2020-2021学年江苏省南京市六校高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市六校高一（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市六校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“，”的否定为　　A．， B．不存在， C．， D．，2．（5分）设集合，，，，则　　A． B． C．， D．，0，3．（5分）设函数，则　　A．1 B． C．2 D．44．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　A． B． C． D．5．（5分）“”是“”的　　A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件6．（5分）已知，且，则的最小值为　　A． B． C．6 D．87．（5分）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的31次方是个35位数，那么根据，取常用对数得可得到，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是　　235679111213140.300.480.700.780.850.951.041.081.111.18A．5 B．6 C．7 D．88．（5分）关于的不等式对任意的恒成立，则的取值范围是　　A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分.9．（5分）下列命题正确的有　　A．， B．是函数为偶函数的充要条件 C． D．是的必要条件10．（5分）若，则下列不等式中恒成立的有　　A． B． C． D．11．（5分）下列不等式恒成立的有　　A． B． C． D．12．（5分）已知，则下列说法正确的有　　A．奇函数 B．的值域是， C．的递增区间是， D．的值域是，，三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）计算的值是　　．14．（5分）已知函数，，，且，则（2）的值是　　．15．（5分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是　　．16．（5分）设集合，中的最大、最小元素分别为、，则的值是　　，当取最小元素时的值是　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合，．（1）当时，设全集，则；（2）若，则实数取值范围．18．（12分）设正实数，满足．（1）求的最小值，并指出最小值时相应的，的值；（2）求的最小值，并指出取得最小值时相应的，的值．19．（12分）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元件）分别近似地满足下列关系：，，其中，当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值，并求出最大值．20．（12分）已知关于的不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若函数的零点是和，求不等式的解集；（3）直接写出关于的不等式的解集．21．（12分）已知函数，且单调递增区间是，．（1）若对任意实数都成立，求，的值．（2）若在区间，上有最小值，求实数的值．（3）若，对任意的，，，总有，求实数的取值范围．22．（12分）已知函数，．（1）当时，求函数，的最大值；（2）令，求证：对任意给定的实数，存在唯一的实数使得成立的充要条件是．
2020-2021学年江苏省南京市六校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“，”的否定为　　A．， B．不存在， C．， D．，【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定为，．故选：．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）设集合，，，，则　　A． B． C．， D．，0，【分析】进行并集的运算即可．【解答】解：，，，，，0，．故选：．【点评】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）设函数，则　　A．1 B． C．2 D．4【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．【解答】解：函数，，则．故选：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．4．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是　　A． B． C． D．【分析】利用函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】解：对于，函数为奇函数，在，上单调递增，故不符合题意；对于，函数为奇函数，在定义域上为减函数，符合题意；对于，函数为偶函数，不符合题意；对于，函数为奇函数，且在定义域上为增函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的判断，属于基础题．5．（5分）“”是“”的　　A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【分析】直接利用充要条件的判断方法判断充要条件即可．【解答】解：因为，但是不能说一定为0，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查逻辑推理能力．6．（5分）已知，且，则的最小值为　　A． B． C．6 D．8【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为，且，则，当且仅当即，时取等号，故选：．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．7．（5分）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数的31次方是个35位数，那么根据，取常用对数得可得到，由对数表可知这个数是13，已知某个正整数的57次方是个45位数，则该正整数是　　235679111213140.300.480.700.780.850.951.041.081.111.18A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根据题意可得设这个数为，则，即可求出，即可求出．【解答】解：某个正整数的57次方是个45位数，设这个数为，则，则，则，，故选：．【点评】本题考查了归纳推理问题，关键是找到规律，属于基础题．8．（5分）关于的不等式对任意的恒成立，则的取值范围是　　A． B． C． D．【分析】令，得到对任意的恒成立，利用参数分离法求出的取值范围．【解答】解：关于的不等式对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，则对任意的恒成立，也即对任意的恒成立，所以只需，所以，即．故选：．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用换元法和基本不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分.9．（5分）下列命题正确的有　　A．， B．是函数为偶函数的充要条件 C． D．是的必要条件【分析】利用方程的解是否存在小于0的解，判断；“”与函数是偶函数的关系，判断；利用无理式的几何意义可得；利用充要条件判断．【解答】解：对于，，解得，所以，，所以正确；对于，“”时，函数函数，“函数是偶函数时，由得到，故正确．，所以；不正确，及不正确．可得，反之不成立，所以不正确．故选：．【点评】本题考查命题的真假的判断，涉及函数的零点，函数的奇偶性的判断，不等式的解法以及充要条件的判断，是基本知识的考查．10．（5分）若，则下列不等式中恒成立的有　　A． B． C． D．【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．