2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项是符合题目要求．1．（5分）设集合，1，，集合，3，，则　　A． B．，1，3，3， C．，1，2， D．，1，2，3，2．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数的定义域是为　　A． B． C．，， D．，，4．（5分）函数的图象大致为　　A． B． C． D．5．（5分）已知命题：“，”，若为真命题，则实数的取值范围是　　A． B． C．， D．，6．（5分）若不等式和不等式的解集相同，则、的值为　　A．， B．， C．， D．，7．（5分）下列命题中，正确的是　　A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则8．（5分）已知函数的定义域为，是偶函数，（4），在上是增函数，则不等式的解集为　　A． B． C． D．二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.每题有多项符合题目要求，部分选对得3分，选错得0分．9．（5分）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为　　A． B． C． D．10．（5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　A． B． C． D．11．（5分）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是　　A． B． C． D．12．（5分）若，，则下列结论正确的有　　A． B．若，则 C．若，则 D．若，则三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）集合，，且，则　　．14．（5分）已知，，则　　．15．（5分）已知，是函数的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数的取值范围是　　．16．（5分）已知正实数、满足，则：（1）的最大值是　　；（2）的最小值是　　．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知，．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．18．（12分）（1）计算：；（2）．19．（12分）已知，，，（1）若，求集合；（2）如果是的必要条件，求实数的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）若定义域为，解不等式．21．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．（12分）已知二次函数满足，且（2）．（1）求函数的解析式（2）令，①若函数在区间，上不是单调函数，求实数的取值范围②求函数在区间，的最小值．
2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.每题只有一个选项是符合题目要求．1．（5分）设集合，1，，集合，3，，则　　A． B．，1，3，3， C．，1，2， D．，1，2，3，【分析】根据集合的并集的定义计算即可．【解答】解：，1，，，3，，，1，2，3，，故选：．【点评】本题考查了并集的定义，是一道基础题．2．（5分）设，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】解得的范围，即可判断出结论．【解答】解：由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，故选：．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）函数的定义域是为　　A． B． C．，， D．，，【分析】由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0，联立不等式组求得的取值集合得答案．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：且．函数的定义域是，，．故选：．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了绝对值不等式的解法，是基础题．4．（5分）函数的图象大致为　　A． B． C． D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数的定义域为实数集，关于原点对称，函数，则，则函数为奇函数，故排除，，当时，，故排除，故选：．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．5．（5分）已知命题：“，”，若为真命题，则实数的取值范围是　　A． B． C．， D．，【分析】直接利用存在性问题和真值表的应用求出结果．【解答】解：命题：“，”，若为真命题，所以，即．故选：．【点评】本题考查的知识要点：存在性问题，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6．（5分）若不等式和不等式的解集相同，则、的值为　　A．， B．， C．， D．，【分析】分别求解不等式和不等式的解集，它们解集相同，可求、的值．【解答】解：不等式等价于，解得：，解集相同，不等式的解集为，由方程与不等式的关系可知：的根为：，由韦达定理：，解得：，，故选：．【点评】本题考查了分式不等式的解法和方程与不等式的关系，属于基础题．7．（5分）下列命题中，正确的是　　A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则【分析】根据特殊值法判断、，根据不等式的性质判断，即可．【解答】解：令，，，，显然、不成立，对于：若，显然不成立，对于：由，得：，故正确，故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．8．（5分）已知函数的定义域为，是偶函数，（4），在上是增函数，则不等式的解集为　　A． B． C． D．【分析】根据题意可得在上是减函数，由函数的单调性与奇偶性将不等式转化为，解之即可得结论．【解答】解：因为是偶函数，在上是增函数，所以在上是减函数，又（4），所以不等式（4）（4），解得．故选：．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题．二、多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.每题有多项符合题目要求，部分选对得3分，选错得0分．9．（5分）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为　　A． B． C． D．【分析】设，可得，化简后构造关于和的方程组即可．【解答】解：设，，，，解得或，或，故选：．【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式，考查学生的运算求解能力，属于基础题．10．（5分）下列根式与分数指数幂的互化正确的是　　A． B． C． D．【分析】根据指数幂的运算性质分别计算即可．【解答】解：对于，故错误；对于，故错误；对于，故正确；对于：原式，故正确；故选：．【点评】本题考查了指数幂的运算性质，考查转化思想，是一道基础题．11．（5分）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”．给出下列四个函数是“理想函数”的是　　A． B． C． D．