山东省济宁市2022-2023学年八年级下册数学期末考试押题模拟练习（含答案）

这是一份山东省济宁市2022-2023学年八年级下册数学期末考试押题模拟练习（含答案），共41页。
《课程标准》阶段性达标测试
八年级数学试题 2023.6
（时间：120分钟）
同学们, 你们好! 一转眼半个学期飞快地过去了. 在这半个学期里, 我们又学到了许多新的数学知识, 也提高了我们的数学思维能力. 现在让我们在这里展示一下自己的真实水平吧!祝大家成功!
一、选择题（24分）
1．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．已知一组数据6、2、4、x，且这组数据的众数与中位数相等，则数据x为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．不能确定
3．△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（    ）．
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
4．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ）

A． B． C． D．
5．如图，为△的中位线，点在上，且∠=90°．若=7，，则的长为（　   ）

A． B． C． D．
6．某中学体育节，有17名同学参加女子百米赛跑，她们预赛的成绩各不相同，取前8名参加决赛．小雅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这17名同学成绩的（　　）
A．中位数 B．极差 C．平均数 D．方差
7．一次函数的图象经过原点，则k的值为　   　
A．2 B． C．2或 D．3
8．如图，在正方形中，点分别在边上，且，连接，平分交于点，若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
9．如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（    ）
  
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（    ）
  
A． B． C． D．
11．如图所示，等腰与等腰中，，，，则（    ）

A．9 B．11 C．10 D．12
12．如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．

二、填空题（18分）
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为，，，点P在BC（不与点B、C重合）上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为______．

14．如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是，则h的取值范围是________．

15．如图，在□ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC，交BC边于点E，则BE=_____cm．

16．已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD 相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AC=6,BD=8,则OE的长为_________

17．如图，在矩形中，，点，分别在，上，将沿折叠，使点落在上的点处，又将沿折叠，使点落在直线与的交点处；___________.

18．我们把a、b中较小的数记作min{a，b}，设函数f（x）={2，|x﹣2|}．若动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，它们的横坐标分别为x1、x2、x3  ， 则x1x2x3的最大值为________．

三、解答题
19．计算题（4分）
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．（6分）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，求AD的长．

21．（6分）如图，为正方形对角线上一点（不与、重合），于，于，连接．
  
求证：
(1)；
(2)．
22．（8分）某校八年级（1）班甲、乙两男生在5次引体向上测试中有效次数如下：
甲：8，8，7，8，9；乙：5，9，7，10，9；
甲乙两同学引体向上的平均数、众数、中位数、方差如下：

平均数
众数
中位数
方差
甲
8
b
8
0.4
乙
a
9
c
3.2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格是a＝　　，b＝　　，c＝　　．（填数值）
（2）体育老师根据这5次的成绩，决定选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择甲的理由是　 ．班主任李老师根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛，选择乙的理由是　 ；
（3）如果乙同学再做一次引体向上，有效次数为8，那么乙同学6次引体向上成绩的平均数　 　，中位数　 ，方差　 ．（填“变大”、“变小”或“不变”）
23．（6分）如图，在中，．动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动；动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动．如果P，Q两点同时出发．

(1)经过几秒，的面积为？
(2)若设四边形的面积为S，运动时间为t．当t为何值时，S最小，并求出S的最小值；
24．（6分）把一个函数图象上每个点的纵坐标变为原来的倒数（原函数图象上纵坐标为0的点除外）、横坐标不变，可以得到另一个函数的图象，我们称这个过程为倒数变换．
  
如图1，将的图象经过倒数变换后可得到的图象（部分）．特别地，因为图象上纵坐标为0的点是原点，所以该点不作变换，因此的图象上也没有纵坐标为0的点．小明在求的图象与的交点时速用了开平方的定义：，得，解得，则图象交点坐标为或．
请根据上述阅读材料完成：
(1)请在图2的平面直角坐标系中画出的图象和它经过倒数变换后的图象．
(2)设函数的图象和它经过倒数变换后的图象的交点为A，B（点A在左边），直接写出其坐标．A______，B______；
(3)设，且，求m．
25．（6分）“小口罩，大温暖”为有效防控疫情，缓解基层防疫物资短缺问题，2020年2月10日，福山区首批4万只口罩免费派发．烟台市政府紧急调拨的这批民用口罩包括A，B两种不同款型，其中A型口罩单价80元/盒，B型口罩单价100元/盒．
（1）先进行试点发放，某社区环卫工人共收到A、B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元．求免费发放给该社区环卫工人的A型口罩和B型口罩各多少盒？
（2）我区某街道办事处决定将此项公益活动在其整个街道社区全面铺开．此公益活动得到部分厂家支持，某口罩制造厂对此批口罩进行打折销售，具体如下：A型口罩按原价的八折销售，B型口罩超出5盒的的部分按原价的六折销售．分别写出购买两种口罩费用y关于购买数量x(x＞5)的函数关系式；并求购买多少盒口罩时，两种型号口罩花费同样多？
26．（8分）如图1，在中，，点为边上的任一点，过点作，，垂足分别为、，过点作，垂足为．求证：．
如图2，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作、，垂足分别为、，若．，求的值．
图3是一个航模的截面示意图．在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为、，且，，，；、分别为、的中点，连接、，求与的周长之和．

