2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题，，则是　　A．， B．， C．， D．，2．（5分）函数的定义域是　　A．， B． C．，， D．，，3．（5分）已知命题，，则是的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数过点，则　　A． B．3 C． D．25．（5分）若实数，满足，则的最大值为　　A．1 B． C． D．6．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　A． B． C． D．7．（5分）函数的单调减区间为　　A．， B．， C．， D．，8．（5分）如图，正方形的边长为2，动点从开始沿的方向以2个单位长秒的速度运动到点停止，同时动点从点开始沿边以1个单位长秒的速度运动到点停止，则的面积与运动时间（秒之间的函数图象大致形状是　　A． B． C． D．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是　　A． B． C．若，则 D．10．（5分）若，，，，则下列不等式正确的是　　A． B． C． D．11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有　　A．若，，故时，的最大值是 B．当时，，当且仅当取等，解得或2．又由，所以取，故时，原式的最小值为 C．由于，故的最小值为2 D．当，，且时，由于，，又，故当，，且时，的最小值为412．（5分）已知符号函数，下列说法正确的是　　A．函数是奇函数 B．对任意的， C．函数的值域为 D．对任意的，三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数，且，则的值域是　　．14．（5分）设，，，则，，的大小顺序为　　．15．（5分）若对于任意实数都有，则　　．16．（5分）已知二次函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围是　　．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合，集合，．（1）若时，求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．已知定义在的函数满足：，且．（1）求函数的解析式；（2）证明：在上是增函数．19．已知，．（1）分别求和；（2）若，且，求．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数，，满足：①对任意实数，都有；②当时，有成立．（1）求证：（2）；（2）若，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数，，有恒成立，求实数的取值范围．22．（12分）设函数且是定义域为的奇函数．（1）求的值；（2）若（1），求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在，上的最大值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题，，则是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题【解答】解：由题意，，的否定是，故选：．【点评】本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可．2．（5分）函数的定义域是　　A．， B． C．，， D．，，【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，函数的定义域是，，．故选：．【点评】本题的考点是求函数的定义域，即根据偶次被开方数大于等于零，分母不为零，对数的真数大于零等等，列出不等式求出它们的解集的交集即可．3．（5分）已知命题，，则是的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由，解得：，则是的必要不充分条件，故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．4．（5分）幂函数过点，则　　A． B．3 C． D．2【分析】根据幂函数的定义求出，由函数图象过点求出，再计算．【解答】解：幂函数中，，由函数图象过点，所以，解得；所以．故选：．【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．5．（5分）若实数，满足，则的最大值为　　A．1 B． C． D．【分析】根据，即可求出最大值．【解答】解：实数，满足，，，当，时取等号，故选：．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查了运算和转化能力，属于基础题．6．（5分）若关于的不等式的解集为，则的解集是　　A． B． C． D．【分析】由题意知，是方程的根，且，推出，再代入，解之即可．【解答】解：由题意知，是方程的根，且，所以，所以不等式可化为，解得，故选：．【点评】本题考查一元一次不等式的解法，灵活运用不等式的逆向思维是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7．（5分）函数的单调减区间为　　A．， B．， C．， D．，【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数的减区间，可得函数的单调减区间．【解答】解：由，得，解得，函数的定义域为，，令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，则函数在，上是减函数，开方不改变单调性，又是增函数，函数的单调减区间为，．故选：．【点评】本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键，是中档题．8．（5分）如图，正方形的边长为2，动点从开始沿的方向以2个单位长秒的速度运动到点停止，同时动点从点开始沿边以1个单位长秒的速度运动到点停止，则的面积与运动时间（秒之间的函数图象大致形状是　　A． B． C． D．【分析】点在线段上时，，，．点在线段上时，，，．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．【解答】解：点在线段上时，，，．点在线段上时，，，．利用一次函数与二次函数的单调性可知：正确．故选：．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性、分段函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于基础题．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是　　A． B． C．若，则 D．【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．【解答】解：，所以正确；，满足对数的运算法则，所以正确；若，则，所以不正确；，无意义，所以不正确；故选：．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，命题的真假的判断，是基础题．10．（5分）若，，，，则下列不等式正确的是　　A． B． C． D．【分析】取特殊值判断，，根据不等式的基本性质判断，即可．【解答】解：取，，，显然，错误；对于，故，，正确，故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道常规题．11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有　　A．若，，故时，的最大值是 B．当时，，当且仅当取等，解得或2．又由，所以取，故时，原式的最小值为 C．由于，故的最小值为2 D．当，，且时，由于，，又，故当，，且时，的最小值为4【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．