2020-2021学年江苏省江阴二中、要塞中学等四校高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省江阴二中、要塞中学等四校高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．（5分）若集合，0，1，，，2，，则的元素个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（5分）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为　　

A． B．或 C． D．

3．（5分）设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的　　

A．充要条件 B．必要不充分条件 

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）若函数满足，则（3）　　

A． B． C． D．1

5．（5分）有下列四个命题：①，；②，；③，，；④，．其中真命题的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

6．（5分）若，满足，，则的最小值是　　

A． B． C． D．

7．（5分）下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为　　

A． B． C． D．

8．（5分）某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨又经历了3次跌停（每次下降，则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为　　

A．略有亏损 B．略有盈利 

C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有　　

A．， B．所有的正方形都是矩形 

C．， D．至少有一个实数，使

10．（5分）的充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

11．（5分）若，，则下列不等式成立的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最大值为 B．在是增函数 

C．的解集为 D．的解集为，

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．（5分）函数的定义域为　　．

14．（5分）幂函数的图象经过点，则的表达式为　　．

15．（5分）若函数是定义在，上的奇函数，则　　．

16．（5分）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段　　的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（10分）设全集，已知集合，，或．

（1）求，；

（2）若，求的取值范围．

18．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）画出在的图象，并写出函数的减区间；

（2）求函数在上的解析式；

（3）求不等式的解集．

19．（12分）计算或化简下列各式：

（1）；

（2）．

20．（12分）已知函数的图象经过点，．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；

21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

22．（12分）设函数，且是定义域为的奇函数，且（1）．

（1）求，的值；

（2）求函数在，上的值域；

（3）设，若在，上的最小值为，求的值；

（4）对于（3）中函数，如果在，上恒成立，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省江阴二中、要塞中学等四校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．（5分）若集合，0，1，，，2，，则的元素个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】运用集合的交集的定义，即可得到所求集合，进而求解结论．

【解答】解：集合，0，1，，

，2，，

则，0，1，，2，，．

的元素个数为2．

故选：．

【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．

2．（5分）已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为　　

A． B．或 C． D．

【分析】根据图和集合之间的关系进行判断．

【解答】解：由图可知，阴影部分的元素为属于当不属于的元素构成，所以用集合表示为．

则，

则，

故选：．

【点评】本题主要考查图表达 集合的关系和运算，比较基础．

3．（5分）设命题甲为：，命题乙为：，那么甲是乙的　　

A．充要条件 B．必要不充分条件 

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】解绝对值不等式，得：，由“ “是” “的充分不必要条件，得解

【解答】解：解不等式，得：，

又“ “是” “的充分不必要条件，

即命题甲为命题乙的充分不必要条件，

故选：．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法及充分必要条件，属简单题

4．（5分）若函数满足，则（3）　　

A． B． C． D．1

【分析】令可得，然后代入即可求解．

【解答】解：因为，

令可得，

则（3）．

故选：．

【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础试题．

5．（5分）有下列四个命题：①，；②，；③，，；④，．其中真命题的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义，分析判断命题的真假性即可．

【解答】解：对于①，，，是真命题，

因为，所以；

对于②，，，是假命题，

因为时，，；

对于③，，，，是假命题，

由知，所以，；

对于④，，，是假命题，

因为，．

所以真命题的序号是①，共1个．

故选：．

【点评】本题考查了全称量词命题和存在量词命题的真假性判断问题，是基础题．

6．（5分）若，满足，，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【分析】由已知代入后直接利用基本不等式即可求解．

【解答】解：因为，，

则，

当且仅当即，时取等号，

故选：．

【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．

7．（5分）下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．

【解答】解：．的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；

，是偶函数；该选项错误；

，为幂函数，在其定义域上为奇函数，且是增函数，符合题意；

，为反比例函数，在其定义域上为奇函数，但不是增函数，不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性．

8．（5分）某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨又经历了3次跌停（每次下降，则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为　　

A．略有亏损 B．略有盈利 

C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况

【分析】由题意可得：．即可判断出结论．

【解答】解：由题意可得：．

因此该股民这只股票的盈亏情况为：略有亏损．

故选：．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）下列命题的否定中，是全称命题且为真命题的有　　

A．， B．所有的正方形都是矩形 

C．， D．至少有一个实数，使

【分析】直接利用特称命题和全称命题的应用，命题真假的判断求出结果．

【解答】解：由于是命题的否定，所以特称命题的否定为全称命题，全称命题的否定为特称命题．

对于，为特称命题，否定为“对，恒成立”且为真命题．

对于为全称命题，且为真命题，故否定错误．

对于：“，”为特称命题，否定为“对，恒成立”且为真命题．

对于：为特称命题，为真命题，故否定错误．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：特称命题和全称命题的应用，命题真假的判断，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．

10．（5分）的充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】由，根据充分不必要条件的定义，所以符合的充分不必要条件的集合必定是集合的真子集即可．

【解答】解：由，

符合的充分不必要条件的集合必定是集合的真子集，

，，，，，，

是的充分不必要条件，是的充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题考查了指数不等式的解法及把充分不必要条件转化为集合之间的关系，属于基础题．

11．（5分）若，，则下列不等式成立的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据不等的基本性质可判断的真假，取，，，可判断的真假．

