2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高一（上）期中数学试卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．（5分）集合，1，，，则　　

A． B． C．， D．，1，

2．（5分）命题“，使得”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）已知函数，则　　

A．2 B． C．4 D．16

4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是　　

A．与 B．与 C．与 D．与

5．（5分）已知是实数，那么“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．充要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度．已知，，，3，5，7，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的个数为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

7．（5分）若关于的不等式的解集为，则　　

A．0 B．2 C． D．2或

8．（5分）已知集合，是实数集的子集，定义，且，若集合，，，，则　　

A．， B．， C．， D．，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）若，则下列不等式中正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列说法中正确的是　　

A．“，都是偶数”是“是偶数”的充要条件 

B．两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件 

C．“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件 

D．“”是“”的既不充分也不必要条件

11．（5分）下列各式化简运算结果为1的是　　

A． B． 

C．且 D．

12．（5分）下列说法中正确的是　　

A．若，则函数的最小值为3 

B．若，则的最小值为4 

C．若，，，则的最小值为1 

D．若，满足，则的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，则　　．

14．（5分）函数的定义域为　　．

15．（5分）已知，，则　　（用，表示）

16．（5分）已知二次函数，为实数．

（1）若此函数有两个不同的零点，一个在内，另一个在内则的取值范围是　　

（2）若此函数的两个不同零点都在区间内，则的取值范围是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设为实数，集合，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

18．（12分）求下列各式的值：

（1）；

（2）．

19．（12分）已知命题：任意，成立；命题：存在，成立．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题，中恰有一个为真命题，求实数的取值范围．

20．（12分）在①函数的最小值为1；②函数图象过点；③函数的图象与轴交点的纵坐标为2．

这三个条件中任选一个，将下面问题补充完整，并求解．

已知二次函数，满足，且满足_____（填所选条件的序号）．

（1）求函数的解析式；

（2）设，当，时，函数的最小值为，求实数的值．

21．（12分）某公司欲将一批生鲜用冷藏汽车从甲地运往相距90千米的乙地，运费为每小时80元，装卸费为1000元，生鲜在运输途中的损耗费的大小（单位：元）是汽车速度值的2倍．

（注：运输的总费用运费装卸费损耗费）

（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用；

（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；

（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？

22．（12分）已知函数，．

（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求关于的不等式的解集．

2020-2021学年江苏省徐州市铜山区高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．（5分）集合，1，，，则　　

A． B． C．， D．，1，

【分析】直接根据交集的定义即可求解．

【解答】解：，1，，

，

故选：．

【点评】本题主要考查了交集的定义，属常考题型，较易．解题的关键是透彻理解交集的定义，但此题一定要注意集合是孤立的点集否则极易出错

2．（5分）命题“，使得”的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“，使得”的否定是，．

故选：．

【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．

3．（5分）已知函数，则　　

A．2 B． C．4 D．16

【分析】推导出，从而（2），由此能求出结果．

【解答】解：函数，

，

（2）．

故选：．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．（5分）下列四组函数中，表示同一函数的是　　

A．与 B．与 C．与 D．与

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们表示同一函数．

【解答】解：对于，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．

对于，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．

对于，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不表示同一函数．

对于，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，对应法则也相同，表示同一函数．

故选：．

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．

5．（5分）已知是实数，那么“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．充要条件 

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】分解出不等式，即可判断出关系．

【解答】解：由，解得．

由，解得：．

“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．（5分）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度．已知，，，3，5，7，，若从集合，中各任取一个数，，则为整数的个数为　　

A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】由已知结合对数的运算性质即可直接求解．

【解答】解：因为，，，3，5，7，，

若从集合，中各任取一个数，，满足为整数

则或或或，

所以，的取值情况有，，，，，

故选：．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．

7．（5分）若关于的不等式的解集为，则　　

A．0 B．2 C． D．2或

【分析】由题意利用一元二次不等式的解法，二次函数的性质，求得、的值，可得的值．

【解答】解：关于的不等式的解集为，

，且和2是方程的两个实数根，

，，，，，

故选：．

【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法，二次函数的性质，属于中档题．

8．（5分）已知集合，是实数集的子集，定义，且，若集合，，，，则　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】先求出，，再结合新定义求解即可．