27．（8分）三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
如图1，、分别是的中点，则就是的中位线，则有，，请依据以上知识点，回答下面问题：

如图2，在中，，，点，分别在边，上，，连接，，点，，分别为，，的中点．
(1)观察猜想：
图2中，线段与的数量关系是 　，位置关系是 　　；
(2)探究证明：
把绕点逆时针方向旋转到图3的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：
若，，绕点在平面内旋转过程中，请直接写出的面积取得最大值时的长．


请再仔细检查一下，也许你会做的更好，考试成功的秘诀在于把会做的题做对，祝你成功！
参考答案：
1．B
【分析】根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
【详解】；解：A. 与不能合并计算，故选项错误；
B. ，故选项正确；
C. 与不能合并计算，故选项错误；
D. ，故选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，熟悉相关性质是解题的关键．
2．B
【分析】分别假设众数为2、4、6，分类讨论、找到符合题意的x的值；
【详解】解：若众数为2，则数据为2、2、4、6，此时中位数为3，不符合题意；
若众数为4，则数据为2、4、4、6，中位数为4，符合题意，
若众数为6，则数据为2、4、6、6，中位数为5，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查众数、中位数的定义，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
3．D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到△ABC为直角三角形．
【详解】∵
又∵
∴
∴
∴
∴△ABC为直角三角形
故选：D．
【点睛】本题考查了平方、二次根式、绝对值和勾股定理逆定理的知识；求解的关键是熟练掌握二次根式、绝对值和勾股定理逆定理，从而完成求解．
4．A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：为的中位线，
，
在中，是的中点，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的中线，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半、直角三角形的性质．
6．A
【分析】由于比赛取前8名参加决赛，共有17名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】解：17个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有9个数，
故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了．
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数，极差，平均数，方差等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．A
【分析】把原点坐标代入解析式得到关于k的方程，然后解方程求出k，再利用一次函数的定义确定满足条件的k的值．
【详解】把（0，0）代入y=（k+2）x+k2-4得k2-4=0，解得k=±2，
而k+2≠0，
所以k=2．
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式，于是解决此类问题时把已知点的坐标代入解析式求解．注意一次项系数不为零．
8．A
【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定可得，再根据全等三角形的性质及平行线的性质得到，最后根据角平分线的定义即可解答．
【详解】解：∵在正方形中，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵,
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．B
【分析】可将点的平移和旋转转化为直线的平移和旋转，求出解析式后，联立两个函数解析式即可求出交点的横坐标．
【详解】∵点P为直线上一点，
∴点P向左移动2个单位后的解析式为，
∵绕原点O顺时针旋转后解析式为
∴，可得，
∴点Q的横坐标为．
故选：B
【点睛】此题考查一次函数，解题关键是将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转，然后求函数的交点坐标．
10．D
【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：连接、
  
∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．
∴，
则，
依题意，，
∴，则，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．
11．C
【分析】连接CD，BE，证明△CAD≌△BAE从而得到CD⊥BE，根据勾股定理可得结论；
【详解】如图：连接CD，BE

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE，
在△CAD和△BAE中，
∵
∴△CAD≌△BAE（SAS），
∴CD＝BE；
∴∠ADC＝∠AEB，
∴∠EOD＝∠EAD＝90°，
∴∠EOD＝∠EOC＝∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴，，
∵AB＝2，AD＝1，
∴，，
∴；
故选：C
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．
12．A
【分析】由，得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再依次类推得到点的坐标．
【详解】解：，
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
同理可得：，，…，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点的坐标找出规律．
13．（1,3）或（4,3）
【分析】根据△ODP是腰长为5的等腰三角形，因此要分类讨论到底是哪两条腰相等：①PD=OD为锐角三角形；②OP=OD；③OD=PD为钝角三角形，注意不重不漏.
【详解】∵C（0,3），A（9,0）
∴B的坐标为（9,3）
①当P运动到图①所示的位置时

