专题08 一元一次不等式的认识与解法-2022-2023学年七年级数学下学期期末考点大串讲（苏科版）

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专题08 一元一次不等式的认识与解法














一、生活中的不等式
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
符号
读法
意义
“≠”
读作“不等于”
它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜”
读作“小于”
表示左边的量比右边的量小
“＞”
读作“大于”
表示左边的量比右边的量大
“≤”
读作“小于或等于”
即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥”
读作“大于或等于”
即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
二、不等式的解及解集
不等式的解
是具体的未知数的值，不是一个范围
不等式的解集
是一个集合，是一个范围．
其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立
②能够使不等式成立的所有数值都在解集中

不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．
(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：

借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画．
注意：在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．
三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c．
不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
不等式的基本性质的掌握注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
四、解一元一次不等式
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．
一元一次不等式的解法
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．








类型一、一元一次不等式中取整
【解惑】
（2023春·全国·七年级专题练习）若实数3是不等式的一个解，则可取的最大整数是（   ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】解不等式可得，结合题意“实数3是不等式的一个解”，可得，解该不等式即可获得答案．
【详解】解：由不等式，得，
∵实数3是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴可取的最大整数为．
故本题选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式是解题关键．
【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式的所有正整数解的和为__．
【答案】6
【分析】解不等式，求得不等式的所有正整数解，即可获得答案．
【详解】解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴不等式的所有正整数解为1，2，3，
则不等式的所有正整数解的和是．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）若不等式的最小整数解是关于的方程的解，求式子的值．
【答案】
【分析】求出不等式的解集，在解集中找出最小的整数解，将最小的整数解代入方程中，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入所求代数式中计算，即可求出值．
【详解】解：不等式，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
则不等式最小的整数解为，
又不等式最小整数解是方程的解，
将代入方程得：，
解得：，
则．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，代数式的求值，以及一元一次方程的解，找出不等式的最小整数解是解本题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）求一元一次不等式的负整数解．
【答案】
【分析】求出不等式的解集，可得结论．
【详解】去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
∴负整数解为．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握一元一次不等式的解法．
4．（2023春·全国·七年级专题练习）解不等式：，并写出该不等式的最小整数解．
【答案】，最小整数解是
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集，然后写出最小整数解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
∴该不等式的最小整数解是．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
类型二、一元一次不等式中最值
【解惑】
（2023秋·四川绵阳·八年级统考期末）已知n为正整数，若一个三角形的三边边长分别是n、、，则满足条件的三角形中周长最短的为（    ）
A．13 B．16 C．19 D．22
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，求得的最小整数解为，即可求解．
【详解】解：∵
即
∴的最小整数解为，
∴三角形三边分别为，周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．

【融会贯通】
1.（2023春·全国·七年级专题练习）若，，，则的最小值为（    ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题．
【详解】解：，
，
∴，
，
，即，
，
∴，
即，
时，的值最小，最小值为6．
故选：C．
【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）已知，则的最大值与最小值的差为__________．
【答案】20
【分析】利用绝对值的性质得出，进一步列出不等式，并化简，即可求得的最大值和最小值．
【详解】解：
，化简得：




的最大值为：，的最小值为：
最大值与最小值的差为：．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查绝对值的性质和不等式的化简，熟练绝对值的性质并懂得化简不等式是解题的关键．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知非负数，，满足，设．则的最大值与最小值的和为__．
【答案】
【分析】首先设，再根据是非负数求得的取值范围，进而求得的取值范围即可解答．
【详解】解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得：，
∴，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了最值问题，设求出的取值范围是解题的关键．
4．（2023春·全国·八年级专题练习）已知不等式，的最小值是；，x的最大值是，则___________．
【答案】

