2020-2021学年江苏省南通市海门中学高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市海门中学高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，，，则等于　　

A． B． C．，1， D．

2．（5分）已知命题，，则为　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）若，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）计算的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

5．（5分）已知，，且，则的最小值为　　

A． B． C．5 D．9

6．（5分）已知函数在，上的最大值为，则的取值范围是　　

A．， B．， 

C．， D．，，

7．（5分）设，则函数，的单调增区间为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知定义在上的奇函数，当时，，若对任意实数有成立，则正数的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是　　

A．函数在上不具有单调性 

B．当时，在上递减 

C．若的单调递减区间是，，则的值为 

D．若在区间上是减函数，则的取值范围是

10．（5分）下列各小题中，最大值是的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足　　

A． B．是奇函数 

C．在，上有最大值 D．的解集为

12．（5分）对于定义域为的函数，若同时满足下条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，，使在，上的值域为，，那么把称为闭函数．下列结论正确的是　　

A．函数是闭函数 

B．函数是闭函数 

C．函数是闭函数 

D．函数，是闭函数

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．（5分）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是　　．

14．（5分）设，，若，则的最小值为　　．

15．（5分）已知实数，，，满足，，，，则　　．

16．（5分）设函数，若是的最大值，则的取值范围为　　．

四、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（1）求值：；

（2）已知，求．

18．已知集合，，．

（1）求集合、；

（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

19．已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定函数的解析式．

（2）用定义证明在上是增函数．

（3）解不等式．

20．设．

（1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式．

21．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）

（1）分别求出、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？

22．已知函数．

（1）若时，，求的值；

（2）若时，函数的定义域与值域均为，，求所有，值．

2020-2021学年江苏省南通市海门中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．（5分）已知集合，，，则等于　　

A． B． C．，1， D．

【分析】找出集合中范围中的整数解，确定出集合，再由集合，找出两集合的公共元素，即可确定出两集合的交集．

【解答】解：由集合中的，得到范围中的整数有0，1，2，共3个，

集合，1，，又，，

则．

故选：．

【点评】此题考查了交集及其运算，是一道基本题型，其中根据题意确定出集合是解本题的关键．

2．（5分）已知命题，，则为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，，则为：，．

故选：．

【点评】本题考查特称命题与全称命题的否定关系的应用，基本知识的考查．

3．（5分）若，，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果

【解答】解：，，，

，，即，

若，，则，

但，

即推不出，

是的充分不必要条件

故选：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．

4．（5分）计算的值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】利用对数的运算性质求解．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．

5．（5分）已知，，且，则的最小值为　　

A． B． C．5 D．9

【分析】根据条件将用表示后代入中，得到，然后利用基本不等式求出最小值．

【解答】解：，，且，则，

，，

，

当且仅当，即时取等号．

的最小值为．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属中档题．

6．（5分）已知函数在，上的最大值为，则的取值范围是　　

A．， B．， 

C．， D．，，

【分析】本题先画出函数大致图象，然后根据图象对进行分类谈论，即可得到的取值范围．

【解答】解：由题意，函数大致图象如下：

根据题意及图，可知

当时，．

令，解得，

则当时，（1）．

．当时，．

满足题意的的取值范围为：，，．

故选：．

【点评】本题主要考查函数最值的问题，考查了数形结合法和分类讨论思想的应用．本题属中档题．

7．（5分）设，则函数，的单调增区间为　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意得到函数解析式，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：由得，解得或，

当或，，，此时函数的递增区间为，，

当，，，此时函数的递增区间为，，

综上函数的递增区间为，，，，

故选：．

【点评】本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，求出函数的表达式是解决本题的关键，属于中档题

