人教版数学九年级下册第二十八章、锐角三角函数 试卷

这是一份人教版数学九年级下册第二十八章、锐角三角函数，共29页。

初中数学试卷
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A＝35°，则直角边BC的长是(　　)

A．msin35° B．mcos35° C．msin35° D．mcos35°
2．计算 sin30° 的值等于（　　）
A．3 B．12 C．23 D．32
3．下列式子错误的是（　　）
A．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1
C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°
4．如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（　　）

A．34 B．43 C．35 D．45
5．如图，在坡角为30°的斜坡上要栽两棵树，要求它们之间的水平距离AC为6m，则这两棵树之间的坡面AB的长为（　　）

A．12m B．33m C．43m D．123m
6．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= 1318(x−3)2−32 与y轴交于点A，顶点为B，直线l：y=- 43 x+b经过点A，与抛物线的对称轴交于点C，点P是对称轴上的一个动点，若AP+ 35 PC的值最小，则点P的坐标为（　　）

A．（3，1） B．（3， 114 ）
C．（3， 165 ） D．（3， 125 ）
7．如图,在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中,AB=AD,BG=BE,点A， B， E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG、PC，若∠ABC=∠BEF=60°,则 PGPC =(　　)

A．2 B．3 C．22 D．33
8．如图所示,菱形ABCD中,AB＝2,∠A＝120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,则PK＋QK的最小值为(　　)

A．1 B． C．2 D． ＋1
9．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（　　）

A．3＋1 B．2+1 C．2.5 D．5
10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，点F是点D关于直线AE对称的点，连接AF、BF，若tan∠ABF＝2，则DE的长是（　　）

A．1 B．65 C．43 D．53
二、填空题
11．某斜坡的坡度 i=3:3 ，则它的坡角是　 　度．
12．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，问乙货船每小时航行　 　海里．

13．为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD= 123 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= 3313 ，
则CE的长为　 　米．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后得到Rt△A1BC1，连接CC1，AA1，过点A作AM⊥AC交A1C1于点D，若CC1= 35 AA1，BC1=C1D，且AD0，x>0) 的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将△DBE翻折得到△DFE，且点F恰好落在直线OA上.下列四个结论：①DE//AC ；②CE=AD ；③tan∠FED=AFAB ；④S△EOF=k .其中结论正确的有　 　.（仅填序号即可）

19．如图，∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=3，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为边，P，M，N为顶点作正方形，则MN的长为　 　．

20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一动点．已知△A′B′C≌△ABC，现将△A′B′C绕点C按逆时针方向旋转，点E是边A′C的中点，则S△ABC=　 　，PE长度的最小值为　 　．

三、计算题
21．计算： 8 ﹣4sin45°+（ 3 ﹣ 2 ）0+2﹣2．
22．计算： |−3|−(4−π)0−2sin60∘+（14）−1 .
23．计算：（﹣1）2020﹣ 8+(π−3)0 +4cos45°.
24．计算：2tan45°-1sin30°-2sin260°．
25．计算： 8 ﹣（2019﹣π）0﹣4cos45°+（﹣2）2
26．求下列各式的值
（1）sin45°cos45°+4tan30°sin60° ；
（2）cos60°−2sin245°+23tan60°−sin30° .
27．计算：
（1）(2a−b)2−(4a+b)(a−b) ；
（2）(−12)−2+(2021−π)0−33tan60° .
28．计算：
29．计算：
（1）2sin30°−4cos45°+|1−tan60°|
（2）(x−1)(x−2)=2
30．计算题
（1）计算： 0.04 +cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣ 12 |
（2）先化简，再求值：（ x−yx2−2xy+y2 ﹣ xx2−2xy ）÷ yx−2y ，其中x=2 2 ，y= 2 ．
四、解答题
31．如图，小明到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200 m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α=16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200 m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平夹角∠β=42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，cos42°≈0.74）

32．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=35 。求BC的长及∠A的正切值．

33．如图，小亮站在自家阳台上A处观测到对面大楼底部C的俯角为43°，若两栋楼之间的距离BC为30米，则A处到地面B处的距离AB为多少米？（结果精确到0.1米）（供选用数据：sin43°≈0.6820，cos43°≈0.7314，tan43°≈0.9325）