【分析】解答此题要理解“”“ ”的意义，判断出和的最值即可解答．
【详解】解：因为的最小值是，；
的最大值是，则；
则，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的定义，解答此题要明确，时，可以等于2；时，可以等于．
5．（2023春·七年级单元测试）若a、b、c、d是正整数，且，，，则的最小值为_______________．
【答案】34
【分析】先将3个等式变形为，进而得到，然后根据它们都是正整数，可求出a的取值范围，进而可得的最小值．
【详解】解：由题意可得，
∴．
∵a、b、c、d都是正整数，
∴，
解得：，且a为整数，
∴，
∴的最小值为34．
故答案为：34．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意用a表示出，并求出取值范围是解题的关键．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）（1）①比较4m与的大小：（用“>”、"“”、“；=；>；②≥；（2）①0，4；②6
【分析】（1）①当m=3时，当m=2时，当m=-3时，分别代入计算，再进行比较即可；②根据，即可得出答案；
（2）①根据题意即可得到结论；②把原式配方得到，于是得到当时，的值最小，即可得到结论．
【详解】解：（1）①当m=3时，4m=12，=13，则，
当m=2时，4m=8，=8，则=4m，
当m=-3时，4m=-12，=13，则，
故答案为：＞，=，＞；
②∵，
∴无论取什么值，总有；
故答案为：≥；
（2）①当m=0时，有最小值，最小值是4，
故答案为：0，4；
  ②∵，
∴当，即时，的值最小，
∴当时，的最小值是6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了配方法的应用，不等式的性质，用到的知识点是不等式的性质、完全平方公式、非负数的性质，关键是根据两个式子的差比较出数的大小．
类型三、一元一次不等式中特殊不等式
【解惑】
（2020秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）当x_____时，|x﹣2|＝2﹣x．
【答案】≤2
【分析】由题意可知x﹣2为负数或0，进而解出不等式即可得出答案.
【详解】解：由|x﹣2|＝2﹣x，可得，解得：.
故答案为：≤2.
【点睛】本题考查绝对值性质和解不等式，熟练掌握绝对值性质和解不等式相关知识是解题的关键.

【融会贯通】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）【问题提出】的最小值是多少？
【阅读理解】
为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
（1）如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
（2）如图②，在1和2之间（包括在1，2上），可以看出到1和2的距离之和等于1．
（3）如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．

所以到1和2的距离之和最小值是1．


【问题解决】
(1)的几何意义是______；请你结合数轴探究：的最小值是______；
(2)请你结合图④探究：的最小值是______，此时为______；
(3)的最小值为______；
(4)的最小值为______．
【拓展应用】
(5)如图⑤，已知到，2的距离之和小于4，请写出的范围为______．
【答案】(1)这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；
(2)2；2；
(3)9；
(4)2550；
(5)．

【分析】（1）根据题干绝对值的几何意义，再结合数轴即可得到答案；
（2）由数轴可知，取中间值2时绝对值之和最小，求解即可得到答案；
（3）由数轴可知，取中间值3和4之间（包括在3，4上），绝对值之和最小，利用进行计算即可得到答案；
（4）由数轴可知，取中间值50时绝对值之和最小，求解即可得到答案；
（5）由已知得，分三种情况讨论：①时；②时；③时，求解绝对值不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可知，的几何意义是这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，
当在3的左边，可以看出到3和6的距离之和大于3；

当在3和6之间（包括在3，6上），可以得到到3和6的距离之和等于3；

当在6的右边，从图中很明显可以看出到3和6的距离之和大于3；

所以到3和6的距离之和最小值是3，
故答案为：这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和；3；
（2）解：如图所示，当a取中间数时，绝对值之和最小，
即时，的最小值是，
故答案为：2；2；

（3）解：当在3和4之间（包括在3，4上），绝对值之和最小；
当时，，
故答案为：9；
（4）解： 1，2，3，4，5……101的中间数为：51，
当a取中间数51时，绝对值之和最小，




，
故答案为：50；
（5）解：到，2的距离之和小于4，
，
①当时，，
解得：，
；
②当时，，
；
③当时，，
解得：，

综上可知，当到，2的距离之和小于4时，的范围为．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义与性质，解不等式求解集，利用数形结合与分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的性质，理解绝对值的几何意义是解题关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则：
①“”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ．
我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．

由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或，
绝对值不等式的解集是．则：
①不等式的解集是 ．
②不等式的解集是 ．
（3）【拓展应用】解不等式，并画图说明．
【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3；
（2）①或；②；（3）或，见解析．
【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）；
（2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集．
【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于．
故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于；
②
令，

