易错点22 不等式选讲（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题

这是一份易错点22 不等式选讲（解析版）-备战2022年高考数学考试易错题，共16页。试卷主要包含了含绝对值不等式的解法，不等式的证明等内容，欢迎下载使用。
易错点22   不等式选讲易错点1、含绝对值不等式的解法(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．易错点2、不等式的证明(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧．易错点3、柯西不等式的应用更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a＋a＋…＋a)(＋＋…＋)≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．题组一：含绝对值不等式（一）1.【2021年乙卷】已知函数．（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围．【解析】（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之和，则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，所以的解集为.（2）依题意，即恒成立，，当且仅当时取等号，,故，所以或，解得.所以的取值范围是.2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范围.【解析】（1）当时，.当时，，解得：；当时，，无解；当时，，解得：；综上所述：的解集为或.（2）（当且仅当时取等号），   ，解得：或，的取值范围为.3. （2019全国II理23）已知 （1）当时，求不等式的解集；（2）若时，，求的取值范围.【解析】（1）当a=1时，.当时，；当时，.所以，不等式的解集为.（2）因为，所以.当，时，所以，的取值范围是.4．(2018全国卷Ⅱ) 设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若，求的取值范围．【解析】(1)当时，可得的解集为．(2)等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．题组二：含绝对值不等式（二）5. 【2021年甲卷】已知函数．（1）画出和的图像；（2）若，求a的取值范围．【解析】（1）可得，画出图像如下：，画出函数图像如下：（2），如图，在同一个坐标系里画出图像，是平移了个单位得到，则要使，需将向左平移，即，当过时，，解得或（舍去），则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.6．(2018全国卷Ⅰ)已知．(1)当时，求不等式的解集；(2)若时不等式成立，求的取值范围．【解析】(1)当时，，即故不等式的解集为．(2)当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．7．（2017新课标Ⅰ）已知函数，．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集包含，求的取值范围．【解析】（1）当时，不等式等价于．①当时，①式化为，无解；当时，①式化为，从而；当时，①式化为，从而．所以的解集为．（2）当时，．所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．题组三：含绝对值不等式（三）8.（2020·新课标Ⅰ）已知函数．（1）画出的图像；更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺（2）求不等式的解集．【答案】（1）详解解析；（2）.【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：由，解得．所以不等式的解集为． 9．(2018全国卷Ⅲ)设函数．(1)画出的图像；(2)当时，，求的最小值．【解析】(1)的图像如图所示．(2)由(1)知，的图像与轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5．10．（2016年全国I高考）已知函数．（I）在图中画出的图像；（II）求不等式的解集．【解析】(1)如图所示：(2) ，．当，，解得或，．当，，解得或，或，当，，解得或，或，综上，或或，，解集为．题组四：不等式证明11.（2020·新课标Ⅲ）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．（1）证明：ab+bc+ca<0；（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．【解析】（1），.均不为，则，；（2）不妨设，由可知，，，.当且仅当时，取等号，，即.12.（2019全国I理23）已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：（1）；（2）．【解析】（1）因为，又，故有.所以.（2）因为为正数且，故有=24.所以.13.（2019全国III理23）设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.【解析】（1）由于，故由已知得，当且仅当x=，y=–，时等号成立．所以的最小值为.（2）由于，故由已知，当且仅当，，时等号成立．因此的最小值为．由题设知，解得或．14．（2017新课标Ⅱ）已知，，，证明：(1)；(2)．【解析】（1）（2）∵，所以，因此．15．（2015新课标2）设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若>，则；（Ⅱ）是 的充要条件．【解析】（Ⅰ）∵，，由题设，得．因此． （Ⅱ）（ⅰ）若，则，即．因为，所以，由（Ⅰ）得．（ⅱ）若， 则，即．因为，所以，于是．因此，综上是的充要条件． 1．已知函数．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围．【解析】（1），当时，无解；当时，由得，，解得当时，由解得．所以的解集为．（2）由得，而且当时，．故m的取值范围为．2．已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于6，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，不等式化为，当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得．所以的解集为．（Ⅱ）有题设可得，，所以函数图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，的面积为．有题设得，故．所以的取值范围为．3．设函数=（Ⅰ）证明：2；（Ⅱ）若，求的取值范围．【解析】（I）由，有．     所以≥2.（Ⅱ）.当时＞3时，=，由＜5得3＜＜．当0＜≤3时，=，由＜5得＜≤3． 综上，的取值范围是（，）．4．已知函数=,=.（Ⅰ）当=-2时，求不等式＜的解集；（Ⅱ）设＞-1,且当∈[，)时，≤,求的取值范围.【解析】(Ⅰ)当=2时，不等式＜化为，设函数=，=，其图像如图所示，从图像可知，当且仅当时，＜0，∴原不等式解集是．（Ⅱ）当∈[，)时，=，不等式≤化为，∴对∈[，)都成立，故，即≤，∴的取值范围为(1，]．5．已知函数．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围．【解析】(1)当时，或或或．(2)原命题在上恒成立在上恒成立在上恒成立．6．设函数,其中．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式的解集为 ，求a的值．【解析】（Ⅰ）当时，可化为．由此可得  或．更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺故不等式的解集为或．( Ⅱ) 由 得，此不等式化为不等式组  或，即或，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得=，故．7．已知函数（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；（Ⅱ）设函数，当时，，求a的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，.解不等式，得.因此，的解集为.（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于.  ① 当时，①等价于，无解.当时，①等价于，解得.所以的取值范围是.8．若，且．(Ⅰ) 求的最小值；（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由．【解析】（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．9．设均为正数，且，证明：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）得由题设得，即．所以，即（Ⅱ）∵      ∴即∴10．已知函数，M为不等式的解集．（I）求M；（II）证明：当a，时，．【解析】（I）当时，，若；当时，恒成立；当时，，若，．综上可得，．（Ⅱ）当时，有，即， 则，则，即，  证毕．更多免费资源，关注公众号拾穗者的杂货铺