8．（5分）已知定义在上的奇函数，当时，，若对任意实数有成立，则正数的取值范围为　　

A． B． C． D．

【分析】此题是一道选择题，因此可以采用数形结合的方法解决，“对任意的，恒有”也就相当于在实数集上，的图象恒在的图象下方，据此列出关于的不等式解出来即可

【解答】解：当时，做出函数的图象，因为，且该函数图象过原点，关于对称，顶点为，，结合该函数还是奇函数，作出图象如下：

而函数的图象是将像右平移个单位得到的，要使任意的，恒有，只需的图象恒在的图象下方或部分重合，

所以只需与轴最右边的交点在在与轴最右边交点的右边或重合”．

因此应该有，即，解得．

故选：．

【点评】这道题是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，因为问题相对复杂，因此借助于数形结合，使得问题变得简单明了，注意此法适合于选择、填空题．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9．（5分）已知函数，下列关于函数的单调性说法正确的是　　

A．函数在上不具有单调性 

B．当时，在上递减 

C．若的单调递减区间是，，则的值为 

D．若在区间上是减函数，则的取值范围是

【分析】取，即可判断选项；当时，求出函数的单调递减区间即可判断选项；由题意可得，且，即可判断选项；由题意分和两种情况讨论，列出关于的不等式，求得的取值范围，即可判断选项．

【解答】解：对于，当时，在上单调递减，故错误；

对于，当时，，对称轴为，单调递减区间为，故正确；

对于，若的单调递减区间是，，则，且，无解，故错误；

对于，当时，满足在区间上是减函数；

当，若在区间上是减函数，则且，解得，

所以若在区间上是减函数，则的取值范围是，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的单调性的性质和判断，属于中档题．

10．（5分）下列各小题中，最大值是的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．

【解答】解：．没有最大值；

．，，，当且仅当时取等号．

．时，．时，，当且仅当时取等号．

．，，当且仅当时取等号．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力 与计算能力，属于基础题．

11．（5分）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足　　

A． B．是奇函数 

C．在，上有最大值 D．的解集为

【分析】令，则可得；令，可得，故函数为奇函数；运用定义法及结合已知条件，可得函数为上的减函数，则在，上的最大值为，等价于，由此得出正确选项．

【解答】解：令，则，故，选项正确；

令，则，则，即，故函数为奇函数，选项正确；

设，则，由题意可得，，即，

即，故函数为上的减函数，

在，上的最大值为，选项错误；

等价于，又为上的减函数，故，解得，选项正确．

故选：．

【点评】本题考查抽象函数的单调性及奇偶性，考查赋值法的运用及转化能力，是常规题目．

12．（5分）对于定义域为的函数，若同时满足下条件：①在内单调递增或单调递减；②存在区间，，使在，上的值域为，，那么把称为闭函数．下列结论正确的是　　

A．函数是闭函数 

B．函数是闭函数 

C．函数是闭函数 

D．函数，是闭函数

【分析】对于，函数是在上单调递增的一次函数，对于，函数在上不单调，所以错误，对于，函数是在，上单调递增的函数，再根据新定义求区间，对于，函数是单调递减函数，再根据新定义求区间是否存在即可．

【解答】解：选项：因为是上的单调递增的一次函数，且在上任意子区间都满足新定义，所以正确；

选项：若函数是闭函数，则可设，，，，假设函数递增，则，显然无解，

若递减，则，解得显然不成立，所以错误；

选项：函数是开口向下的二次函数，且在区间，上是单调递增的函数，令，

若是闭函数，则一定有，即，解得满足新定义的闭区间是，，此时，，所以正确；

选项：函数在上单调递减，若满足新定义则有，即，解得，又，所以不存在区间满足新定义，所以错误，

故选：．

【点评】本题考查了函数的单调性以及闭区间求值域问题，考查了学生对新定义的理解能力，属于基础题．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．（5分）已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是　，　．