使不等式“”成立的整数为，，
故答案为：，．
（2）①由题意可知，
不等式的解集是或，
故答案为：或；
②由题意可知，不等式的解集为：
，
即，
故答案为：；
（3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值，
如下图所示，

可知不等式的解集是或．
【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
3．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读求绝对值不等式子解集的过程：因为，从如图所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是，解答下面的问题：

(1)不等式的解集为______；
(2)求的解集实质上是求不等式组______的解集，求的解集．
【答案】(1)；
(2)，．

【分析】（1）根据题中所给出的例子进行解答即可；
（2）根据题中所给的实例列出关于的不等式组，求出其解集即可．
【详解】（1）解：的解集是，
不等式的解集为：．
故答案为：；
（2）解：的解集是，
求的解集是，
可化为，
求的解集实质上是求不等式组，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意利用数形结合求一元一次不等式的解集是解答此题的关键．
4．（2020秋·四川凉山·九年级阶段练习）先阅读理解下面的例题，再按要求解决问题．
例题：解一元二次不等式．
解：∵，
∴．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
①解不等式组①，得
②解不等式组②，得，
故原不等式的解集为或，
即一元二次不等式的解集为或．
问题：（1）求关于x的两个多项式的商组成的不等式的解集．
（2）若a，b是（1）中解集x的整数解，以a，b，c为为边长，c是中的最长的边长，①求c的取值范围：②若c为整数，求这个等腰的周长．
【答案】（1）；（2）①3＜c＜6或4＜c＜8或4＜c＜8；②10或11或13或14或15．
【分析】（1）利用不等式得到①，②，进而求出即可；
（2）根据（1）中所求，得出a，b的值，再求c，进而求出这个等腰△ABC的周长即可．
【详解】（1）∵，
∴由“两数相除，异号得负”，有：
①解不等式组①得：；
②解不等式组②得：无解；
∴原不等式的解集为；
（2）①a，b的解集的整数解，
∴a=3，b=3；a=3，b=4；a=4，b=4．
∵c是△ABC的最大边，
当a=3，b=3时，3＜c＜6；
当a=3，b=4时，4≤c＜7；
当a=4，b=4时， 4＜c＜8；
②当a=3，b=3时，3＜c＜6，
∴c=4或5，
∴=10或11；
当a=3，b=4时，4≤c＜7，
∴c=4，
∴=11；
当a=4，b=4时
∴4＜c＜8，
∴c=5，6，7，
∴=13或14或15．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用和三角形三边关系等知识，利用已知得出分式中分子与分母的关系是解题关键．解第（2）问时注意分类讨论．
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）解不等式：|x－1|＋|x－3|＞4.
【答案】x＜0或x＞4
【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可.
试题解析：当x≤1时，原式可变形为
1－x＋3－x＝4－2x＞4，解得x＜0.
当1＜x≤3时，原式可变形为
x－1＋3－x＞4，得2＞4，不合题意．
当x＞3时，原式可变形为
x－1＋x－3＝2x－4＞4，解得x＞4.
∴x＜0或x＞4.
点睛：此题主要考查了带绝对值的复合不等式的解法，解题关键是要根据绝对值的性质，分情况讨论，然后根据绝对值的性质求解不等式既能解决，解题时注意不等式的基本性质的应用.
6．（2022·全国·七年级专题练习）对于不等式且当时，当时，
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)解关于x的不等式：
(2)解关于x的不等式其解集中无正整数解，求k的取值范围
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）根据题意列出一元一次不等式求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式求解，并根据解集中无正整数解求出k的取值范围即可.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：
（2）∵，
∴
移项合并得：；
当，即时，解得：（可以取遍所有正整数，不合题意）；
当，即时，化简得（恒成立，可以取遍所有正整数，不合题意）；
当，即时，解得：，
∵解集中无正整数解，
∴，
去分母得：，（，不等号改变方向）
解得：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式与不等式的性质，掌握解一元一次不等式的一般步骤与不等式的性质是解题的关键．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】
我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则．
例：已知，，其中．求证：．证明：．
∵，
∴．
∴．
【新知应用】
（1）比较大小：______．
（2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系．