此时DO=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD-DE=1
此时P点的坐标为（1,3）；
②当P运动到图②所示的位置时

此时DO=PO=5
过点P作PE⊥OA于点E，
在RT△OPE中，根据勾股定理4
此时P点的坐标为（4,3）；
③当P运动到图③所示的位置时

此时OD=PD=5
过点P作PE⊥OA于点E
在RT△OPE中，根据勾股定理4
∴OE=OD+DE=9
此时P点的坐标为（9,3），此时P点与B点重合，故不符合题意.
综上所述，P的坐标为（1,3）或（4,3）
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定以及勾股定理的应用.
14．
【分析】根据题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，利用勾股定理求出杯子的斜边长度，即可求出h的取值范围．
【详解】解：由题意可知，h最长是筷子的长度减去杯子的高度，即，
h最短是筷子的长度减去杯子斜边长度，
由勾股定理得，杯子的斜边长度，即，
h的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意解题关键．
15．2
【分析】由▱ABCD和DE平分∠ADC，可证∠DEC=∠CDE，从而可知△DCE为等腰三角形，则CE=CD，由AD=BC=8cm，AB=CD=6cm即可求出BE．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADE=∠DEC
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
∴∠DEC=∠CDE
∴CD=CE
∵CD=AB=6cm
∴CE=6cm
∵BC=AD=8cm
∴BE=BC-EC=8-6=2cm．
故答案为2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
16．2.5.
【分析】根据菱形对角线的性质可求得AB的长，再由OE∥DC可得OE是△ABC的中位线，进一步可求得结果.
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴OA=OC=AC=3，OB=BD=4，AC⊥BD，
∴AB==5，
∵OE∥DC∥AB，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB=2.5．
故答案为2.5．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理和三角形的中位线等知识，属于基础题型，熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
17．3
【分析】首先连接，可以得到连接是∠的平分线，所以，又，所以是对角线中点，AC=2AB，所以∠ACB=30°，即可得出答案.
【详解】解：如下图所示，连接

∵将沿折叠，使点落在上的点处，又将沿折叠，使点落在直线与的交点处
∴，∠1=∠2
∵∠2=∠3
∴∠1=∠3
在△和△中

∴△△
∴
又∵
∴
∴为对角线AC的中点
即AC=2AB=18
∴∠ACB=30°
则∠BAC=60°，∠=∠=30°
∴∠=∠1=60°
∴∠=∠=30°
∴
∵DF+CF=CD=AB=9
∴DF=
故答案为3.
【点睛】本题考查了折叠问题和矩形的性质，注意折叠前面的两个图形是两个全等形.
18．1
【详解】试题解析：画出函数f（x）的图象，如图所示．

解方程组和得：和，
∴点A（4-2，2-2），点B（4+2，2+2），
∵动直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个交点，
∴0＜m＜2-2．
不妨设x1＜x2＜x3，
当y=2=m时，x1=；
当y=2-x=m时，x2=2-m；
当y=x-2=m时，x3=2+m．
∵0＜m＜2-2，
∴2-m＞0，2+m＞0，
∴x1x2x3=（2-m）（2+m）=m2（4-m2）≤ ()2=1，
当且仅当m2=4-m2时，取等号，
∴m=时，x1x2x3取最大值1．
故答案为1．
19．(1)
(2)
(3)
(4)

【分析】（1）先化简二次根式，再统一为乘法运算进行计算即可；
（2）先化简各项，再进行加减法运算即可；
（3）各项先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）利用分母有理化和平方差公式计算，最后再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：



（2）



（3）


（4）




【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
20．（1）AD=9；（2）AD=
【分析】（1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；
（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到 ，求出BE的长，得到AD的长．
【详解】解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵AC=BC=6，
∴AB=6，
∵∠BAC=∠CAE=45°，
∴∠BAE=90°，
在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，
∴BE=9，
∴AD=9；
（2）如图2，连接BE，
在Rt△ACB中，∠ABC=∠CED=30°，
tan30°=，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∵∠BAC=60°，∠CAE=30°，
∴∠BAE=90°，又AB=6，AE=8，
∴BE=10，
∴AD=．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

21．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）连接，先证明，得，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得出结论；
（2）延长交于，先证明，再根据余角的定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
  
∵四边形是正方形，
∴，，平分即，
∴，
∴．
∵，．
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴．
（2）证明：延长交于，则即．
  
