专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版）

这是一份专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）（解析版），共20页。试卷主要包含了【利用导数证明不等式】已知函数等内容，欢迎下载使用。
《专题16 函数与导数的综合问题- 2022届高考数学二模试题分类汇编（新高考卷）》1．【利用导数研究极值问题】（2022·河南焦作·二模）已知函数.(1)求的极值；(2)若函数在区间上没有极值，求实数k的取值范围.【解析】 (1)由题意，函数，可得，令，解得，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得的极小值为，无极大值.(2)由，可得，因为在区间上没有极值，所以在上单调递增或单调递减，当时，或恒成立，即或恒成立，即或在恒成立，设，则，当时，，所以在上单调递增，要使或恒成立，则或，即实数的取值范围是.2．【利用导数研究极值问题】（2022·四川泸州·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解析】 (1)由题意知：，当时，因为，所以在上恒成立，所以在上是减函数；当时，由得：，所以，所以在上是增函数，在上是减函数.(2)，，因为有且只有一个极值点，即图象只穿过轴一次，即为单调减函数或者的极值同号；（i）为单调减函数，在上恒成立，则，解得；（ii）的极值同号时，设为极值点，则，有两个不同的解，则，且有，所以，同理，所以，化简得：，即；当，，，有且只有一个极值点.综上：a的取值范围是.3．【利用导数研究最值问题】（2022·甘肃兰州·模拟预测）已知函数，为自然对数的底数．(1)求在处的切线方程；(2)当时，，求实数a的最大值．【解析】 (1)由，得，则，，所以在处的切线方程为，(2)由，得，即，当时，上式成立，当时，由，得，令，则，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，，所以，所以实数a的最大值为4．【利用导数研究最值问题】（2022·北京·一模）已知函数．(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；(2)若在上有最大值，求的取值范围.【解析】 (1)函数的定义域为，，由已知可得，解得.(2)因为，令.①当时，对任意的，恒成立，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；②当时，在上单调递减，则，则，此时函数在上单调递减，没有最大值；③当时，方程的两根分别为，，由可知，列表如下：增极大值减所以函数在处取得最大值，综上所述，实数的取值范围是.5．【利用导数证明不等式】（2022·湖北·二模）已知函数．(1)若不等式恒成立，求正实数a的值；(2)证明：．【解析】 (1)令，则，设，则对任意恒成立，所以在上单调递增，又，存在唯一实数，所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以．因为，所以，且．所以，设，因为，所以在上单调递增，上单调递减所以，而依题意必有，所以，此时，所以若不等式恒成立，则正实数的值为1．(2)方法一：借助第（1）问结论由（1）得，当时，对任意恒成立．所以，（当且仅当时等号成立），则．所以要证明，只需证，即证．设，则在上单调递增，上单调递减．所以，即．所以只需证，即证．①当时，，不等式成立．②当时，，不等式成立．所以，证毕，方法二：分别放缩设，则恒成立，在上单调递增，，所以．设，则在上单调递增，上单调递增，，所以，所以，即．所以当时，又因为，所以6．【利用导数证明不等式】（2022·四川省泸县第四中学模拟预测）设函数，其中，曲线在点处的切线经过点.(1)求函数的极值；(2)证明：.【解析】 (1)，则，，故在处的切线方程，把点代入切线方程可得，，，，易得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取得极小值，没有极大值.(2)证明：等价于，由（1）可得(当且仅当时等号成立)①，所以，故只要证明即可，(需验证等号不同时成立)设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，当且仅当时等号成立，②因为①②等号不同时成立，所以当时，.7．【利用导数解决恒成立问题】（2022·吉林·延边州教育学院一模）已知函数．(1)讨论函数的极值点个数；(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．【解析】 (1)，①当时，，所以在上单调递增，无极值．②当时，令，得，当时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，此时只有一个极值点，综上所述，当时，在上无极值点；当时，函数在上只有一个极值点．(2)若时， ，即．（*）令，则，令 ，则，∴函数 在区间上单调递增，，（1）若，，∴，∴．函数 在区间上单调递增．∴．∴（*）式成立．（2）若，∴由于，．（ 时， ，故 ）故，使得，则当时，，即 ．∴函数在区间上单调递减，∴，即（*）式不恒成立．综上所述，实数的取值范围是 ．8．【利用导数解决恒成立问题】（2022·云南·二模）己知e是自然对数的底数，，常数a是实数.(1)设，求曲线在点处的切线方程；(2)，都有，求a的取值范围.【解析】 (1)设，则，∴，，∴，∴曲线在点处的切线方程头，即．∴曲线在点处的切线方程为．(2)设,则． 设，则．∴函数在单调递增．当时，．∴，故在单调递增．又∵，故对任意都成立．即当时，，都有,即．当时，，，∴，使．∵函数在单调递增，∴，都有．∴在单调递减．∴，使，即，使，与，都有矛盾．综上所述，a的取值范围为．9．