2020-2021学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，，1，3，，则　　A．， B．， C．， D．，2．（5分）已知幂函数的图象过点，则（2）　　A．4 B．8 C．9 D．163．（5分）函数的定义域为　　A．， B． C．，， D．，，4．（5分）已知函数，则（4）的值为　　A． B．0 C．1 D．45．（5分）某中学高一年级的学生积极参加体育锻炼，其中有1056名学生喜欢足球或游泳，660名学生喜欢足球，902名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是　　A．682 B．616 C．506 D．4626．（5分）函数的值域是　　A． B．，， C．，， D．，，7．（5分）若关于的不等式的解集为，则的最小值为　　A．9 B． C． D．8．（5分）已知是定义在上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且（2），则满足的的取值范围是　　A．，，， B．，， C．，， D．，，二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得了分。9．（5分）若，则　　A． B． C． D．10．（5分）下列函数与的值域相同的是　　A． B． C． D．11．（5分）已知．，则　　A． B． C． D．12．（5分）某学习小组在研究函数的性质时，得出了如下的结论，其中正确的是　　A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上是增函数 D．函数在，上有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若函数为偶函数，则　　．14．（5分）若，则的值为　　．15．（5分）若是上的增函数，则实数的取值范围是　　．16．（5分）某兴趣小组进行数学探究活动，将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记．（1）当梯形的腰长为时，的值为　　；（2）的最小值是　　．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）；（2）．18．（12分）已知二次函数，设的两个零点为，．（1）当时，求；（2）若，，求实数的取值范围．19．（12分）在“①函数的定义域为，②，使得，③方程有一根在区间，内”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：已知条件p：______，条件：函数在区间上不单调，若是的必要条件，求实数的最大值．20．（12分）已知是一次函数，且满足．（1）求的解析式；（2）求函数在区间，上的最大值．21．（12分）新能源汽车产业是战略性新兴产业，发展节能汽车是推动节能减排的有效举措，2020年徐州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3500万元，每生产百辆新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）求该企业2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售额成本）（2）该企业2020年产量为多少百辆时，所获利润最大？并求出最大利润．22．（12分）已知定义在上的函数满足，．（1）求函数的解析式；（2）设，求证：函数是上的奇函数；（3）解不等式：．
2020-2021学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合，，1，3，，则　　A．， B．， C．， D．，【分析】求解一元二次不等式得到集合，再由交集运算得答案．【解答】解：集合，，1，3，，则，，故选：．【点评】本题考查交集及其运算，考查一元二次不等式的解法，是基础题．2．（5分）已知幂函数的图象过点，则（2）　　A．4 B．8 C．9 D．16【分析】由幂函数，把点代入求出函数的解析式，再求出（2）的值．【解答】解：由幂函数，因为幂函数的图象经过点，所以，解得，则，则（2），故选：．【点评】本题考查了待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．3．（5分）函数的定义域为　　A．， B． C．，， D．，，【分析】由函数的解析式可得，解此不等式组求得的范围，即为所求．【解答】解：函数的定义域应满足：．解得且，故函数的定义域为，，，故选：．【点评】本题主要考查求函数的定义域的方法，属于基础题．4．（5分）已知函数，则（4）的值为　　A． B．0 C．1 D．4【分析】推导出（4），从而（4），由此能求出结果．【解答】解：函数，（4），（4）．故选：．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）某中学高一年级的学生积极参加体育锻炼，其中有1056名学生喜欢足球或游泳，660名学生喜欢足球，902名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是　　A．682 B．616 C．506 D．462【分析】设该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是，作出韦恩图，结合韦恩图能求出结果．【解答】解：设该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是，由题意作出韦恩图，由韦恩图得：，解得．故选：．【点评】本题考查该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数的求法，考查韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）函数的值域是　　A． B．，， C．，， D．，，【分析】分离常数即可得出，从而得出，进而得出该函数的值域．【解答】解：，，该函数的值域为．故选：．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，反比例函数的值域的求法，分离常数法的运用，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）若关于的不等式的解集为，则的最小值为　　A．9 B． C． D．【分析】先，是方程的两个根，可得，再根据基本不等式即可求出．【解答】解：关于的不等式的解集为，，是方程的两个根，，，，，当且仅当，即，时取等号，故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．8．（5分）已知是定义在上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且（2），则满足的的取值范围是　　A．，，， B．，， C．，， D．，，【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：因为对任意两个正数，，都有，且（2），所以在上单调递减，根据奇函数的对称性可知，在上单调递减且，由可得或，即或，解得，或．故选：．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得了分。9．（5分）若，则　　A． B． C． D．【分析】根据不等式的基本性质判断，，，根据特殊值法判断．【解答】解：若，则，故正确，，故正确，，故错误，令：，，显然错误，故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．10．（5分）下列函数与的值域相同的是　　A． B． C． D．