【实际应用】
（3）请用“作差法”解决下列问题：
某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？
【拓展提升】
（4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小．
【答案】（1）；（2）（3）当时， A方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， B方案合算；（4）
【分析】（1）做x-1与2+x的差，再根据差的正负性即可判断；
（2）分别用m表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案；
（3）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可；
（4）先将z看作常数，解关于x、y的二元一次方程组，然后带入并作差，根据差的正负性即可得到答案；
【详解】解：（1）根据材料得，
∴
故填；
（2）由图知：

∴
∵m是正整数
∴
∴
∴
（3）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为
根据题意可知：，

∵，x为正整数，
∴当时，，故，此时A方案合算；
当时，，故，此时两个方案的总价相同；
当时，，故，此时B方案合算；
（4）由、得、，
联立方程组并解得
∴==
∴
【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了二元一次方程组，不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键．
类型四、一元一次不等式与二元一次方程中的取值范围
【解惑】
（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）关于，的方程组的解满足的值不大于5，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据方程组，得到，再根据的值不大于5，列出不等式求解即可得到答案．
【详解】解：方程组，
得：，
关于，的方程组的解满足的值不大于5，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题关键．

【融会贯通】
1．（2023·山东滨州·模拟预测）关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是(   )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将2个方程相加得出，根据不等式的解集的情况，得出，进而即可求解．
【详解】解：
由得：
∴，
∵，
∴
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式，根据题意得出的表达式是解答此题的关键．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）关于x，y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为______．
【答案】
【分析】把两个方程相减，可得，x与y的和不小于5，即可求出答案．
【详解】把两个方程相减，可得
x与y的和不小于5

解得：
k的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式知识点是解题的关键．
3．（2023春·广东中山·九年级校考阶段练习）若方程组的解x、y满足，则a的取值范围为_________．
【答案】
【分析】由题意解不等式组，用含a的式子表示的值，再根据取值范围求解即可．
【详解】解：，
①+②得：，
∴．
∵，
∴，
解之得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组用的加减法，观察方程组及方程组的解所满足的条件，只要将方程组的两个方程相加即可得到的值，这是关键．
4．（2023春·福建漳州·七年级统考期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围．
【答案】
【分析】由得到即，结合可得，解不等式即可．
【详解】解：
由得：，
即，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，解一元一次不等式；解题的关键是巧解方程组得到．
5．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）已知方程组是一个关于x，y的二元一次方程组，其中与的和是非负数，求m的取值范围．
【答案】
【分析】利用加减消元法求出、，然后列出不等式，再解关于的一元一次不等式即可得解．
【详解】解：解二元一次方程组得，
∵与的和是非负数，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，把看作常数，用表示出、然后列出关于的不等式是解题的关键，也是本题的难点．
6．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）已知方程组的解中，为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)化简．
【答案】(1)
(2)5

【分析】（1）用加减消元法得，，根据题意得，即可求出a的范围；
（2）利用a的范围和绝对值的非负性即可得．
【详解】（1）解：
①+②，得：，解得：，
①-②，得：，解得：，
∵x为非正数，y为负数，
∴
解得：；
（2）解：∵，
∴
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解不等式的应用，化简绝对值，解题的关键是能够正确求解出二元一次方程组的解
类型五、一元一次不等式与二元一次方程中整数解
【解惑】
（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）若关于、的方程组的解满足，则的最小整数解为___________．
【答案】
【分析】方程组中的两个方程相减得出，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
得：，
关于的方程组的解满足，
∴，
解得：，
∴的最小整数解为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键．

【融会贯通】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的最大整数值为______．
【答案】
【分析】，得，根据得出关于的不等式，求得最大整数解即可求解．
【详解】解：，
，得，
∵，
∴，
∴．
m的最大整数值为-2
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、一元一次不等式，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023秋·山东济南·八年级统考期末）若关于x和y的二元一次方程组，满足，那么整数m的最大值是______．
【答案】1
【分析】先将两个方程相加，再整理，即可得到，即可得到，即可得到m的取值范围，即可求最大值．
【详解】解：
得：

