专题06 二元一次方程组 认识、解方程组-2022-2023学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

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专题06 二元一次方程组——认识、解方程组














一、 二元一次方程
二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
二元一次方程的解：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
二、二元一次方程组
组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例 也是二元一次方程组三、解二元一次方程组
形式：
（1）二元一次方程组的解是一组数对，必须同时满足方程组中每一个方程一般写成的形式．
(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．
消元：
1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.
2.消元的基本思路：未知数由多变少.
3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.
代入：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．
加减：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
四、三元一次方程组
方法：
（1）观察方程组中未知数的系数特点，确定先消去哪个未知数；
（2）利用代入法或加减法，把方程组中的一个方程，与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（3）解这个二元一次方程组，求得两个未知数得值；
（4）将这两个未知数得值代入原方程组中较简单得一个方程中，求出第三个未知数得值，从而得到原三元一次方程组得解。

五、 方法拓展
1. 二元一次方程取整
已知关于x的方程有整数解，求满足条件的所有整数k的值？
方法：1.先移项使；2.x和k都是整数，（9-k）是17的因数（分正负）；3.即可求解。
2. 二元一次方程组取整
方程组有正整数解，则正整数a的值为________．
方法：1.解方程组；2.x和y为正整数，a+4为13的正因数；3.求解即可。

3. 二元一次方程的新定义
同以前的类型中的新定义
4. 二元一次方程组中换元思想
用换元法解方程组时，如果设＝a，＝b，那么原方程组可化为二元一次方程组 ___．
方法：1.把题中的二元一次方程组转化成；2.解出a和b的值，再代入求x和y的值即可。
5. 二元一次方程组中的误解
已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把C看错了，得，试求出a，b，c的值．
方法：1.由甲的条件可代入得，c已求；2.由乙的条件得3a+6b=3，构造新的二元一次方程组，求出ab即可。
6. 二元一次方程组中代换思想
善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
方法：1.将方程变形：， 即;2.把方程代入得：，求出x和y即可。
7. 二元一次方程组中有、无、无数解
若方程组无解，则值是（   ）
A． B．1 C． D．2
方法：1.把第二个方程整理得到；2.然后利用代入消元法消掉未知数x得到关干y的一元一次方程；3.再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得．
8. 二元一次方程组中相反解求参
若满足方程组的x与y互为相反数，则m的值为（       ）
A．2 B． C．11 D．
方法一：直接用代入或加减消元求出x、y与m的关系式，构造关于m的一元一次方程
方法二：直接构造x+y或其倍数，一步到位，构造关于m的方程为0.
9. 二元一次方程组中消元求参
若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝3，求k的值．
方法：运用消元法求出x、y和k的关系式，代入后面的二元一次方程，构造关于k的一元一次方程。
10. 二元一次方程组中换组求参
方程组和方程组的解相同，则____________
方法：1.由解相同整理得；2.求出x和y的解，代入，求出a和b即可。
【专题过关】
类型一、认识二元一次方程与它的解
【解惑】
（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（    ）
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【融会贯通】
1．（2023春·七年级单元测试）下列方程中，属于二元一次方程的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）下列是二元一次方程的解为（    ）
A． B． C． D．
3.（2023春·浙江·七年级期中）若是关于，的方程的一个解，则的值为______．
4.（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ______ ．
5.（2023春·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）已知是二元一次方程的一个解，则代数式的值是_________．
6.（2022春·广东佛山·七年级期中）把方程改写成用含的式子表示的形式是 _____．
类型二、二元与三元一次方程组的计算
【解惑】
（湖南省娄底市2021-2022学年七年级下学期期中考试作业（二）数学试题）解下列方程组：
(1)
(2)



【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列二元一次方程组：
(1)；
(2)；
(3)．


2．（2023春·浙江·七年级期中）用适当的方法解下列方程组：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．