【分析】解出不等式，设其解集为．，设．根据是的必要不充分条件，可得．即可得出．

【解答】解：，解得：，设．

，设．

若是的必要不充分条件，．

，且等号不能同时成立．

解得：．

则实数的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14．（5分）设，，若，则的最小值为　16　．

【分析】由已知可得，然后利用基本不等式可求．

【解答】解：因为，，，

则，

当且仅当且即，时取等号，

故答案为：16．

【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．

15．（5分）已知实数，，，满足，，，，则　4　．

【分析】把指数式化为对数式求得、、、的值，再利用对数换底公式，求得的值．

【解答】解：实数，，，满足，，，，

，，，，

，

故答案为：4．

【点评】本题主要考查对数的定义、对数换底公式的应用，属于基础题．

16．（5分）设函数，若是的最大值，则的取值范围为　，　．

【分析】先由题意可得，则可画出函数满足题意的图象，利用数形结合即可求解．

【解答】解：由题意可得，则符合题意的函数的图象如图所示：

由数形结合可得：△，

解得，

故答案为：，．

【点评】本题考查了函数的最值问题，考查了数形结合思想，属于基础题．

四、解答题（本大题共有6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17．（1）求值：；

（2）已知，求．

【分析】（1）利用对数的运算性质求解．

（2）利用完全平方公式由已知条件求出的值，再利用立方和公式即可求出结果．

【解答】解：（1）原式．

（2），

，

又，所以，

．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了数学公式的应用，是基础题．

18．已知集合，，．

（1）求集合、；

（2）若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）由，利用一元二次不等式的解法即可得出集合．由，得，．根据时，，即可得出解集，可得集合．

（2）由是成立的充分不必要条件，可得，是，的真子集，进而得出实数的取值范围．

【解答】解（1）由，得．故集合

由，得，．

当时，，由得，

故集合．

（2）是成立的充分不必要条件，所以，是，的真子集，

则有，

解得，

又当时，，，，不合题意，所以实数的取值范围为．

【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、集合与元素之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19．已知函数是定义在上的奇函数，且．

（1）确定函数的解析式．

（2）用定义证明在上是增函数．

（3）解不等式．

【分析】（1）由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式；

（2）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；

（3）运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，

得到不等式组，解出即可．

【解答】（1）解：函数是定义在上的奇函数，

则，即有，

且，则，解得，，

则函数的解析式：；

（2）证明：设，则

，由于，则，，即，

，则有，

则在上是增函数；

（3）解：由于奇函数在上是增函数，

则不等式即为，

即有，解得，

则有，

即解集为．

【点评】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．

20．设．

（1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；

（2）解关于的不等式．

【分析】（1）由已知可得，对于一切实数恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论进行求解

（2）由已知可得，，结合二次不等式的求解可求．

【解答】解：（1）对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立，

当时，不等式可化为，不满足题意；

当时，即，

解得：；

（2）不等式等价于

当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，此时，

所以不等式的解集为；

当时，不等式可化为，

①当时，，不等式的解集为；

②当时，，不等式的解集为或；

③当时，，不等式的解集为或．

【点评】本题主要考查了二次不等式与二次函数性质的相互转化，及二次不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用．

21．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产、两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）

（1）分别求出、两种产品的利润表示为投资的函数关系式；

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入、两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？

【分析】（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，由题设，，代入已知点的坐标分别求得，的值，则函数解析式可求；

（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，则，整理后再由换元法及配方法求最值．

【解答】解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，

由题设，，

由图知（2），，故，

又（4），，故．

从而，；

（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元，

则，

令，则．

当时，，此时．

故产品投入6万元，则产品投入4万元时，企业获得最大利润，最大利润是7万元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查利用待定系数法求函数解析式，训练了利用换元法及配方法求最值，是中档题．

22．已知函数．

（1）若时，，求的值；

（2）若时，函数的定义域与值域均为，，求所有，值．

【分析】（1）时，，，，进而求解；

（2）由题意，在，上单调递减，在，单调递增，继而分类讨论，进而求解．

【解答】解：（1）时，，

，

；

（2）由题意，在，上单调递减，在，单调递增，

①，则，，解得（舍

②，则（1），，，，，

③，则，，无解．

综上，．

【点评】考查含有绝对值等式的理解，分段函数的处理，分类讨论的思想，函数的最值．

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日期：2021/2/23 14:16:46；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394