【解答】解：对于，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即的运算方法正确；对于，当时，，当且仅当，即时，等号成立，即的运算方法错误；对于，取等的条件是，即，显然均不成立，即的运算方法错误；对于，第一次使用基本不等式的取等条件为，而第二次使用基本不等式的取等条件为，两者不能同时成立，即的运算方法错误．故选：．【点评】本题考查利用基本不等式处理最值问题，理解“一正二定三相等”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．12．（5分）已知符号函数，下列说法正确的是　　A．函数是奇函数 B．对任意的， C．函数的值域为 D．对任意的，【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．【解答】解：符号函数，显然函数是奇函数，所以正确；因为：，所以，对任意的，，所以正确；函数的值域为，所以不正确；对任意的，，所以正确；故选：．【点评】本题考查命题的真假的判断，函数的简单性质的应用，是基础题．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数，且，则的值域是　，0，　．【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．【解答】解：函数，且所以，，0，1；对应的函数值分别为：0，，0，3；所以函数的值域为：，0，故答案为：，0，．【点评】本题考查函数的定义域以及函数的值域的求法，注意定义域是易错点．14．（5分）设，，，则，，的大小顺序为　　．【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．【解答】解：，，，则，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了不等式的大小比较，考查了运算能力，属于基础题．15．（5分）若对于任意实数都有，则　3　．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令可得：（2），令可得：（2），联立两个式子分析可得答案．【解答】解：根据题意，对于任意实数都有，令可得：（2），①令可得：（2），②，联立①②解可得：；故答案为：3【点评】本题考查函数值的计算，注意特殊值的应用，属于基础题．16．（5分）已知二次函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围是　，　．【分析】不妨设，由条件可得，构造新函数，显然在，上单调递增，再对分情况讨论，利用的单调性即可求出的取值范围．【解答】解：不妨设，，，即，令，在，上单调递增，①当时，，显然不成立，②当时，则，解得，综上所述，实数的取值范围是：，，故答案为，．【点评】本题主要考查了二次函数的单调性，构造新函数是本题的解题关键，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合，集合，．（1）若时，求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【分析】（1）时，可得，利用补集交集运算可得．（2）由“”是“”的充分不必要条件，可得，进而即可得出实数的取值范围．【解答】解：（1）时，，解得，即，，则，，，，，（2）“”是“”的充分不必要条件，，由可得，当时，解得，即，，，当时，解集为，即，此时不满足当时，解得，即，此时不满足，实数的取值范围是，．【点评】本题考查了不等式的解法、集合运算性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18．已知定义在的函数满足：，且．（1）求函数的解析式；（2）证明：在上是增函数．【分析】（1）根据题意，由可得的值，进而由计算可得的值，即可得函数的解析式；（2）任取，，且，用作差法证明即可得结论．【解答】解：（1）根据题意，对于函数，由，即，即；则，又，所以；则．（2）证明：任取，，且，则；又，，从而，即；故在上是增函数．【点评】本题考查函数解析式的求法与函数单调性的证明，关键是求出函数的解析式．19．已知，．（1）分别求和；（2）若，且，求．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．（2）先把指数式化为对数式得到，，代入，即可求出的值．【解答】解：（1），．即，．（2），，，，，．【点评】本题主要考查了对数的运算性质，考查了指数式与对数式的互化，是基础题．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）设的长为米，，表达米和，要使矩形的面积大于50平方米，解不等式即可得的长的范围；（2）利用基本不等式可得当且仅当：，即：时，矩形花坛的面积取得最小值48．【解答】解：（1）设的长为米，则米．，，，由矩形的面积大于50，得：，又，得：，解得：或，即：长的取值范围是：，，．（2）矩形花坛的面积为，，当且仅当：，即：时，矩形花坛的面积取得最小值48．故的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长的范围：，，；（2）当的长为4米时，矩形的面积最小，最小值为48平方米．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础21．（12分）已知二次函数，，满足：①对任意实数，都有；②当时，有成立．（1）求证：（2）；（2）若，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数，，有恒成立，求实数的取值范围．【分析】（1）根据题意可知：（2），由此确定（2）；（2）根据恒成立，利用判别式恒成立、结合（2）可求出的值，最后结合，即可求出系数，的值；（3）根据，分离参数，再利用基本不等式即可求出的范围．【解答】解：（1）由题意得（2），所以（2）．（2）结合（1）知（2），由恒成立得恒成立，故，将③代入②得，故④．又⑤，联立③④⑤解得．所以．（3）由，，且恒成立可得：，时，恒成立，此时；时，原式化为：恒成立，因为，当且仅当时取等号．故此时．综合可知的取值范围为．【点评】本题考查二次函数的性质以及不等式恒成立问题的解题思路．属于中档题．22．（12分）设函数且是定义域为的奇函数．（1）求的值；（2）若（1），求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；（3）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在，上的最大值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据为上的奇函数，可得，然后求出的值，再检验得到的值是否符合题意；（2）先根据（1），求出的范围，然后利用定义法判断的单调性，再根据对一切恒成立，得到关于的不等式，进一步求出的范围；（3）根据函数的图象过点，求出，令，根据是单调递增函数，得到的范围，然后得到，再求出的值即可．【解答】解：（1）是奇函数，，，解得．当时，，，是奇函数，满足题意，．（2），（1），，又，，设，，，则，，，，，又．，是单调递增函数．，恒成立，即恒成立，△，，的取值范围为．（3）函数的图象过点，，解得，设，由（2）知是单调递增函数，当，时，，，，，其最大值为，也即有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取只可能是以下三种情况：①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，而，也即最小值，不合题意舍去．②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，而，也即最大值，符合．③，解得，此时对称轴为，不在区间上，最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，．【点评】本题考查了利用函数的奇偶性求参数的值，利用定义判断函数的单调性，不等式恒成立问题和函数最值得求法，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 14:19:02；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394