2020-2021学年江苏省盐城一中、射阳中学等五校高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省盐城一中、射阳中学等五校高一（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省盐城一中、射阳中学等五校高一（上）期中数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集，0，1，2，，，，，2，，则　　
A． B．， C．，2， D．，0，2，
2．（5分）设命题，，则命题的否定为　　
A．， B．，
C．， D．，
3．（5分）已知，，则、之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
4．（5分）设全集，，或，，则图中阴影部分所表示的集合是　　

A． B． C． D．
5．（5分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为　　
A．，或 B． C．，或 D．
6．（5分）已知函数，且（a），则　　
A． B． C． D．
7．（5分）已知函数，则下列结论正确的是　　
A．增区间是 B．减区间是
C．增区间是 D．增区间是
8．（5分）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若，，则的值约为　　
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，，，2，4，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是　　
A． B． C． D．
10．（5分）下列命题正确的是　　
A．已知全集，，则
B．“ “是” ”的充分不必要条件
C．不等式恒成立的条件是
D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
11．（5分）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是　　
A． B．
C． D．
12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是　　
A． B．
C．在为增函数 D．方程的解集为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，，，则的最小值为　　．
14．（5分）定义在上的函数对任意的实数，满足，（1），则（3）　　．
15．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为　　．
16．（5分）若集合，中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是　　．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
设全集，______，，．求，．
18．（12分）（1）计算：；
（2）计算：．
19．（12分）已知，恒成立，．
（1）求集合；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
20．（12分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，，且投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元千克（即16百元百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．
（1）求利润的函数解析式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）解关于的不等式；
（3）当时，函数在，有解，求实数的取值范围．
22．（12分）已知定义域为的函数．
（1）判断并证明该函数在区间，上的单调性；
（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省盐城一中、射阳中学等五校高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知全集，0，1，2，，，，，2，，则　　
A． B．， C．，2， D．，0，2，
【分析】直接利用补集和交集的运算进行求解即可得到答案．
【解答】解：由，0，1，2，，集合，，
，2，，又，2，，
，2，，2，，．
故选：．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的会考题型．
2．（5分）设命题，，则命题的否定为　　
A．， B．，
C．， D．，
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题，，则命题的否定为：，．
故选：．
【点评】本题考查了命题的否定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）已知，，则、之间的大小关系是　　
A． B． C． D．
【分析】利用基本不等式求出的最小值，一次函数的性质判断的最大值，然后比较大小即可．
【解答】解：因为，
当且仅当时去等号，
，
；
；
故选：．
【点评】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性的应用，考查基本知识的理解与应用．
4．（5分）设全集，，或，，则图中阴影部分所表示的集合是　　