【解答】解：对于，，故正确；对于，，故，故正确；对于：若，则错误；对于，故正确；故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．11．（5分）下列不等式恒成立的有　　A． B． C． D．【分析】取特殊值判断，作差法判断．【解答】解：对于；令．，显然错误；对于，故正确；对于，故正确；对于，故正确；故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法以及作差法的应用，是一道基础题．12．（5分）已知，则下列说法正确的有　　A．奇函数 B．的值域是， C．的递增区间是， D．的值域是，，【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于，，其定义域为，有，为奇函数，正确；对于，，变形可得，则有△，解可得，即函数的值域为，，正确，对于，，其导数，若，解可得，即的递增区间为，，正确，对于，由选项的结论，错误，故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）计算的值是　　．【分析】进行对数的运算即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）已知函数，，，且，则（2）的值是　5　．【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得（2），结合（2）的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数，则（2），，则有（2），又由，则（2），故答案为：5．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．15．（5分）已知定义在上的奇函数在，上是减函数，若，则实数的取值范围是　，　．【分析】根据奇函数的性质可知在上是减函数，根据奇偶性和单调性可将不等式转化为，故而可得的范围．【解答】解：是奇函数，在，上是减函数，在上单调递减，，，即，，解得．故答案为：，．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于基础题．16．（5分）设集合，中的最大、最小元素分别为、，则的值是　　，当取最小元素时的值是　　．【分析】根据不等式的性质求出最小值，取最小值为1，取最大值为2，结合基本不等式，即可求出答案．【解答】解：，取最小值为1，取最大值为2．所以最大值，又，当且仅当时，取到等号，即时，有最小值，所以，当取最小元素时的值是．故答案为：，．【点评】本题考查了集合的问题与不等式相结合．属于基础题四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合，．（1）当时，设全集，则；（2）若，则实数取值范围．【分析】（1）可求出，时，可求出集合，然后进行补集和交集的运算即可；（2）根据可得出或，然后解出的范围即可．【解答】解：（1），时，，，或，；（2），，或，解得，或，实数的取值范围为，或．【点评】本题考查了描述法的定义，交集和补集的运算，全集的定义，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18．（12分）设正实数，满足．（1）求的最小值，并指出最小值时相应的，的值；（2）求的最小值，并指出取得最小值时相应的，的值．【分析】（1）因为，是正实数，根据基本不等式得，解出的取值范围，当且仅当时取等号；（2）因，是正实数，根据1的代换，利用基本不等式得，求得最小值即可．【解答】解：（1）因为，是正实数，则，即，当且仅当时取等号，由，，所以的最小值是8，，．（2）因，是正实数，则，当且仅当时取等号，所以的最小值是9，此时．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，用解不等式法，或者用1的代换是求解条件配凑的关键，属于基础题．19．（12分）某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元件）分别近似地满足下列关系：，，其中，当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量．（2）若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值，并求出最大值．【分析】（1）令求得值，得到的值，则答案可求；（2）由题意，，得到，然后分段求最大值，取最大值中的最大者得结论．【解答】解：（1）令，得，解得，此时，答：平衡价格是30元，平衡需求量是50万件；（2）由题意，，故．当时，，可得时，；当时，，即时，，综上所述，当时，时，．答：市场价格取40元时，市场销售额取得最大值，最大值为1600万元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求二次函数的最值，是中档题．20．（12分）已知关于的不等式的解集是．（1）若，求的取值范围；（2）若函数的零点是和，求不等式的解集；（3）直接写出关于的不等式的解集．【分析】（1）把代入不等式，求关于的不等式解集即可；（2）利用函数零点是对应方程的根求出的值，代入不等式求解集即可；（3）讨论的取值，求出对应不等式的解集即可．【解答】解：（1）若，则不等式化为，解得，所以的取值范围是，；（2）若函数的零点是和，所以方程的两根是和，由根与系数的关系得，解得；所以不等式化为，解得，或；所以所求不等式的解集为，，；（3）时，不等式为恒成立，不等式的解集为；时，不等式化为，且，所以不等式的解集为，；时，不等式化为，且，所以不等式的解集为，；综上知，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为，；时，不等式的解集为，．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程和函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数，且单调递增区间是，．（1）若对任意实数都成立，求，的值．（2）若在区间，上有最小值，求实数的值．（3）若，对任意的，，，总有，求实数的取值范围．【分析】（1）由题意可得为的对称轴，即有，由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，解不等式可得，的值；（2）讨论对称轴和区间的关系，结合函数的单调性可得最小值，解方程可得所求值；（3）由题意可得，对，，，分别求得的最值，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）的单调递增区间是，，可得为的对称轴，则，即，对任意的都成立，则△，即，但，故，（2）的对称轴为，①若，则在，递减，在，递增，（b），即，解得，则，②若，则在，递减，则（1），即，综上可得，或；（3）由题意可得，对，，，当时，，，，（b），则，可得，则，即的取值范围是，．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，以及二次函数的最值求法、二次不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．22．（12分）已知函数，．（1）当时，求函数，的最大值；（2）令，求证：对任意给定的实数，存在唯一的实数使得成立的充要条件是．【分析】（1）当时，把，的解析式代入，换元后利用基本不等式求最值；（2）充分性：证明分段函数在，上单调递增，且，在，上单调递减，且，及即可；必要性：分别求出分段函数的解集，再由单调性及集合间的关系求得的范围，取交集求得值．【解答】解：（1）当时，，，令，则，此时，由，得，当且仅当，即时取等号，综上，当时，最大值为；证明：（2）充分性：当时，，，当时，在，上单调递增，且，当时，在，上单调递减，且，若，则存在唯一的，使得，同理也成立；必要性：当时，，当时，，不符合题意，因此．时，的取值集合，时，的取值集合．①若，且在上单调递增，要使，则，且，有；若，且在上单调递减，要使，则，且，有．综上，．故对任意给定的实数，存在唯一的实数使得成立的充要条件是．【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，考查充分必要条件的证明，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 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