2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，，则等于　　

A． B． C． D．

2．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）已知若，则实数的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

4．（5分）下列各图中，可表示函数图象的是　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）已知，，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）下列命题正确的是　　

A．函数的最小值是2 

B．若，且，则 

C． 的最小值是2 

D．函数的最小值为

7．（5分）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　

A． B． C． D．

8．（5分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间（单位：分）后的温度是，则，其中称为环境温度，为比例系数．现有一杯的热水，放在的房间中，10分钟后变为的温水，那么这杯水从降温到时需要的时间为　　

A．8分钟 B．6分钟 C．5分钟 D．3分钟

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．（5分）已知集合，集合中有两个元素，且满足，1，，则集合可以是　　

A．， B．， C．， D．，

10．（5分）小王同学想用一段长为的细铁丝围成一个面积为的矩形边框，则下列四组数对中，可作为数对的有　　

A． B． C． D．

11．（5分）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上任意，，当时，恒有，则称函数为“函数”．下列函数中的“函数”有　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）下列关于函数，下列说法正确的是　　

A．为偶函数 

B．的值域为， 

C．在上单调递减 

D．不等式的解集为，，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若，则的值为　　．

14．（5分）函数的定义域为　　．

15．（5分）已知非空集合，若对于任意，都有，则称集合具有“反射性”．则在集合，2，4，的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为　　．

16．（5分）李老师在黑板上写下一个等式，请同学们在两个括号内分别填写两个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”．小明同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字　　．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求出所有满足条件的集合．

问题：已知全集，1，2，，，非空集合是的真子集，且_____．

18．（12分）（1）计算：；

（2）已知，求的值．

19．（12分）设全集，集合，非空集合，其中．

（1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围；

（2）若命题“，”是真命题，求的取值范围．

20．（12分）已知偶函数定义域为，当时，．

（1）求函数的表达式；

（2）用函数单调性的定义证明：函数在区间，单调递减，并解不等式（2）．

21．（12分）某县经济开发区一电子厂生产一种学习机，该厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该学习机的年销售量（即该厂的年产量）万台与年促销费用万元满足为常数），如果不搞促销活动，则该学习机的年销售量只能是2万台．已知2020年生产该学习机的固定投入为8万元．每生产1万台该产品需要再投入16万元，厂家将每台学习机的销售价格定为每台产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）

（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

22．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的值域；

（2）解关于的不等式；

（3）若对于任意的，，均成立，求的取值范围．

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，，则等于　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，直接求出即可

【解答】解：集合，，

所以，

故选：．

【点评】此题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，基础题．

2．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】解：命题为全称命题，则命题“，”的否定为，，

故选：．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

3．（5分）已知若，则实数的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

【分析】把代入分段函数，将得出的结果再次代入分段函数，即可列出关于的等式，求解即可．

【解答】解：

，

，

故选：．

【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．

4．（5分）下列各图中，可表示函数图象的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用函数是特殊的映射即可判断选项是否正确．

【解答】解：由函数是特殊的映射可得错误，正确，

故选：．

【点评】本题考查了映射的定义，考查了学生的转化能力，属于基础题．

5．（5分）已知，，则是的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】可以根据充要条件的定义进行判断，和中一个作为条件，另一个作为结论，进行推算即可．

【解答】解：，，显然，不一定有，但是，

所以是的必要不充分条件．

故选：．

【点评】判断充要条件的方法是：

①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；

②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；

③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；

④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．

⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系．

6．（5分）下列命题正确的是　　

A．函数的最小值是2 

B．若，且，则 

C． 的最小值是2 

D．函数的最小值为

【分析】利用基本不等式，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．

【解答】解：对于，当时，函数的最小值是2；

当时，函数的最大值是；所以选项错误．

对于，当，且时，，，

所以，当且仅当时取“”；选项正确．

对于，因为，所以的最小值是，

当且仅当时取得最小值；选项错误．

对于，函数，

当且仅当时取“”，所以函数的最大值为；选项错误．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了命题真假的判断问题，是基础题．

7．（5分）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意确定，且，可得，即，由此求得的范围．

【解答】解：关于的不等式的解集为，

，且．

则关于的不等式，两边同时除以，可得，

即，求得，

故选：．

【点评】本题主要考查一次不等式、分式不等式、二次不等式的解法，属于中档题．

8．（5分）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，经过一定时间（单位：分）后的温度是，则，其中称为环境温度，为比例系数．现有一杯的热水，放在的房间中，10分钟后变为的温水，那么这杯水从降温到时需要的时间为　　