【解答】解：集合，，，，，，

定义，且，

，，

故选：．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件，以及结合新定义求出对应集合是解决本题的关键．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）若，则下列不等式中正确的是　　

A． B． C． D．

【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．

【解答】解：若，则，所以，故错误；

，故正确；

，，所以，故正确；

，，，所以，故正确．

故选：．

【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．

10．（5分）下列说法中正确的是　　

A．“，都是偶数”是“是偶数”的充要条件 

B．两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件 

C．“”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件 

D．“”是“”的既不充分也不必要条件

【分析】．若“，都是偶数” “是偶数”，反之不成立，即可判断出正误；

．“两个三角形全等” “两个三角形的面积相等”，反之不成立，即可判断出正误；

．关于的方程有实数解，可得：△，解得范围，即可判断出正误；

．“” “”，反之不成立，即可判断出正误．

【解答】解：．若“，都是偶数” “是偶数”，反之不成立，例如，可以都是奇数，因此“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，不正确；

．“两个三角形全等” “两个三角形的面积相等”，反之不成立，因此两个三角形全等”是“两个三角形的面积相等”的充分不必要条件，正确；

．关于的方程有实数解，可得：△，解得． “”是“关于的方程有两个实数解”的必要不充分条件，正确；

．“” “”，反之不成立，因此是“”的必要不充分条件．

故选：．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、三角形全等性质、实数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

11．（5分）下列各式化简运算结果为1的是　　

A． B． 

C．且 D．

【分析】由已知结合对数的换底公式及对数的运算性质分别检验各选项即可判断．

【解答】解：：原式；

：原式；

：原式；

：原式．

故选：．

【点评】本题主要考查了对数的运算性质及对数的换底公式，对数恒等式的简单应用，属于基础试题．

12．（5分）下列说法中正确的是　　

A．若，则函数的最小值为3 

B．若，则的最小值为4 

C．若，，，则的最小值为1 

D．若，满足，则的最小值为

【分析】把函数解析式变形，换元后利用函数单调性求出函数的值域判断；直接利用基本不等式求最值判断；利用基本不等式把转化为关于的不等式，求解判断；把变形，利用1的代换与基本不等式求最值判断．

【解答】解：若，则函数，

令，则在上为增函数，则（1），

即，故错误；

若，则，

当且仅当，即时上式等号成立，故正确；

若，，则，由，得，

即，解得，当且仅当时等号成立，没有最小值，故错误；

若，满足，则，

．

当且仅当时上式等号成立，则的最小值为，故正确．

故选：．

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，训练了利用基本不等式及函数的单调性求最值，考查函数的最值及其几何意义，是中档题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，则　4　．

【分析】根据对数的定义即可求出．

【解答】解：，

．

故答案为：4．

【点评】本题主要考查了对数的定义，属于基础题．

14．（5分）函数的定义域为　，，　．

【分析】根据分母不为0以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：

，解得：且，

故函数的定义域是，，，

故答案为：，，．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．

15．（5分）已知，，则　　（用，表示）

【分析】利用对数的运算法则即可得出．

【解答】解：，，

．

故答案为：．

【点评】本题考查了对数的运算法则，属于基础题．

16．（5分）已知二次函数，为实数．

（1）若此函数有两个不同的零点，一个在内，另一个在内则的取值范围是　　

（2）若此函数的两个不同零点都在区间内，则的取值范围是　　．

【分析】根据二次函数的图象和零点所在区间列不等式组求出的范围．

【解答】解：设，则的图象开口向上，对称轴为直线，

（1）若函数有两个不同的零点，一个在内，另一个在内，

则，即，解得：．

（2）若的两个不同零点都在区间内，

则，即，解得：．

故答案为：（1），（2）．

【点评】本题考查二次函数的性质，函数零点个数与函数图象的关系，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）设为实数，集合，．