3．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组：
(1)（代入消元）
(2)（加减消元）


4．（2023春·全国·七年级专题练习）解下列方程或方程组：．


5．（2023春·全国·七年级专题练习）已知，则__．
6．（2023春·全国·七年级专题练习）解方程组：．


类型三、二元一次方程与方程组取整
【解惑】
（2023春·浙江·七年级期中）方程的非负整数解有（）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）方程的正整数解有（    ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）二元一次方程2x＋3y＝11的正整数解有（    ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
3.（2019春·福建福州·七年级福建省福州第十六中学校考期中）已知a为正整数，关于x、y的方程组的解都是整数，则a2＝（　　）
A．1或16 B．4或16 C．1 D．16
4.（2019春·浙江杭州·七年级校联考期中）使方程组有自然数解的整数m（      ）
A．只有6个  B．只能是偶数   C．是小于12的自然数   D．是小于10的自然数
5.（2022秋·云南文山·八年级统考期末）若是关于x、y的二元一次方程的正整数解，则的值为__________．
6.（2022春·江苏·七年级专题练习）为正整数，已知二元一次方程组有整数解，则为______．

类型四、二元一次方程的新定义
【解惑】
（2023春·浙江·七年级专题练习）定义新运算：，其中，为常数．若，，则a，b的值分别为（    ）
A．2，3 B．2， C．，3 D．，
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）对于有理数，，定义一种新运算： ，其中，为常数．已知，，则__．
2．（2023春·浙江·七年级阶段练习）定义运算“*”，规定x*y＝，其中a，b为常数，且1*2＝5，2*3＝10，则4*5＝_____．
3．（2022秋·重庆·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为．例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题∶
(1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ；________．
(2)若“互异数”满足，求所有“互异数”．









4．（2022春·江苏南通·七年级统考期中）定义：数对经过一种运算可以得到数对，将该运算记作：
，其中（，为常数）．
例如，当，时，．
(1)当，时，__________；
(2)若，求和的值；
(3)如果组成数对的两个数，满足二元一次方程时，总有，则__________，__________．
5．（2022春·河南南阳·七年级统考期中）阅读理解：
已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”．
例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题：
(1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”）
(2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；
(3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值．










6．（2022春·江西新余·七年级统考期末）我们定义：若整式M与N满足（k为整数）则称M与N为关于的平衡整式．例如，若，我们称与为关于4的平衡整式．
(1)若与为关于1的平衡整式，求a的值；
(2)若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值．




类型五、二元一次方程组中的换元
【解惑】
（2023春·全国·七年级阶段练习）已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（    ）
A． B． C． D．
【融会贯通】
1．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）阅读探索：
材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设，，原方程组可化为
解得，即，解得
材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于，的方程组：的解；
(2)若关于，的方程组的解为，求关于，的方程组的解．
(3)已知、、，满足，试求的值．





2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读探索
解方程组
解：设a-1+x，b+2=y，原方程组可变为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
(1)拓展提高
运用上述方法解下列方程组：
(2)能力运用
已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为___________．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料：
小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组，小明发现如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
令，．
原方程组化为，
解得，
把代入，，
得，
解得．
∴原方程组的解为．
请你参考小明同学的做法解方程组：
(1)
(2)




类型六、二元一次方程组中的误解
【解惑】
（2023春·湖南常德·七年级校考阶段练习）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值．





【融会贯通】
1．（2023春·浙江金华·七年级校考阶段练习）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求的值．



2．（2023·全国·九年级专题练习）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为，乙看错了方程组中的，得解为．
(1)甲把错看成了什么？乙把错看成了什么？
(2)求出原方程组的正解．



3．（2023春·浙江·七年级专题练习）解方程组时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为，求的值．




4．（2022秋·全国·八年级专题练习）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得解为；乙看错了方程组中的b，而得解为．
(1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？
(2)请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解．






类型七、二元一次方程组中的代换
【解惑】
（2016秋·山东日照·七年级统考期末）阅读材料：喜欢看书的刘翔在看一本数学课外读物，发现一种解二元一次方程组的方法叫“整体代换”法：例：解方程组
解：将方程②变形：4x+6y+y=3，即2（2x+3y）+y=3…③
把方程①代入③得2×1+y=3，
∴y=1．
把y=1代入①得，x=﹣1，
∴方程组的解为
请你模仿这种方法，解下面方程组：
．






【融会贯通】
1．（2016秋·四川达州·八年级统考期末）阅读材料，善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5
即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5
∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x、y满足方程组
①求x2+4y2的值；
②求的值．



2.（2022春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：小聪在解方程组时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：
解：将方程②变形为：4x+10y+y＝5即2(2x+5y)+y＝5③
把方程①代入方程③得：2×3+y＝5解得y＝-1
把y＝-1代入方程①得x＝4
∴方程组的解是
（1）模仿小聪的解法，解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，解答：求xy的值.