【分析】配方可求出的值域为，，然后求每个选项的函数的值域，找出与已知函数值域相同的即可．【解答】解：，该函数的值域是，，的值域是，；的值域是；，该函数的值域为，；对于，设，，则，，该函数的值域为．故选：．【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，基本不等式求函数值域的方法，配方求二次函数值域的方法，反比例函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）已知．，则　　A． B． C． D．【分析】先求出，即可求出，再判断，，根据，判断．【解答】解：，，，，故正确；，故正确；，故错误；，故正确．故选：．【点评】本题考查了对数的运算，以及换底公式，考查了运算求解能力，属于基础题．12．（5分）某学习小组在研究函数的性质时，得出了如下的结论，其中正确的是　　A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数在上是增函数 D．函数在，上有最大值【分析】画出函数的图象，根据图象读出即可．【解答】解：由，解得：，故函数的定义域是，，，，时，，时，，时，，画出函数的图象，如图示：，结合图象，显然正确，错误，故选：．【点评】本题考查了常见函数的性质，考查函数的奇偶性，单调性，最值问题，是一道基础题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若函数为偶函数，则　0　．【分析】根据为偶函数即可得出，从而可求出的值．【解答】解：为偶函数，，即，，，．故答案为：0．【点评】本题考查了偶函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．14．（5分）若，则的值为　18　．【分析】根据，求出的值，从而求出的值即可．【解答】解：，，，故答案为：18．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．15．（5分）若是上的增函数，则实数的取值范围是　，　．【分析】由题意可得关于的不等式组，求解即可得到实数的取值范围．【解答】解：是上的增函数，，即，得．实数的取值范围是，．故答案为：，．【点评】本题考查分段函数的单调性及其应用，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是中档题．16．（5分）某兴趣小组进行数学探究活动，将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记．（1）当梯形的腰长为时，的值为　　；（2）的最小值是　　．【分析】（1）先设剪成的小正三角形的边长为表示出的解析式，由当梯形的腰长为时，，代入的解析式，即可求得的值．（2）先设剪成的小正三角形的边长为表示出的解析式，然后求的最小值，令，代入整理，利用基本不等式得到最小值．【解答】解：设剪成的小正三角形的边长为，则梯形的周长为，梯形的面积为，所以，，（1）当梯形的腰长为时，，所以．（2）令，，，当且仅当即时等号成立；所以的最小值是．故答案为：（1）；（2）．【点评】本题考查了解三角形的实际运用，主要考查函数模型的建立，考查利用基本不等式求最值，关键是依据题意构建函数模型，属于基础题．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）（1）；（2）．【分析】（1）（2）根据指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查对数，指数的转化，是一道基础题．18．（12分）已知二次函数，设的两个零点为，．（1）当时，求；（2）若，，求实数的取值范围．【分析】（1）把代入，然后结合方程的根与系数关系可求，（2）结合二次函数的实根分布可求的范围．【解答】解：（1）当时，可得，，，（2），，，解得，，故的范围．【点评】本题主要考查了二次方程的根与系数关系及二次函数的实根分布，属于基础试题．19．（12分）在“①函数的定义域为，②，使得，③方程有一根在区间，内”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行解答．问题：已知条件p：______，条件：函数在区间上不单调，若是的必要条件，求实数的最大值．【分析】分别求出为真，为真时的的范围，根据集合的包含关系得到关于的不等式，求出的范围即可．【解答】解：选①时，函数的定义域为，则△，解得：，故为真时：，，选②时，，使得，即，故为真时：，，选③时，方程有一根在区间，内，故，故，故为真时：，，条件：函数在区间上不单调，则，故，故为真时：，若是的必要条件，即，，，则，解得：，故的最大值是．【点评】本题考查了集合的包含关系以及函数，不等式的性质，考查转化思想，是一道中档题．20．（12分）已知是一次函数，且满足．（1）求的解析式；（2）求函数在区间，上的最大值．【分析】（1）用待定系数法，根据题意，设出的解析式，代入方程，利用多项式相等求出系数、即可，（2）根据二次函数的性质可得，（a），即可求出．【解答】解：（1）根据题意，设，、，且，，，，，解得，，．（2）函数，的开口先上，，（a），，（a），当（a）时，即，且，解得，故当时，（a），当时，，故．【点评】本题考查了函数解析式的求法，二次函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．21．（12分）新能源汽车产业是战略性新兴产业，发展节能汽车是推动节能减排的有效举措，2020年徐州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3500万元，每生产百辆新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价8万元，且生产的车辆当年能全部销售完．（1）求该企业2020年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售额成本）（2）该企业2020年产量为多少百辆时，所获利润最大？并求出最大利润．【分析】（1）根据题意可知，从而得到利润关于年产量的函数关系式．（2）当时，利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求出的最大值，再比较两者的大小，取较大者即为的最大值．【解答】解：（1）由题意可知，，即．（2）当时，，所以当，时，取得最大值，最大值为万元，当时，万元，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最大值2880万元，又因为，所以当时，取得最大值5500万元，即该企业2020年产量为30百辆时，所获利润最大，最大利润为5500万元．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了二次函数的性质，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．22．（12分）已知定义在上的函数满足，．（1）求函数的解析式；（2）设，求证：函数是上的奇函数；（3）解不等式：．【分析】（1）由，，可得关于，的方程组，解之即可得函数的解析式；（2）由奇函数的定义即可得证；（3）将不等式转化为，求出的单调性，即可求解的取值范围．【解答】（1）解：由，．可得，解得，，所以函数．（2）证明：，定义域为，，所以函数是上的奇函数．（3）解：因为，所以，即，即，，令，因为，所以，，所以，即，所以，所以在上为增函数，所以，且，，解得，即不等式的解集为．【点评】本题主要考查函数解析式的求解方法，函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 14:22:54；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394