【解答】解：，，当时，，故正确；

由可得，故正确；

由，取，，，则可排除．

故选：．

【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．

12．（5分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最大值为 B．在是增函数 

C．的解集为 D．的解集为，

【分析】由偶函数的定义可求得时，的解析式，由二次函数的最值，可判断；由时，的单调区间可判断；讨论，，由二次不等式的解法可判断、．

【解答】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，

可得时，，

当时，，

所以时，取得最大值，故正确；

在上单调递增，在，上单调递减，故正确；

当时，，解得；

当时，，解得，

所以的解集为，，，故错误；

当时，，解得；

当时，，解得．

所以的解集为，，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，解析式的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．（5分）函数的定义域为　，　．

【分析】根据题目所给函数的结构，只需要真数大于零解关于的一元二次不等式即可．

【解答】解：要使函数有意义，须满足，

解得：，

所以函数的定义域为，，

故答案为：，．

【点评】本题考查函数定义域的求解，常考察的有：分式分母不为零；被开方式大于等于零；对数式真数大于零等．

14．（5分）幂函数的图象经过点，则的表达式为　　．

【分析】先设出幂函数的解析式，再由经过点，将点的坐标代入，解得参数，从而求得其解析式．

【解答】解：设幂函数为

幂函数的图象经过点，

，，

，

故答案为：．

【点评】本题主要考查求幂函数的解析式问题，其实质是点在曲线上，则点的坐标适合曲线的方程，应用的是方程思想，属基础题．

15．（5分）若函数是定义在，上的奇函数，则　0　．

【分析】根据是奇函数即可得出，而根据的定义域为，即可得出，从而求出，最后便求出．

【解答】解：是定义在，上的奇函数，

，解得，，

．

故答案为：0．

【点评】考查奇函数的定义，奇函数的定义域的对称性：关于原点对称．

16．（5分）《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段　　的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为　　．

【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．

【解答】解：由题意得：，，

由于，，

所以，

则，故，

解得，

利用直角三角形的边的关系，所以．

当和重合时，，

所以．

故答案为：；

【点评】本题考查了圆的性质、射影定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（10分）设全集，已知集合，，或．

（1）求，；

（2）若，求的取值范围．

【分析】（1）由，，求出与的并集，求出补集与的交集即可；

（2）由与的交集为空集，确定出的范围即可．

【解答】解　（1）（2分），

或（4分），

则（6分），

（2）若，通过数轴观察可知，

即实数的取值范围为，（10分）

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

18．（12分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．

（1）画出在的图象，并写出函数的减区间；

（2）求函数在上的解析式；

（3）求不等式的解集．

【分析】（1）根据函数为奇函数，画出图象即可，

（2）根据题意，设，则，由函数的解析式以及奇偶性分析可得，综合即可得答案；

（3）根据题意，，即或，结合图象可得答案．

【解答】解：（1）图象如图所示：

由图象可得，函数在，上单调递减．

（2）根据题意，设，则，

则，

又由为奇函数，

则；

则；

（3）根据题意，，即或，

结合图象可得或，

不等式的解集为，，．

【点评】本题考查了函数图象的画法，函数的奇偶性，函数的解析式，不等式的解集，属于基础题．

19．（12分）计算或化简下列各式：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用指数的性质、运算法则直接求解．

（2）利用指数的性质、运算法则直接求解．

【解答】解：（1）

．

（2）

．

【点评】本题考查指数式化简求值，考查指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

20．（12分）已知函数的图象经过点，．

（1）求函数的解析式；

（2）判断函数在上的单调性并用定义证明；

【分析】（1）将点、的坐标代入解析式列出方程，求出、的值，即可求出；

（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明．

【解答】解：（1）的图象过、，

，解得，

；

（2）证明：设任意，，且，

，

由，得，，．

由得，，

，即，

函数在上为减函数．

【点评】本题考查了定义法证明函数的单调性，待定系数法求函数的解析式，考查函数单调性的证明，考查方程思想，化简、变形能力．

21．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本，当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

【分析】（1）分两种情况进行研究，当时，投入成本为（万元），根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，当时，投入成本为，根据年利润销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；

（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当时，利用二次函数求最值，当时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．

【解答】解：（1）每件商品售价为0.05万元，

千件商品销售额为万元，

①当时，根据年利润销售收入成本，

；

②当时，根据年利润销售收入成本，

．

综合①②可得，；

（2）①当时，，

当时，取得最大值万元；

②当时，，

当且仅当，即时，取得最大值万元．

综合①②，由于，

年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．

【点评】本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．

22．（12分）设函数，且是定义域为的奇函数，且（1）．

（1）求，的值；

（2）求函数在，上的值域；

（3）设，若在，上的最小值为，求的值；

（4）对于（3）中函数，如果在，上恒成立，求的取值范围．

【分析】（1）根据，（1）．得出，．

（2）根据在，单调递增，求解即可．

（3）换元转化为，，，讨论得出或即求解，或（舍去），

（4）根据不等式恒成立得出或，解不等式得出答案．

【解答】解：（1）函数，且是定义域为的奇函数，

，即，，

（1）．，，

，，

（2）在，单调递增，

（1），

在，上的值域为，，

（3），

设，，，，，

，，，

若在，上的最小值为，

，，，上的最小值为，

或

即，或（舍去），

故

（4），，，

在，上恒成立，

在，上恒成立，

或，

解不等式得出或，

的取值范围为．

【点评】本题综合考查了二次函数在解决单调性，最值，不等式恒成立问题中的应用，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:24:18；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394