A．8分钟 B．6分钟 C．5分钟 D．3分钟

【分析】由已知列式求得，进一步利用已知条件列式求得所需时间得答案．

【解答】解：设物体的初始温度是，经过一定时间后的温度是，则，

，，，，

则，，得，

当，，时，

则，即，

，得，即．

这杯水从降温到时需要的时间为5分钟．

故选：．

【点评】本题考查函数与方程的应用，考查计算能力，是基础题．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．

9．（5分）已知集合，集合中有两个元素，且满足，1，，则集合可以是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】可以求出集合，，然后根据条件即可得出集合可能的情况．

【解答】解：，，集合有两个元素，且满足，1，，

集合可以是，或，．

故选：．

【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．

10．（5分）小王同学想用一段长为的细铁丝围成一个面积为的矩形边框，则下列四组数对中，可作为数对的有　　

A． B． C． D．

【分析】由边长为1的正方形可知选项正确，对于选项，，，利于假设法，设矩形的两边长分别为，，由面积和周长列出方程组，若方程组有解，则数对存在，若方程组无解，则数对不存在．

【解答】解：对于选项：用长为4的细铁丝围成一个边长为1的正方形，则正方形的面积，所以数对为，故选项正确，

对于选项：若数对为，则矩形的面积为6，周长为8，

设矩形的两边长分别为，，则，化简得：，

△，

不存在这样数对，

对于选项：若数对为，则矩形的面积为7，周长为12，

设矩形的两边长分别为，，则，化简得：，

△，

存在这样数对，

对于选项：若数对为，则矩形的面积为3，周长为1，

设矩形的两边长分别为，，则，化简得：，

△，

不存在这样数对，

故选：．

【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是中档题．

11．（5分）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上任意，，当时，恒有，则称函数为“函数”．下列函数中的“函数”有　　

A． B． 

C． D．

【分析】直接利用函数的性质奇偶性和函数的单调性的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；即函数为奇函数，

②对于定义域上任意，，当时，恒有，函数为增函数，则称函数为“函数”．

对于：函数，即为奇函数又为增函数，故正确；

对于：函数为偶函数，故错误；

对于：函数即为奇函数又为增函数，故正确；

对于：函数为奇函数，又关于函数在定义域内不为增函数，故错误．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质函数的单调性和奇偶性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

12．（5分）下列关于函数，下列说法正确的是　　

A．为偶函数 

B．的值域为， 

C．在上单调递减 

D．不等式的解集为，，

【分析】直接利用函数的性质的应用判断、的结论，利用不等式的解法的应用判断、的结论．

【解答】解：对于：函数，满足所以函数为偶函数，故正确；

对于：函数设整理得，故，解得，故函数的值域为，．故正确；

对于：函数，所以函数在上单调递减，故正确；

对于，整理得，所以，解得或，故错误；

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，不等式的解法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若，则的值为　2　．

【分析】根据题意，由对数的运算性质可得，变形可得，解可得答案．

【解答】解：根据题意，若，即，

则有，解可得，

故答案为：2．

【点评】本题考查对数的运算性质，关键是掌握对数的计算公式，属于基础题．

14．（5分）函数的定义域为　　．

【分析】令被开方数大于等于0，分母非0，列出不等式，解不等式组，求出的范围，写出区间形式即为函数的定义域．

【解答】解：要使函数有意义，需

解得且

故答案为，，

【点评】求解析式已知的函数的定义域，一般需要从开偶次方根的被开方数大于等于0；分式的分母非0；对数函数的真数大于0且底数大于0且不等于1等方面加以限制，注意定义域的形式是集合或区间．

15．（5分）已知非空集合，若对于任意，都有，则称集合具有“反射性”．则在集合，2，4，的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为　3　．

【分析】利用列举法能求出在集合，2，4，的所有子集中，具有“反射性”的集合个数．

【解答】解：在集合，2，4，的所有子集中，具有“反射性”的集合有：

，，，，2，，

在集合，2，4，的所有子集中，具有“反射性”的集合个数为3．

故答案为：3．

【点评】本题考查集合的子集中具有“反射性”的集合个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

16．（5分）李老师在黑板上写下一个等式，请同学们在两个括号内分别填写两个正数，使得等号成立，哪个同学所填的两个数之和最小，则该同学获得“优胜奖”．小明同学要想确保获得“优胜奖”，他应该在前一个括号内填上数字　4　．