【分析】根据题意，由函数的奇偶性、单调性的定义可得若函数为“理想函数”，则在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，据此依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若满足对于定义域内的任意，有，则为奇函数，若对于定义域内的任意，，当时，有，则在其定义域上为减函数，若函数为“理想函数”，则在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，依次分析选项：对于，，为偶函数，不是奇函数，不符合题意，对于，，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，对于，，在其定义域上不是减函数，不符合题意，对于，，在其定义域上为奇函数，同时在其定义域上为减函数，符合题意，故选：．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性的判断，注意常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．12．（5分）若，，则下列结论正确的有　　A． B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】由，得，两边同时除以，整理后即可判断；根据“乘1法”和基本不等式的性质即可判断；由题知，，故，再利用基本不等式的性质即可判断；由不等式的基本性质即可判断．【解答】解：对于，因为，，，所以，所以，即，所以错误；对于，，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；对于，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以正确；对于，若，则，所以，故正确．故选：．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式的应用，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.13．（5分）集合，，且，则　　．【分析】利用，求出的值，推出结果即可．【解答】解：集合，，且，所以，或，解得或，当时，所以．故答案为：．【点评】本题考查元素与集合的关系，注意集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．14．（5分）已知，，则　　．【分析】由指数的运算性质化简等式右边，等式两边化为同底数的对数后可得的值．【解答】解：由，，，，，故答案为：【点评】本题考查对数的运算性质，关键是解对数方程要注意验根，是基础的计算题，15．（5分）已知，是函数的两个零点且一个大于1，一个小于1，则实数的取值范围是　　．【分析】由题意可得（1），得关于的不等式求解．【解答】解：函数的图象是开口向上的抛物线，若函数有两个零点且一个大于1，一个小于1，则（1），即，得．实数的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想，考查运算求解能力，是基础题．16．（5分）已知正实数、满足，则：（1）的最大值是　　；（2）的最小值是　　．【分析】（1）直接利用基本不等式即可求出；（2）利用乘“1”法，可得，根据基本不等式即可求出．【解答】解：（1）正实数、满足，当且仅当时取等号，故的最大值是（2），，，当且仅当，即时取等号，故的最小值是，故答案为：，．【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握利用基本不等式的条件是关键，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知，．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．【分析】（1）求得集合，，再由交集的定义，即可得到所求集合；（2）由交集的性质可得为空集或不为空集，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）当时，，，或，；（2），当时，，可得；当时，则且，或且，解得或，综上所述，的取值范围是．【点评】本题考查集合的混合运算，注意运用定义法解题，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于基础题．18．（12分）（1）计算：；（2）．【分析】（1）通过根式与分数指数幂的互化及其化简运算求解即可．（2）利用导数的运算法则直接求解即可．【解答】解：（1）；（2）；【点评】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算求解，对数的运算法则，换底公式的应用，考查计算能力．19．（12分）已知，，，（1）若，求集合；（2）如果是的必要条件，求实数的取值范围．【分析】（1）把代入，求解一元二次不等式可得；（2）求解一元二次不等式化简集合，，把是的必要条件转化为两集合间的关系列式求解实数的取值范围．【解答】解：（1）当时，，即，解得，故，；（2），，，，如果是的必要条件，则，，解得，故的取值范围为，．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．20．（12分）已知函数．（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；（3）若定义域为，解不等式．【分析】（1）函数为奇函数，利用定义法能进行证明．（2）函数在为单调递增函数，利用定义法能进行证明．（3）由，得，由此能求出原不等式的解集．【解答】解：（1）函数为奇函数．证明如下：定义域为又，为奇函数（2）函数在为单调递增函数．证明如下：任取，则，，，，即故在上为增函数．（3）由（1）、（2）可得，，，解得：，原不等式的解集为．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断与证明，考查不等式的解法，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（1）设每件定价为元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，时，不等式有解，等价于时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（1）设每件定价为元，依题意得，整理得，解得．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当时，不等式有解，等价于时，有解．由于，当且仅当，即时等号成立，所以．当该商品改革后的销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．22．（12分）已知二次函数满足，且（2）．（1）求函数的解析式（2）令，①若函数在区间，上不是单调函数，求实数的取值范围②求函数在区间，的最小值．【分析】（1）设出函数的解析式，利用已知条件，列出方程求解即可．（2）①，函数在区间，上不是单调函数，利用二次函数的对称轴，列出不等式，求实数的取值范围②通过二次函数的对称轴与区间的关系，分类讨论求函数在区间，的最小值．【解答】解：由已知令；（1），，，，又（2），，（3分）（2）①其对称轴为，在，上不单调，，（8分）②当，；当，；当，（2）；（13分）综上，（14分）【点评】本题考查分段函数的综合应用，函数的解析式以及最值的求法，考查分类讨论思想的应用．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/23 14:22:22；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394