A． B． C． D．
【分析】欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合中的元素但不在集合中的元素组成的，即．
【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是，
又，
．
故选：．
【点评】本小题主要考查图表达集合的关系及运算、二次不等式、不等式的解法等基础知识，属于基础题．
5．（5分）已知不等式的解集为，则不等式的解集为　　
A．，或 B． C．，或 D．
【分析】根据题意，可知的两根为3，6．依据韦达定理，即可解得与，化简不等式为，通过一元二次不等式的解法即可求得结果．
【解答】解：由题意，的两根为3，6．
则，解得，
则不等式可化为，
解得，或．
故选：．
【点评】本题主要考查一元二次不等式根与系数的关系，同时考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
6．（5分）已知函数，且（a），则　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，令，求出的值，再计算对应的值．
【解答】解：，且（a），
令，
解得，
．
故选：．
【点评】本题考查了函数的解析式以及利用函数的解析式求值的应用问题，是基础题目．
7．（5分）已知函数，则下列结论正确的是　　
A．增区间是 B．减区间是
C．增区间是 D．增区间是
【分析】根据题意，将写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分段讨论的单调性和单调区间，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，函数，
当时，，在区间上为减函数，在区间上为增函数，
当时，，在区间上为增函数，在区间上为减函数，
综合可得：在区间、上为减函数，在区间上为增函数，
故选：．
【点评】本题考查分段函数单调性的判断，注意分段函数要分段讨论，属于基础题．
8．（5分）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为历史上的珍闻．若，，则的值约为　　
A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669
【分析】把指数式化为对数式，再用表示出来，即可求出结果．
【解答】解：由，，
所以；
即的值约为1.322．
故选：．
【点评】本题考查了指数式与对数式互化问题，也考查了对数的运算问题，是基础题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（5分）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数” 年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，1，2，，，2，4，，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是　　
A． B． C． D．
【分析】根据函数定义中的与的对应关系判断每个选项的函数能否构成从到的函数即可．
【解答】解：在中，当时，，故错误；
在中，当时，，故错误；
在中，任取，总有，故正确；
在中，任取，总有，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了函数的定义，理解函数中的，的对应关系，考查了计算能力，属于基础题．
10．（5分）下列命题正确的是　　
A．已知全集，，则
B．“ “是” ”的充分不必要条件
C．不等式恒成立的条件是
D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
【分析】对于，求出集合的补集即可判断；对于，由不等式的基本性质即可判断；对于，利用判别式△，求出的取值范围即可判断；对于，取时，不等式恒成立，即可判断．
【解答】解：对于，已知全集，或，则，故错误；
对于，若，则，成立，若，则不一定能推出，
故“ “是” ”的充分不必要条件，故正确；
对于，不等式恒成立，则，解得，故正确；
对于，若不等式对一切恒成立，
当时，不等式即为恒成立，故满足，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查命题真假的判断，集合的基本运算，充分条件必要条件的判断，不等式恒成立问题，属于中档题．
11．（5分）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据根式和分式指数幂的关系进行转化即可．
【解答】解：对于，无意义，故错误；
对于，当时，，故错误；
对于，由分式指数幂可得，则，故正确；
对于，，故错误．
不正确的是、、．
故选：．
【点评】本题主要考查根式和指数幂的互化，是基础题．
12．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则关于函数和的叙述中正确的是　　
A． B．
C．在为增函数 D．方程的解集为
【分析】由函数与函数的定义即可求出和的值，从而判断出选项，的正误，举出一个范例可判定选项错误，因为对任意，恒成立，所以方程方程的解集为．
【解答】解：由题意可知，，
所以选项，选项正确，
因为，，而，
所以在上不是增函数，故选项错误，
因为当时，，
所以方程等价于，
又因为表示不超过的最大整数，所以恒成立，
即对任意，恒成立，
所以方程的解集为，故选项正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了简单的合情推理，考查了学生的分析推理能力，是中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，，，则的最小值为　　．
【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：，，，
，当且仅当时取等号．
的最小值为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题．
14．（5分）定义在上的函数对任意的实数，满足，（1），则（3）　12　．
【分析】通过赋值法，令，求出（2），再令，，继而求出（3）．
【解答】解：函数对任意的实数，满足，
令，
则（1）（1），
又（1），
（2）．
再令，，
则（2）（1），
（3），
故答案为：12．
【点评】本题考查了抽象函数的问题，赋值法求是这类题的关键，理解能力要求比较高，属于基础题
15．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为　　．
【分析】首先考虑时的情况，利用奇函数的定义即可获得函数值，然后考虑时的情况，任设，
则，利用已知条件：当时，和函数是定义在上的奇函数，化简即可获得时的解析式．最后写成分段函数的形式即可．
【解答】解：由题意可知：
当时，函数是定义在上的奇函数，，；
当时，任设，则，又因为：当时，，
所以：，又因为函数是定义在上的奇函数，
，
．
所以函数在上的解析式为：．
故答案为：．
【点评】本题考查的是函数的奇偶性和解析式求解的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、奇函数的定义以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．
16．（5分）若集合，中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是　　．
【分析】因为集合中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．
【解答】解：且