即：



整数m的最大值为1
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解不等式，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
3．（2023春·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求a的负整数值．
【答案】
【分析】用含的代数式表示出，根据，进行求解即可．
【详解】解：，
，得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴a的负整数值为：．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的值．解题的关键是用含的代数式表示出．
4．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）若方程组的解满足，求满足条件的正整数m的值．
【答案】
【分析】用含m的式子表示x，y，利用得到不等式求出m的解集，写出整数解．
【详解】解：解方程组得：，
∵
∴
解得，
∴正整数m的值为．
【点睛】本题考查解二元一次方程组和不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
5．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于、的二元一次方程组（为常数）.
(1)若该方程组的解、满足，求的取值范围；
(2)若该方程组的解、均为正整数，且，直接写出该方程组的解.
【答案】(1)
(2)或或或

【分析】（1）将方程组变为，利用得，代入不等式，解不等式即可求解；
（2）根据加减法解二元一次方程组，根据方程组的解均为正整数，且，得的值，进而求得方程组的解．
【详解】（1）解：二元一次方程组可变为：，
得：，
∵该方程组的解满足，
∴，
解得：；
（2）解：二元一次方程组可变为：，
得：
解得，
将代入①得：，
解得：，
∵方程组的解均为正整数，且，
∴或或4或3，
∴或或或．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式综合，正确的计算是解题的关键．
6．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）已知关于、的二元一次方程组 （k为常数）．
(1)求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；
(2)若，，求k的值；
(3)若，设，且m为正整数，求m的值．
【答案】(1)
(2)或2或
(3)1或2

【分析】（1）把k当作常数利用加减消元法求解即可；
（2）分三种情况：；是偶数；三种情况讨论求解即可；
（3）先求出，根据，得到，再由m是正整数，进行求解即可；
【详解】（1）解：
用得：，解得，
用得：，解得，
∴方程组的解为；
（2）解：∵，
∴当，即时，则，解得；
当且为偶数时，即时，则，解得，此时，符合题意；
当当，时，即时，则，解得；
综上所述，k的值为3或2或；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵m是正整数，
∴m的值为1或2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，零指数幂，有理数的乘方，正确求出是解题的关键．
类型六、一元一次不等式的新定义
【解惑】
（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）定义一种运算：，例如：，根据上述定义，不等式组的解集是______．
【答案】
【分析】根据，可以将不等式组不等式组可以转化为，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，不等式组可以转化为，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会利用新定义转化不等式组．
【融会贯通】
1.（2023春·全国·八年级期中）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※．例如，2※．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※，则不等式的正整数解是__．
【答案】1，2
【分析】按照定义写出不等式并求解，再求出该不等式的正整数解．
【详解】解：∵a※，
∴3※，
∵3※，
∴
解得
∴该不等式的正整数解为：1，2．
故答案为：1，2．
【点睛】此题考查了利用新定义解决不等式问题的能力，关键是能根据定义写出不等式并求解．
2．（2023春·八年级单元测试）若定义一种新的取整符号，即表示不小于的最小整数．例如：，．则下列结论正确的是（    ）
①；②；③方程的解有无数多个；④当时，则的值为0、1或；⑤若，则的取值范围．
A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤
【答案】C
【分析】①根据取整函数的定义，直接求出值；②取特殊值验证；③在0到1的范围内，找到一个特殊值，进而可以找到无数个解；④分情况讨论，验证的所有取值；⑤把方程问题转化为不等式问题；．
【详解】解：由题意得：，故①结论正确；
设，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分，
∴，故②结论不正确；
设，其中a是x的整数部分，b是x的小数部分
则方程可变形为：，
解得：，
∵a的值不能够确定，
∴方程有无数多个解，故③结论正确；
当时，，
即，
∴当时，，
∴；
当时，，
即，
∴；
当时，，
即，
∴，故④结论不正确．
∵，
∴，
解得：，
∴⑤结论正确；
故正确的为①③⑤
故选：C．
【点睛】本题考查了取整函数与一元一次不等式，解题的关键在于能够把取整数的等式，转化为一元一次不等式问题去解决．
3.（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照定义写出不等式并求解，再求出该不等式的整数解．
【详解】解：由题意得，，
解得，
该不等式的正整数解为：，
故选：A
【点睛】此题考查了利用新定义解决不等式问题的能力，关键是能根据定义写出不等式并求解．
4．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的正整数解叫做这个方程（组）的“好解”例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”．
(1)请直接写出方程的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组有“好解“吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由；
(3)已知x，y为方程的“好解”，且，求所有m的值．
【答案】(1)，，
(2)有“好解“，“好解”为
(3)63，73，83

