2022-2023学年河北省保定市高碑店市重点中学高一（下）期中数学试卷

2022-2023学年河北省保定市高碑店市重点中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  设向量，，若，则实数的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知复数的虚部为，则(    )

A.  B.  C.  D. 或

4.  如图所示，在中，是边的中线，是的中点，若，，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  已知单位向量满足，，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知空间中，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

7.  在正四棱锥中，，，则平面截四棱锥外接球的截面面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在锐角中，内角，，对应的边分别为，，，已知，，则面积的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列结果为零向量的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知向量，则下列命题正确的是(    )

A. 的最大值为
B. 存在，使得
C. 向量是与共线的单位向量
D. 在上的投影向量为

11.  在中，角、、所对的边分别为、、，下列说法中正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，则为等腰直角三角形
C.
D. 若，则为钝角三角形

12.  在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件判断三角形的情况，则正确的是(    )

A. ，，，有两解
B. ，，，有两解
C. ，，，只有一解
D. ，，，只有一解

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  年月日，搭载问天实验舱的长征五号遥三运载火箭，在我国文昌航天发射场成功发射，我国的航天事业又上了一个新的台阶某校现有高一学生人，高二学生人，高三学生人，为了调查该校学生对我国航天事业的了解程度，现从三个年级中采用分层抽样的方式抽取人填写问卷调查，则高三年级有应抽人数为______ ．

14.  已知，则，，的大小关系为______ ．

15.  用半径为的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为          ．

16.  如图，在等腰梯形中，，点，分别为线段，的三等分点，为的中点，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
平面内给定两个向量
求；
若，求实数的值．

18.  本小题分
如图，是圆的直径，点是圆上的点，过点的直线垂直于圆所在平面，，分别是，的中点求证：
平面；
平面．

19.  本小题分
已知，复数，当为何值时，
为实数？
为虚数？
为纯虚数？
在复平面内对应的点在第四象限？

20.  本小题分
如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，是的中点．
Ⅰ证明：；
Ⅱ求点到平面的距离．

21.  本小题分
某公园要建造如图所示的绿地，、为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏与的总长度为米，且设
当，时，求的长；结果精确到米
当时，求面积的最大值及此时的值．

22.  本小题分
如图，在四棱锥中，，且．
证明：平面平面；
若，，且四棱锥的体积为，
求与平面所成的线面角的大小．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：复数对应的点为位于第二象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查向量的坐标运算，以及平行向量的坐标关系．
可先求出，根据即可得出，解出即可．
【解答】
解：，
，
，
，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：，
又的虚部为，
所以，所以．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，
由图可知：，
又因为，，
所以，
故选：．
由平面向量基本定理及线性运算可得：，得解．
本题考查了平面向量基本定理及线性运算，属中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：设与的夹角为，，
单位向量满足，
，，
，
，解得，
与的夹角为．
故选：．
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：若，，可得、平行、相交或异面，故A错误；
若，，由线面垂直的性质定理可得，故B正确；
若，，可得、平行或相交，故C错误；
若，，可得，平行、相交或异面，故D错误．
故选：．
由线面平行的定义和线线的位置关系可判断；由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理可判断；由线面平行的性质和面面的位置关系可判断；由线线的位置关系可判断．
本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，
则正四棱锥外接球的球心在上，
取棱的中点，连接，，，，
作，垂足为．
，，即，，
，，
设四棱锥外接球的半径为，
则，
即，得，即，即．
由题意易证∽，则，则，
故平面截四棱锥外接球的截面面积．
故选：．
作平面，垂足为，则是正方形外接圆的圆心，根据条件确定球心的位置，并求出球的半径即可．
本题主要考查球的表面积的计算，根据条件确定球心位置，并求出球半径是解决本题的关键，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、三角形面积公式的应用，同时考查了三角函数值域的求法，属于中档题．
根据锐角三角形的条件，求出的范围，然后利用正弦定理将另两边表示出来，最后借助于面积公式，将所求表示为角的三角函数，求值域即可．