【分析】设第一个括号填，第二个括号填，则，，所以，再利用基本不等式可得到的最小值，以及此时，的值．

【解答】解：设第一个括号填，第二个括号填，则，，

，

，当且仅当即时，等号成立，此时的值最小，

当时，由可得，所以，

他应该在前一个括号内填上数字4．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了基本不等式的应用，是中档题．

四、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．

17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求出所有满足条件的集合．

问题：已知全集，1，2，，，非空集合是的真子集，且_____．

【分析】求出集合，选①，利用并集定义，能列举出集合．

选②，利用子集定义，能列举出集合．

选③，由，能列举出集合．

【解答】解：全集，1，2，，，，

选①，非空集合是的真子集，且，

则，或，1，或，2，．

选②，非空集合是的真子集，且，

则，或，1，或，2，．

选③，非空集合是的真子集，且，

则或或或，．

【点评】本题考查集合的求法，考查交集、并集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．（12分）（1）计算：；

（2）已知，求的值．

【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可；（2）根据，求出和的值，从而求出代数式的值即可．

【解答】解：（1）原式；

（2），

，

，

故

．

【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．

19．（12分）设全集，集合，非空集合，其中．

（1）若“”是“”的必要条件，求的取值范围；

（2）若命题“，”是真命题，求的取值范围．

【分析】（1）解出集合，根据“”是“”的必要条件，故，注意为非空集合，根据子集关系列出不等式，解不等式即可．

（2）根据条件：命题“，”是真命题，可得，根据集合关系列不等式解出即可．

【解答】解：（1），

“”是“”的必要条件，

故，注意为非空集合，

，解得，

故的取值范围是，．

（2）根据条件：命题“，”是真命题，

可得，，解得，

故的取值范围是，．

【点评】本题考查了分式不等式的解法，集合之间的关系，充分必要条件的定义及应用，考查了转化的思想方法，属于中档题．

20．（12分）已知偶函数定义域为，当时，．

（1）求函数的表达式；

（2）用函数单调性的定义证明：函数在区间，单调递减，并解不等式（2）．

【分析】（1）由题意根据函数的奇偶性，求得它的解析式．

（2）由题意利用函数的单调性的定义证得结论；再利用函数的奇偶性和单调性，求得不等式

（2）的解集．

【解答】解：（1）偶函数定义域为，当时，，

设，则，故，．

综上，．

（2）若，则．

设，则，

即，

故函数在区间，单调递减．

再根据偶函数的性质可得，函数在区间上单调递增．

故由不等式（2），可得，求得，

即，故不等式的解集为，．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，求函数的解析式，属于中档题．

21．（12分）某县经济开发区一电子厂生产一种学习机，该厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该学习机的年销售量（即该厂的年产量）万台与年促销费用万元满足为常数），如果不搞促销活动，则该学习机的年销售量只能是2万台．已知2020年生产该学习机的固定投入为8万元．每生产1万台该产品需要再投入16万元，厂家将每台学习机的销售价格定为每台产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）

（1）将2020年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？

【分析】（1）根据年利润年销售量销售价格成本年促销费用即可列出与的函数关系；

（2）由（1）中所得的函数关系利用基本不等式求最值．

【解答】解：（1）不搞促销活动，该产品的年销售量只能是2万件，即时，，

，解得，，

；

（2）

，

当且仅当，即时，等号成立，

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大．

【点评】本题考查函数的实际应用，训练了利用基本不等式最值，考查逻辑推理能力和运算能力，是中档题．

22．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的值域；

（2）解关于的不等式；

（3）若对于任意的，，均成立，求的取值范围．

【分析】（1）由配方法和二次函数的最值求法，可得所求值域；

（2）运用因式分解和讨论，，，结合二次不等式的解法可得所求解集；

（3）由题意可得在任意的，恒成立，由对勾函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．

【解答】解：（1）当时，，当时，取得最小值，

则的值域为，；

（2），即为，

可得，

当时，，可得；

当时，，解得或；

当时，，解得或．

综上可得，时，解集为；时，解集为或；时，解集为或

（3）由对于任意的，，均成立，

可得在任意的，恒成立，

由在，递增，可得的最小值为，

则，解得，即的取值范围是．

【点评】本题考查二次函数的最值求法和二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和分类讨论思想、运算能力，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:26:32；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394