令；
，
是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；
而一次函数，图象是过一定点的动直线．
又，．数形结合，可得：．
故答案为：，

【点评】此题主要考查集合的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．
设全集，______，，．求，．
【分析】选①，求出，再由，．能求出和．
选②，求出，再由，．能求出和．
选③，求出，再由，．能求出和．
【解答】解：选①，，
，．
，，，，，
，，．
选②，，
，．
，，，，，
，，．
选③，，
，．
，，，，，
，，．
【点评】本题考查交集、补集、并集的求法，考查交集、补集、并集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．
（2）利用对数的运算性质求解．
【解答】解：（1）原式

．
（2）原式


．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．
19．（12分）已知，恒成立，．
（1）求集合；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【分析】（1）由，恒成立，即△，解得即可求得集合．
（2）由是的必要不充分条件，则，根据集合之间的关系，即可求出 的范围．
【解答】解：（1），恒成立，
△，得到，
．
（2）因为是的必要不充分条件，所以，
当，即，所以，
当时，，解得，
综上所述：的取值范围．
【点评】本题考查了恒成立问题，充分必要条件的定义与应用，属于基础题．
20．（12分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过5百元时，，且投入的肥料费用超过5百元且不超过8百元时．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元千克（即16百元百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．
（1）求利润的函数解析式；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据利润销售收入成本分段求出利润的函数解析式，再写成分段函数的形式即可．
（2）当时，，利用基本不等式求出的最大值，当时，利用二次函数的性质求出的最大值，再比较两者的大小，取较大的值即可利润的最大值．
【解答】解：（1），
化简得：．
（2）①当时，，
当且仅当即时，等号成立，
所以当时，取得最大值43，
②当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为，
综上所述，当时，取得最大值，
故当投入的肥料费用为6.5百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是百元．
【点评】本题主要考查了分段函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，考查了二次函数的性质，是中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）解关于的不等式；
（3）当时，函数在，有解，求实数的取值范围．
【分析】（1）把代入，然后结合函数零点的定义可求，
（2）由已知可得，然后结合的范围进行分类讨论，结合二次不等式的求法可求；
（3）由已知可转化为在，有解，从而转化为求解函数的最小值，结合二次函数闭区间上最值的求解可求．
【解答】解：（1）当时，，
所以，函数的零点为2，3，
（2）由可得，
当时，解得，
当时，不存在，
当时，解得，
综上，当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集，
当时，不等式的解集；
（3）时，在，有解，
即在，有解，
因为的开口向上，对称轴，
①即，时，函数取得最小值即，
，
②即时，当取得最小值，此时，解得，
③当即时，当时取得最小值，此时，
解得，
综上，或．
【点评】本题主要考查了函数零点的定义，含参不等式的求解，还考查了二次不等式的最值求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．
22．（12分）已知定义域为的函数．
（1）判断并证明该函数在区间，上的单调性；
（2）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．
【分析】（1）函数在，上递增，运用单调性的定义证明，注意取值、作差和变形、定符号、下结论等步骤；
（2）推得函数为奇函数，且为增函数，转化为在，恒成立，讨论对称轴与区间的关系，可得所求范围；
（3）运用单调性可得，即，转化为二次方程有且只有一解，结合二次函数的图象，可得所求范围．
【解答】解：（1）函数在，上递增，
理由：设，，，，
，
因为，，，，
所以，，，
可得，
可得在，上递增；
（2）函数的定义域为，且对任意，，
且，所以为奇函数；
由（1）在，上递增，所以为上的增函数，
因为，
所以，
即，也即在，恒成立，
设，
当，即时在，递增，
时，，，所以；
当，即时，时，，，所以无解．
综上可得，．
（3）方程可得，
因为在，递增，所以，
可得，化简可得，
由题意可得原方程在，有且只有一个根．
设，，画出，的图象，
所以或．

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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日期：2021/2/23 14:14:08；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394