【分析】（1）根据“好解”的定义，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解；
（2）解方程组求得，根据“好解”的定义得，即，在范围内列举正整数代入求解；
（3）由解得，根据“好解”的定义得到，即，在范围内列举正整数代入求解．
【详解】（1）由，得y（x、y为正整数），
∵，
即，
∴当时，；
当时，；
当时，；
即方程的“好解”有，，；
（2）由解得（x、y、k为正整数），
∵，即，
∴当时，，，
∴方程组有“好解“，“好解”为；
（3）由解得（x、y、m为正整数），
∵，即，
∴当时，，；
当时，，；
当时，，；
∴所有m的值为63，73，83．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是要理解方程（组）的“好解”条件，根据条件求解．
5．（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）【阅读理解】
定义新运算：对于任意，，都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：．
【问题解决】
若的值小于，求的取值范围，并在图示的数轴上表示出来．

【答案】，数轴见详解
【分析】根据题意给出的运算规则列出不等式求解，然后把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
解得：，
数轴如下：

【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
6．（2023春·江苏·七年级专题练习）【阅读理解】定义：数轴上给定不重合两点、，若数轴上存在一点，使得点到点的距离等于点到点的距离的2倍，则称点为点与点的“双倍绝对点”．请解答下列问题：
(1)【特例探究】若点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“双倍绝对点”，则点表示的数为______．
(2)【抽象探究】若点表示的数为，点表示的数为，则点与点的“双倍绝对点”表示的数为______（用含的代数式表示）．
(3)【拓展应用】点表示的数为，点表示的数分别是，，点为线段上一点，设点表示的数为，且点在、两点之间，若点可以为点与点的“双倍绝对点”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)对应的数为或．
(2)对应的数为或．
(3)

【分析】（1）设对应的数为，由，再建立方程求解即可；
（2）设对应的数为，由，再建立方程求解即可；
（3）如图，设对应的数为，可得，，由，可得，结合，从而可得答案．
【详解】（1）解：设对应的数为，而点为点与点的“双倍绝对点”， 点表示的数为，点表示的数为1，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：或，
∴对应的数为或．
（2）设对应的数为，而点为点与点的“双倍绝对点”， 点表示的数为，点表示的数为，
∴，
∴，即，
∴或，
解得：或，
∴对应的数为或．
（3）如图，设对应的数为，

∴，，
∵点可以为点与点的“双倍绝对点”，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是新定义运算，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，不等式的性质的应用，理解题意，利用方程与不等式的思想解题是解本题的关键．
7．（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）我们定义；如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”
(1)不等式 的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．
(2)若关于的不等式不是“云不等式”，求的取值范围．
(3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
【答案】(1)是
(2)
(3)或

【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；
（2）解不等式可得，解不等式得，再根据云不等式的定义可得，解不等式即可求解；
（3）分两种情况讨论，根据云不等式的定义得到含的不等式，解得即可．
【详解】（1）解：不等式和不等式有公共整数解2，
不等式是的“云不等式”，
故答案为：是；
（2）解：解不等式可得，
解不等式得，
关于的不等式不是的“云不等式”，
，
解得．
故的取值范围是；
（3）解：，
，
，
①当时，即时，的解集是，
，
，
由题可得，
即，故；
②当时，即时，的解集是，
此时始终符合题意，故，
综上所述：的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了新定义运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的确定方法是解题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）若点P为数轴上一个定点，点M为数轴上一点．将M，P两点的距离记为．给出如下定义：若小于或等于k，则称点M为点P的k可达点．
例如：点O为原点，点A表示的数是1，则O，A两点的距离为1，，即点A可称为点O的2可达点．