∵，
∴，
在矩形中，，，
∴
∴，
∴
在中，，则，即，
∴在中，，即，
∴，即．
【点睛】此题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
22．（1）a、b、c的值分别是8、8、9；（2）甲的方差较小，比较稳定；乙的中位数是9，众数是9，获奖次数较多；（3）不变；变小；变小．
【分析】（1）根据平均数，中位数和方差的概念计算即可得出答案；
（2）通过对比甲，乙两同学的方差，中位数和众数即可得出答案；
（3）首先计算乙同学之后的平均数，中位数和方差，然后与之前的进行比较即可得出答案．
【详解】（1），
因为甲中8共出现3次，次数最多，所以b=8
因为乙的有效次数中按顺序排列后处于中间位置的是9，所以中位数c=9；
故答案为a、b、c的值分别是8、8、9；
（2），
∴甲的方差较小，成绩比较稳定，
∴选择甲同学代表班级参加年级引体向上比赛；
∵乙的中位数是9，众数也是9，
∴获奖可能性较大，
∴根据去年比赛的成绩（至少9次才能获奖），决定选择乙同学代表班级参加年级引体向上比赛；
（3）∵原来的平均数是8，增加一次也是8，
∴平均数不变．
∵六次成绩排序为5，7，8，9，9，10，
∴处于中间位置的数为8，9，
∴中位数为 ，
∴中位数变小．
后来的方差为，
∴方差变小．
【点睛】本题主要考查数据的分析，掌握平均数，中位数，众数和方差的概念是解题的关键．
23．(1)经过2秒或4秒，的面积为
(2)当时，S的最小值为

【分析】（1）根据三角形的面积公式列出方程，解方程得到答案；
（2）根据三角形的面积公式列出函数关系式，根据二次函数的性质解答；
【详解】（1）设经过t秒，的面积为．
由题意得，，
则，
解得：，
答：经过2秒或4秒，的面积为；
（2）∵出发时间为t秒，点P的速度为，点Q的速度为，
∴，
∴，
∴



，
∵，
∴二次函数开口向上，
则当时，S的最小值为；
【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用及二次函数的性质，三角形的面积计算，灵活运用所学知识是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)，
(3)

【分析】（1）画出函数和函数的图象；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（3）利用三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：
  
（2）解，得或，
，，
故答案为：，；
（3），
，
．
【点睛】本题考查倒数变换，反比例函数与一次函数的交点，三角形面积．理解倒数变换的定义是解题的基础，能够熟练用描点法画图是正确画出图象的关键．
25．（1）试点发放的型口罩为盒，型口罩为盒；（2）购买盒口罩时，两种型号花费同样多．
【分析】（1）设试点发放的型口罩为盒，型口罩为盒，根据“某社区环卫工人共收到A、B两种款型的口罩100盒，总价值共计9200元”列方程组求解可得；
（2）根据题意即可列出两种口罩的花费y关于x的函数关系式，求出费用相等时的x；
【详解】解：设试点发放的型口罩为盒，型口罩为盒
根据题意列方程组，得
.
解得.
试点发放的型口罩为盒,型口罩为盒．
型号：
型号：
由题意，得，
则此时.
解得：.
答：购买盒口罩时，两种型号花费同样多
【点睛】本题考查的是一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出关系式．
26．【问题情境】见解析；【结论运用】4；【迁移拓展】
【分析】[问题情境]连接，利用可证得；
[结论运用]过点作，垂足为，根据条件求出，的长，从而证明后，直接利用[问题情境]中的结论可得出，而 ；
[迁移拓展]延长、交于点，作，垂足为，证明，得到，推出，然后应用问题情境中的结论可得：，设，根据勾股定理求出的值，然后可求图中各条线段的长，最后将与的周长之和转化为的值即可．
【详解】问题情境]如图，连接，

，，，
且，
．
，
．
[结论运用]过点作，垂足为，如图

四边形是矩形，
，．
，，
∴．
由折叠可得：，．
．
，
．
，，
．
四边形是矩形．
．
，
．
，
．
．
由问题情境中的结论可得：．
∴．
的值为．
[迁移拓展]延长、交于点，作，垂足为，如图．

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
．
由问题情境中的结论可得：．
设，则．
，
．
．
，，，
．
解得：．
．
．
．
，且、分别为、的中点，
，．
与的周长之和



．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的性质与判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
27．(1)，
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
(3)

【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出、得出、，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出最大时，的面积最大，然后根据勾股定理求解即可得出结论．
【详解】（1）解：点，分别是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知，，
，，
，
，，
利用三角形的中位线得，，
，
是等腰三角形，
同（1）的方法得，，
，
同（1）的方法得，，
，
，

，
，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：由（2）知是等腰直角三角形，
，
当最大时，最大，
，
最大时最大，
当点在的延长线上时最大，
．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．