【解答】

解：设边的对角为，由锐角三角形，结合得：，
解得，又，由正弦定理得，又，
所以，所以，，
故，
因为，故，所以，故，
所以式的取值范围是
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：对于选项A，，故选项A错误，
对于选项B，，故选项B正确，
对于选项C，，故选项C正确，
对于选项D，，故选项D正确，
故选：．
利用向量的线性运算法则逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于选项，，
当，即时，取最大值，故A正确；
对于选项，要使，则，
则，因为，所以，
故存在，使得，故B正确；
对于选项，因为，
所以向量不是单位向量，故C错误；
对于选项，因为为单位向量，
则在上的投影向量为，故D正确．
故选：．
A.根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的恒等变形和性质，即可判断；
B.利用数量积公式，可得，即可求解；
C.根据模的公式，计算，即可判断；
D.根据投影向量公式，即可计算求值．
本题考查向量的数量积的运算，三角函数的性质，投影向量的定义，属中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于：对于，所以，利用正弦定理：，整理得，故A正确；
对于：由于，利用正弦定理，整理得，
所以，故或，所以或，故ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于：由于，利用等比性质，故C正确；
对于：由于，所以
，
由于，，，
所以、、中必有一个钝角，故为钝角三角形，故D正确；
故选：．
直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于，，，则，
由正弦定理，
可得，显然有唯一结果，即只有一解，A错误；
对于，，，，
由正弦定理得，无解，B错误；
对于，，，，，，
由正弦定理得，有唯一解，C正确；
对于，，，，，，
此时，有唯一解，D正确．
故选：．
利用正弦定理，逐项计算判断作答．
本题考查解三角形问题，正弦定理的应用，化归转化思想，属基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由分层抽样原则可知，抽样比为，
则高三年级应抽取人．
故答案为：．
根据分层抽样的定义建立比例关系即可求解．
本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例公式是解决本题的关键，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
且，
，，，
，
故答案为：．
先根据复数相等求出和，再求出各自的模长，即可得到结论．
本题主要考查复数模长的计算以及复数相等的理解，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查圆锥以及侧面展开图的知识，考查学生的运算能力，属于基础题．
求出半圆的弧长，可知半圆的弧长即为圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，即可求出圆锥的高．

【解答】

解：由题意，半径为的半圆的弧长为，
所以圆锥的底面圆的周长为，半径为，
其轴截面为等腰三角形，如图：

圆锥的高．
故答案是．

16.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图以为坐标原点，建立坐标系，连接，
分析易得为等边三角形，
则，，，
则，，
则有，，
则；
故答案为：．
根据题意，建立坐标系，分析可得、、、的坐标，由，分别为线段，的三等分点可得、的坐标，即可得向量与的坐标，进而由向量数量积的坐标计算公式计算可得答案．
本题考查向量数量积的计算公式，涉及向量夹角的计算，关键是依据题意建立坐标系并掌握向量数据积的计算公式．
 

17.【答案】解：由条件知：，
故．
，，
，
，
解得． 

【解析】本题考查向量的运算法则和模的计算公式、向量共线定理是解题的关键．
利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出．
利用向量共线定理即可得出．
 

18.【答案】证明：因为，为，的中点，
可得，
又因为平面，平面，
平面．

因为为的直径，点是上的点，所以，
又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，
所以，
又由，且，平面，
所以平面，
又因为，所以平面． 

【解析】根据中位线定理可知，利用线面平行的判定定理即可证明；
利用线面垂直的判定定理证明即可．
本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：．
由，得或，
即当或时，为实数．
由，得且，
即当且时，为虚数．
由得，
即当时，为纯虚数．
由解得．
即当时，在复平面内对应的点在第四象限． 

【解析】把已知复数变形．
由虚部为求解值；
由虚部不为求解值；
由实部为且虚部不为求解值；
由实部大于且虚部小于列不等式组求解．
本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

20.【答案】Ⅰ证明：建立如图所示的空间直角坐标系，

则：，
则，
故BC；
Ⅱ解：由于，
设平面的法向量为，
则，据此可得，
且，
故点到平面的距离． 

【解析】Ⅰ建立空间直角坐标系，求得两条直线的方向向量，利用方向向量的数量积为即可证得题中的结论；
Ⅱ分别求得平面的法向量和向量，然后利用点面距离公式可得点到平面的距离．
本题主要考查异面直线垂直的证明，点面距离的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．
 

21.【答案】解：连接，在中，，，，
由余弦定理可得，
故AC；
连接，由题意，，
在中，由正弦定理得，得，
于是
，，
当时，即时，取最大值．
因此当时，面积的最大值为． 

【解析】在中，由余弦定理可得可求；
当时，，计算可求面积的最大值及此时的值．
本题考查正余弦定理在实际生活中的应用，属中档题．
 

22.【答案】证明：在四棱锥中，，
，，
又，
，
，
平面，
平面，
平面平面；
解：取中点，连结，

，为的中点，
，
平面，平面，
，
，
底面，
设，
则，，
四棱锥的体积为，底面，
，解得，
，
，
底面，
为与平面所成的角，
在中，，
，
故与平面所成的线面角为． 

【解析】根据已知条件，结合线面垂直的判定，推出平面，再结合平面，即可求证；
取中点，结合线面垂直的判定，推出底面，再结合四棱锥的体积公式，推得，即可求出，再结合为与平面所成的角，即可求解．
本题主要考查平面与平面垂直的证明，以及直线与平面所成角的求解，属于中档题．