（1）若，求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【分析】（1）当时，集合，，由此能求出与；

（2）根据，得或，由此能求出实数的取值范围．

【解答】解（1）若，则，

，

又，

或，

（2）由得或，

即或，

实数的取值范围是，，．

【点评】本题考查补集、交集、实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用．

18．（12分）求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【分析】由已知结合指数与对数的运算性质进行求解即可．

【解答】解（1）原式，

（2）原式

，

．

【点评】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．

19．（12分）已知命题：任意，成立；命题：存在，成立．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题，中恰有一个为真命题，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据题意，由二次函数的性质可得若命题为真命题，则△，解可得的取值范围，即可得答案，

（2）根据题意，若命题，中恰有一个为真命题，则命题，一真一假，分2种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案．

【解答】解：（1）命题：任意，成立，

若命题为真命题，则△，解得，

故实数的取值范围；

（2）若命题为真命题，则△，解得或，

若命题，中恰有一个为真命题，则命题，一真一假，

①当真假时，解得，

②当假真时，解得，

综上，实数的取值范围．

【点评】本题考查复合命题的真假，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题．

20．（12分）在①函数的最小值为1；②函数图象过点；③函数的图象与轴交点的纵坐标为2．

这三个条件中任选一个，将下面问题补充完整，并求解．

已知二次函数，满足，且满足_____（填所选条件的序号）．

（1）求函数的解析式；

（2）设，当，时，函数的最小值为，求实数的值．

【分析】（1）由列式求得与的值，可得．然后分别选取三个不同的条件求解值，可得函数的解析式；

（2）把（1）中求得的的解析式代入，整理后对分类求得函数最小值，再由最小值为，求得实数的值．

【解答】解：（1），

，

，解得．

．

选择条件①：，，即；

选择条件②：，即；

选择条件③：．

．

（2）由题意，其对称轴为．

①当，即时，（1），解得（舍；

②当，即时，，解得或（舍．

．

【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查函数的最值及其几何意义，训练了二次函数最值的求法，是中档题．

21．（12分）某公司欲将一批生鲜用冷藏汽车从甲地运往相距90千米的乙地，运费为每小时80元，装卸费为1000元，生鲜在运输途中的损耗费的大小（单位：元）是汽车速度值的2倍．

（注：运输的总费用运费装卸费损耗费）

（1）若汽车的速度为每小时50千米，试求运输的总费用；

（2）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围；

（3）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？

【分析】（1）根据运输的总费用运费装卸费损耗费，其中运费运费单价，直接计算运输总费用即可；

（2）设汽车行驶的速度为，根据运输总费用的计算公式，可列出关于的不等式，解之即可；

（3）设汽车行驶的速度为，运输的总费用为元，根据运输总费用的计算公式，可列出关于的函数关系式，再结合基本不等式的性质求解即可．

【解答】解：（1）当汽车速度为时，运输总费用为：（元．

（2）设汽车行驶的速度为，则

，化简得，

解得，

所以汽车行驶速度的范围为，．

（3）设汽车行驶的速度为，运输的总费用为元，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

故要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶．

【点评】本题考查函数的应用、不等式的实际应用，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

22．（12分）已知函数，．

（1）若不等式对恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，求关于的不等式的解集．

【分析】（1）由题意可得对恒成立，讨论，，，结合判别式的符号和二次函数的图象，解不等式，求并集，可得所求解集；

（2）运用因式分解和分类讨论，对讨论，，，结合二次不等式的解法，可得所求解集．

【解答】解：（1）由题意得对恒成立

即对恒成立，

若，则不等式恒成立；

若，则，解得；

若，由的图象为开口向下的抛物线，可得不恒成立．

综上，实数的取值范围为，．

（2）不等式为，

若，则不等式为，则；

若，则不等式可化为，

①当即时，不等式解为或；

②当即时，不等式解为；

③当即时，不等式解为或；

若，则不等式可化为，解得．

综上，当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为，，；

当时，不等式解集为．

【点评】本题考查二次不等式恒成立问题解法，以及含参不等式的解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题．

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日期：2021/2/23 14:21:50；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394