34．如图，春节来临，小明约同学周末去文化广场放风筝，他放的风筝线AE长为115m，他的风筝线（近似地看作直线）与水平地面构成42°角，若小明身高AB为1.42m，求他的风筝飞的高度CF（精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

35．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=15m， CD=20m。AB和CD之闻有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上。求两幢建筑物之间的距离BD.（结果精确到0.1m）[参考数据： sin42°=0.67，cos42°=0.74，tan42°=0。90]

36．阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图 2）．
请回答：求∠ACE的度数，AC的长．
参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长．


答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】根据锐角三角函数定义可得sinA= BCAB=BCm ，所以BC= msin35° ,故答案为：A.
【分析】 在Rt△ABC中,由sinA= BCAB=BCm即可求出结论.
2．【答案】B
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： sin30°=12 ；
故答案选B．
【分析】根据特殊角的三角函数值判断即可.
3．【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：A、sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正确；
B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；
C、sin225°+cos225°=1正确；
D、sin60°= 32 ，sin30°= 12 ，则sin60°=2sin30°错误．
故选D．
【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．本题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】先根据△ABC的三边关系确定出其形状，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可．
【解答】∵在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，32+42=52，
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．
∴tanB=ACBC=34．
故选A．
【点评】此题考查的是直角三角形的判定定理及锐角三角函数的定义，比较简单．
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6m，
∴AB= ACcos30°= 632=43（m）．
故选C．
【分析】AB是Rt△ABC的斜边，这个直角三角形中，已知一边和一锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AB的长．
6．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；解直角三角形；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】如图，过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A’，连接AA’，CA’，过点A作AE⊥CA’交抛物线对称轴于点P，此时点A到A’C距离最小。

∵抛物线y= 1318(x−3)2−32
∴A（0，5），A’（6，5）
∵直线l：y=- 43 x+b
∴C（3，1），D（0，1）
∵∠ACP=∠ECP
∴Sin∠ECP=Sin∠ACP= AFAC=35
∴AP+ 35 PC=AP+Sin∠ECP·PC=AP+PE
∴当A、P、E三点共线时AP+ 35 PC最小
∴∠A’AP=∠ECP=∠ACP
∴PF=AF·tan∠FAP= 94
∴P（3， 114 ）
故答案为：B.

【分析】过点C作CD⊥y轴于D，作点A关于抛物线对称轴的对称点A’，连接AA’，CA’，过点A作AE⊥CA’交抛物线对称轴于点P，此时点A到A’C距离最小，先求出AP+ 35 PC=AP+Sin∠ECP·PC=AP+PE，即当A、P、E三点共线时AP+ 35 PC最小，由PF=AF·tan∠FAP求出PF的长，然后求出PG的长，从而求出点P的坐标.
7．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：延长GP交DC于点H，

∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC,(三线合一)
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴PGPC = 3 .
故答案为：B.
【分析】延长GP交DC于点H，首先根据菱形的判断方法判断出平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，再根据菱形的性质及全等三角形的判定方法判断出△GFP≌△HDP，根据全等三角形的性质得出GP=HP，GF=HD，进而判断出△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得出PG⊥PC，最后根据锐角三角函数的定义及特殊锐角三角函数值即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】 （1）若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K。

由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得
P1K=PK。
∴此时的K就是使PK+QK最小的位置。
（2）点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。
因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短。
过点A作AQ1⊥DC于点Q1。
∵∠A=120°，∴∠DA Q
1=30°。
又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=3。
综上所述，PK+QK的最小值为3。故选B。
【分析】分类讨论：①若点P，Q固定，此时点K的位置：如图，作点P关于BD的对称点P1，连接P1Q，交BD于点K，根据轴对称的性质可得P1K=PK，故此时的K就是使PK+QK最小的位置等于P1Q;②点P，Q变动，根据菱形的性质，点P关于BD的对称点P1在AB上，即不论点P在BC上任一点，点P1总在AB上。因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P1Q⊥AB时P1Q最短,根据菱形的性质及含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AQ1的长，再根据平行线间的距离相等即可得出P1Q=AQ1，从而得出答案。
9．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，
∴AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，
∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，
∴AE=EF，∠EAF=∠EFA=45°2=22.5°，
∴∠FAB=67.5°，
设AB=x，
则AE=EF=2x，
∴tan∠FAB=tan67.5°=FBAB=2x+xx=2+1．
故选：B．
【分析】根据翻折变换的性质得出AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，∠FAB=67.5°，进而得出tan∠FAB=tan67.5°=FBAB 得出答案即可．此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出∠FAB=67.5°以及AE=EF是解题关键．
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，

∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴∠FME＝90°，
∵tan∠ABF＝2，
∴FNBN＝2，
设BN＝x，则FN＝2x，
∴AN＝4﹣x，
∵点F是点D关于直线AE对称的点，
∴DE＝EF，DA＝AF＝4，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AFE（SSS），
∴∠D＝∠AFE＝90°，
∵AN2＋NF2＝AF2，
∴（4﹣x）2＋（2x）2＝42，
∴x1＝0（舍），x2＝85，
∴AN＝4﹣x＝4﹣85＝125，MF＝4﹣2x＝4﹣165＝45，
∵∠EFM＋∠AFN＝∠AFN＋∠FAN＝90°，
∴∠EFM＝∠FAN，
∴cos∠EFM＝cos∠FAN，
∴FMEF＝ANAF，即45EF=1254，
∴EF＝43，
∴DE＝EF＝43．
故答案为：C．

【分析】过点F作FN⊥AB于点N，并延长NF交CD于点M，根据tan∠ABF＝2，可得FNBN＝2，设BN＝x，则FN＝2x，可得AN＝4﹣x，再利用勾股定理列出方程（4﹣x）2＋（2x）2＝42，求出x的值，最后根据cos∠EFM＝cos∠FAN，可得FMEF＝ANAF，即45EF=1254，求解即可。
11．【答案】30
【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设斜坡的坡角为 α ，则有 tan(α)=i=33 ，
∵tan(30°)=33，∴α=30° ，
故答案为30 ．

【分析】利用解直角三角形直接求解即可。
12．【答案】22
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：作PC⊥AB于点C，

∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/小时的速度出发，
∴∠PAC=30°，AP=4×2=8，
∴PC=AP×sin30°=8× 12 =4．
∵乙货船从B港沿西北方向出发，
∴∠PBC=45°，
∴PB=PC÷ 22 =4 2 ，∴乙货船每小时航行4 2 ÷2=2 2 海里/小时，故答案为2 2 ．
【分析】作PC⊥AB于点C，首先在直角三角形APC中求得PC，然后在直角三角形中求得PB的长，最后除以时间即可得到乙货轮航行的速度．
13．【答案】8
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G．
在Rt△ABF中，AB=12米，∠B=60°，
∴sin∠B= AFAB ，
∴AF=12× 32 =6 3 .
易知四边形AFGD是矩形，
∴DG=AF=6 3 .
在Rt△DGC中，CD=12 3 ，DG=6 3 ，
∴GC= CD2−DG2 =18.
在Rt△DEG中，tanE＝ DGEG = 313 3 ，
∴EG=26，
∴CE=GE-CG=26-18=8．
故答案为8
【分析】分别过A、D作AF⊥BC于点F，DG⊥BC于点G，结合坡度的含义即可得到AF即DG的值，在直角三角形CDG中，根据勾股定理计算得到CG的长度，再根据正切计算得到GE的长度，即可计算得到答案。
14．【答案】12-4 2
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：据题，可得△ABC≌△A1BC1
∴AB=A1B，BC=B1C，∠ABC=∠A1BC1
∵∠ABC=∠A1BA+∠ABC1，∠A1BC1=∠C1BC+∠ABC1
∴∠A1BA=∠C1BC
∴△A1BA∽△C1BC
∵CC1= 35 AA1
∴AB= 35 BC
∴sin∠BAC=sin∠BA1D= 35
在Rt△ABC中，设AB=5x，BC=3x
AB2=AC2+BC2，即(5x)2=162+(3x)2
解方程(5x)2=162+(3x)2，得x1=4，x2=-4(舍)
∴BC=BC1=DC1=12， AC=A1C1=16
过C1作C1Q⊥BC交BC，AN于点Q，点P
设PC1=x，CQ=y
x2+y2=122x+y=16 解得： x=8+22y=8−22 或 x=8−22y=8+22
∴AD=12+4 2 或12-4 2
∵AD