量积的最值问题的综合，还考查了转化思想，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合二倍角公式，以及将弦化切，即可求解．
本题主要考查二倍角的三角函数，考查转化能力，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：的夹角两两相等且不共线，则两两夹角为，且，
，
．
故答案为：．
根据题意可得出两两夹角为，然后根据数量积的运算及计算公式即可求出的值，然后即可得出的值．
本题考查了向量夹角的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：因为，是的一元二次方程的两个实根，
所以，
则在中，，
所以．
故答案为：．
由根与系数的关系可得，再由正切的和角公式可得的值，进而得解．
本题主要考查三角函数的求值问题，考查运算求解能力，属于基础题．
 16.【答案】 【解析】解：设，则由得，
若，作出函数的图象如图：
当或时，，此时，无解，
当时，由，得只有一个解且，此时，最多有个零点，不满足条件．
故，不成立，
当时，作出函数的图象如图：．
则，
由，得方程有个不同的根，其中，
其中，，，
当时，，只有一个根，
当时，，只有一个根，
要使函数有个零点，
则必有，有个零点，
由，得，即，
此时只要，即可，
得，即，
得，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
利用换元法，根据函数与方程的关系，转化为函数交点问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 17.【答案】解：，，
则，，
因为，，三点共线，
所以存在实数，使得，整理得，
所以，解得，
故的值为；
，，
因为与垂直，
所以，解得． 【解析】根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解；
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线、垂直的性质，属于基础题．
 18.【答案】解：步骤：把图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象；
步骤：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的倍横坐标不变，得到函数的图象．
因为，列表如下： 在坐标系中画出函数的部分图象，如图所示． 【解析】把图象上所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的倍，最后把图象的纵坐标变为原来的倍即可．
根据题意填写数表，在坐标系中画出函数的部分图象即可．
本题考查了三角函数图象平移变换问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
 19.【答案】解：由函数，
即：，因为，所以，
则当时，取得最大值，故，即分
的单调递减区间需要满足：，
解得，
所以的单调递减区间为：分 【解析】利用辅助角公式进行化简，求出函数角对应的范围，进而求解结论；
利用整体的思想，借助于正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式以及两角和差的正弦公式进行化简解决本题的关键．
 20.【答案】解：为奇函数，，
，在定义域内恒成立，
即，，解得，
当时，，定义域为，不关于原点对称，则非奇非偶，
当时，，定义域为，关于原点对称，
且，符合题意，
综上可得：；
，，令，
则函数化为，又，则对称轴，
当，即时，函数在上单调递增，则；
当，即时，函数在上单调递减，
在上单调递增，则；
当，即时，函数在上单调递减，
则．
综上所述：当时，的最小值为；
当时，的最小值为；
当时，的最小值为． 【解析】根据奇函数定义，可判断求；通过换元法，转化为二次函数求最小值的问题，要注意分类讨论．
本题考查函数的性质，考查函数的最值问题，属于中档题．
 21.【答案】解：在中，，由正弦定理得：，
解得，
中，，由正弦定理得：，
解得，
所以；
在中，由余弦定理可得：，
即，
所以，即，
又因为，
所以，当且仅当时取“”．
所以当点是的中点时，三条小径的长度之和最小，最小为．
由知，所以，
同理可得：，
所以，
当且仅当时取“”，
所以最少费用为 【解析】中由正弦定理求得，中由正弦定理求得，中由余弦定理求得，利用基本不等式求出取最小值时对应的条件，即可得出点是的中点时，三条小径的长度之和最小．
求出、的面积和，利用基本不等式求最小值，即可得出结论．
本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
 22.【答案】解：因为

，
故的“伴随向量”，，
所以与的“伴随向量”共线的单位向量为，坐标为．
的“伴随函数”，
因为向量的“伴随函数”在处取得最小值，
所以当，即时，函数有最小值，
解得，，
从而可得，
又由于，
所以，即，解得，
可得，
令，可得，
又由于均为上的单调递减函数，可得在上单调递减，
所以，
可得，
又由于，
令，在上单调递增，
可得，
故的取值范围为．
由题意可知，，
又，
所以可得，
所以，
从而有，
从而有，
当时，不符合题意，舍去；
当时，，
故． 【解析】由题意知，再计算单位向量即可；
由题意可求，可求，令，则，利用二倍角的正切公式，双勾函数的性质可求，进而利用两角差的正切公式以及正切函数的性质即可求解的取值范围．
由题意可知，当分类讨论利用三角函数的性质即可求解．
本题考查三角恒等变换与三角函数的综合应用，熟练掌握辅助角公式，二倍角公式，向量的模，以及三角函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．