3．（2018·全国·九年级专题练习）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即，
把方程①代入③得：，
把代入方程①得：x＝4，所以，方程组的解为
请你解决以下问题：
(1)模仿小军的“整体代换”法解方程组
(2)已知满足方程组   模仿小军的“整体代换”法
（Ⅰ）求的值．
（Ⅱ）求的值．





类型八、二元一次方程组中的有、无、无数解
【解惑】
（2020春·河北沧州·七年级统考期末）二元一次方程的解的情况是（    ）
A．有且只有一个解 B．有无数个解 C．无解 D．有且只有两个解
【融会贯通】
1．（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）请写出一个二元一次方程组，使该方程组无解．你写的方程组是______．


2．（2022秋·八年级课时练习）关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有_____．（写出所有正确的序号）
①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
3.（2017·七年级单元测试）已知方程组，试确定a、c的值，使方程组：
(1)有一个解；
(2)有无数解；
(3)没有解．


4．（2023春·江苏·七年级专题练习）数学乐园：解二元一次方程组，得：，
当时，，同理：；
符号称之为二阶行列式，规定：，
设，，，那么方程组的解就是
(1)求二阶行列式的值；
(2)解不等式：；
(3)用二阶行列式解方程组；
(4)若关于、的二元一次方程组无解，求的值．




类型九、二元一次方程组中的相反解
【解惑】
（2022秋·全国·八年级专题练习）若方程组的解中与互为相反数，则的值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【融会贯通】
1．（2022春·四川德阳·七年级统考期末）若关于x，y的方程组的解互为相反数，则m的值等于（    ）
A．1 B．0 C． D．2
2．（2022春·河南新乡·七年级校考期末）已知x、y满足方程组，且x与y互为相反数，则m的值为（    ）
A． B． C． D．
3．（2022春·河南商丘·七年级统考期末）如果方程组的解中x与y互为相反数，那么k的值是______．



类型十、二元一次方程组中的消元求参
【解惑】
（2023春·全国·七年级专题练习）如果方程组的解中的与的值相等，那么的值是（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【融会贯通】
1.（2022春·山东潍坊·七年级校考阶段练习）若与互为相反数，则______．
2.（2021春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）已知方程组的解x和y的值互为相反数，则k＝_____．
3．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为___________．
4．（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解也是方程的解，则m的值为______．
5．（2023春·重庆南岸·八年级重庆市广益中学校校考开学考试）关于x、y的方程组的解满足，则m的值为______．
6．（2022秋·全国·八年级阶段练习）关于x，y的方程组的解的和为2，则a的值为________．
类型十一、二元一次方程组中的换组求参
【解惑】
（2022秋·八年级课时练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解，则的值是（    ）
A．－3 B．3 C．0 D．－4
【融会贯通】
1．（2022秋·八年级课时练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，则a，b的取值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2022春·河南南阳·七年级统考阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组和有相同的解，则的值为（    ）
A． B． C．1 D．5
3．（2023春·浙江·七年级专题练习）阅读以下内容：
已知x，y满足x+2y=5，且，求m的值．
三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
甲同学：先解关于x，y的方程组再求 m的值．
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
丙同学：先解方程组 再求m的值．
你最欣赏上面的哪种思路?先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由．






4．（2022春·四川泸州·七年级校考期中）若关于，的方程组与有相同的解．
(1)求这个相同的解；
(2)求，的值．



5．（2022春·陕西安康·七年级统考期末）已知关于x、y的二元一次方程组和的解相同，求的平方根．



6．（2022秋·八年级课时练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想：
(1)解方程组，我们利用加减消元法，很快可以求得此方程组的解为______；
(2)如何解方程组呢，我们可以把，分别看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______；
由此请你解决下列问题：
(3)若关于，的方程组与有相同的解，求，的值．