(1)如图，点中， 是点A的2可达点；
(2)若点C为数轴上一个动点，
①若点C表示的数为，点C为点A的k可达点，请写出一个符合条件的k值 ；
②若点C表示的数为m，点C为点A的2可达点，m的取值范围为 ；
(3)若，动点C表示的数是m，动点D表示的数是，点C，D及它们之间的每一个点都是点A的3可达点，写出m的取值范围 ．
【答案】(1)
(2)①（即可）；②
(3)

【分析】（1）由图和k可达点的定义直接得出结论；
（2）①点C表示的数为时，，根据点C为点A的k可达点，可以得出k的一个值；
②根据点C为点A的2可达点得出，解不等式即可；
（3）分三种情况讨论点D和点C的位置，由可达点的定义得出m的取值范围．
【详解】（1）由图可以看出，是点A的2可达点，
故答案为：；
（2）①若点C表示的数为，则点A与点C的距离为2，
∴k应该大于2，
∴k可以为4，
故答案为：4（即可）；
②若点C为点A的2可达点，则，
解得：．
故答案为：；
（3）①当时，点D在点C左侧，
∴，
解得：，
∴；
②当时，，
此时都符合题意；
③当时，点D在点C右侧，
∴，
解得：，
∴．
综上：m的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查数轴上了两点间的距离的表示方法以及新定义，关键是对新定义的理解和掌握．
类型七、一元一次不等式中含参解集
【解惑】
（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若关于x的不等式mx- n＞0的解集是，则关于x的不等式的解集是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解不等式mx- n＞0，根据解集可判断m、n都是负数，且可得到m、n之间的数量关系，再解不等式可求得
【详解】解不等式：mx- n＞0
mx＞n
∵不等式的解集为：
∴m＜0
解得：x＜
∴，
∴n＜0，m=5n
∴m+n＜0
解不等式：
x＜
将m=5n代入得：

∴x＜
故选：B
【点睛】本题考查解含有参数的不等式，解题关键在在系数化为1的过程中，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号.

【融会贯通】
1．（2023春·七年级课时练习）若(m−1)x>(m−1)的解集是x＜1，则m的取值范围是（    ）．
A．m>1 B．m£1 C．m(m−1)的解集为x＜1，
∴m-1＜0，
∴m＜1，
故选：C．
【点睛】此题考查不等式的解集，解题关键在于掌握在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
2．（2022春·内蒙古通辽·七年级校考期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得．
【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1，
∴m-1＜0，即m＜1，
故选：B．
【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
3．（2023春·河南郑州·八年级统考阶段练习）已知关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，则a的取值范围是（    ）
A．a＜1 B．a＞1 C．a＜0 D．a＞0
【答案】A
【分析】先根据不等式的基本性质及此不等式的解集判断出k﹣4的符号，再求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（a﹣1）x＞2的解集为，，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的不等式是解题关键．
4．（2023·河南·模拟预测）新定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数．已知，则．例如：若，则．如果，那么的取值范围是_________．
【答案】
【分析】根据新定义的概念将问题转化一元一次不等式，最后求解即可．
【详解】解： 由题意，可得，
解得．
故答案为：
【点睛】本题考查一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键，渗透了数学学科运算能力、创新意识的核心素养．
5．（2019·黑龙江·统考中考真题）已知x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，则实数a的取值范围是____．
【答案】a≤-1.
【分析】根据x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，x=2不是不等式ax-3a-1＜0的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【详解】解：∵x=4是不等式ax-3a-1＜0的解，
∴4a-3a-1＜0，
解得：a＜1，
∵x=2不是这个不等式的解，
∴2a-3a-1≥0，
解得：a≤-1，
∴a≤-1，
故答案为a≤-1．
【点睛】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
6．（2022春·江苏·七年级专题练习）已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.
【答案】2
【详解】试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，
x＞，
∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，
∴＝1，
解得：k＝2．
故答案为2．
点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．

类型八、参数x与y的和差范围
【解惑】
（2023春·七年级单元测试）关于x的两个不等式x+1