【利用导数解决能成立问题】（2022·辽宁·一模）已知函数，(1)讨论函数的单调性；(2)证明：存在，使得不等式 有解（e是自然对数的底）.【解析】 (1) 的定义域为R，， ，①当时， ，有两个不等实数根为：，时，，单调递增，时， ，单调递减，时，，单调递增，②当时， ，，所以在上单调递增；(2)不等式 等价于 ，所以只需证 的最大值大于1，因为，，又，所以，时等号成立，所以 ，设函数 ， ，，，单调递增，，，单调递减，因为 ，所以存在，使不等式 有解.10．【利用导数解决能成立问题】（2022·广西广西·模拟预测）已知函数.(1)若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；(2)函数，若使得成立.求实数的取值范围.【解析】 (1)，当导函数的零点落在区间内时，所以函数在区间上就不是单调函数，所以实数a的取值范围是或.(2)由题意知，不等式在区间上有解，即在区间上有解.令，，则，∴在上单调递增，∴，∴在区间上有解令，则∵，，，单调递增，∴时， ，所以实数a的取值范围是11．【利用导数解决零点问题】（2022·广西南宁·二模）设函数，．(1)当时，讨论的单调性；(2)若有两个零点，求实数的取值范围．【解析】 (1)当时，，．则．由得，，（舍去）．当时，成立，则在、上单调递增；当时，成立，则在上单调递减．综上，当时，函数的增区间为、，减区间为．(2)解：因求导得，．①当时，由，可得，函数只有一个零点，不符合题意；②当时，由可得，由可得，所以，函数在上递增，在上递减，由，取，令，，则在内成立，故在上单调递增．则．则．由此得有两个零点等价于，得，则．③当时，，（ⅰ）当时，对任意的恒成立，在上单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；（ⅱ）当且时，由得，，（舍去），若，即当时，由可得，由可得或，此时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，此时，函数有两个极值点；同理，当时，函数的递增区间为、，单调递减区间为，此时，函数也有两个极值点；因为，．令，，令，其中，，当或时，；当时，.所以，，所以，，故．又，所以，至多只有一个零点，不符合题意．综上，实数的取值范围为．12．【利用导数解决零点问题】（2022·山东枣庄·一模）已知函数．(1)若，，求的取值范围；(2)当时，试讨论在内零点的个数，并说明理由．【解析】 (1)①若，当时，，，，当且仅当时取等号，可见，符合题意.②若，当时，；当时，，.可见，当时，，当且仅当，且时取等号.所以在上单调递增，所以，.所以符合题意.③若，因为在上单调递增，在上单调递增，所以，在上单调递增，又，，由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得.当时，，单调递减，所以，.可见，不符合题意.综上，的取值范围是(2)①若，由(1)，时，，在内无零点.当时，，，，又由单调递增，则.可见，若，在内无零点.②若，由(1)，时，，在内无零点.当时，，.可见，若，在内无零点.③若，由(1)，存在唯一的，当时，.单调递减；当时，，单调递增.又，所以.又，由零点存在定理及的单调性，存在唯一的，使得.可见，在内存在唯一的零点.当时，，所以，，所以，在内没有零点，可见，在有且仅有1个零点.综上所述，若，在内无零点；若，在内有且仅有1个零点.13．【利用导数解决方程的根问题】（2022·宁夏·固原一中一模）设函数.（1）求函数的极小值；（2）若关于x的方程在区间上有唯一实数解，求实数的取值范围.【解析】（1）依题意知的定义域为，∵，∴，令解得或则单调递增，，单调递减．∴所以当时函数取得极小值，且极小值为．（2），所以，只需．令，则，由，得；由，得∴ 在区间上是增函数，在区间上是减函数.∴当时函数有最大值，且最大值为，又，∴ 当或时，在区间上有唯一解，∴实数m的取值范围为．14．【利用导数解决方程的根问题】（2022湖北襄阳五中高三模拟）已知函数，是自然对数的底数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，证明：曲线不落在图像的下方．【解析】（1）解：由题意知，，故，而，故所求切线方程为，即．（2）证明：要证曲线不落在图像的下方，即证，即证．令，，．，令，得；令，得或，所以当时，取得极大值，且极大值为2．而，易知在上单调递增，且．令，得，令，得，故．故当时，．设，则．设，则．设，则，易知在上单调递增，则，则在上单调递增，从而，则在上单调递增，则，从而在上单调递增，所以当时，，故当时，．综上所述，当时，曲线不落在图像的下方．15．【利用导数解决双变量问题】（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数有两个极值点，且（e为自然对数底数，且），求的取值范围.【解析】 (1)由题知，函数的定义域为，，当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递减；当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)解：由题知，，函数的定义域为，，当时，对任意的，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；当时，，且不恒为零，故在上单调递增，没有极值点；当时，令，解得，，则，当时，；当时，；当时，，此时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上，当时，有两极值点，且，，所以，设，，其中，所以，，又因为，可知，所以在上单调递减．∴，即，所以的取值范围为.16．【利用导数解决双变量问题】（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测）已知函数.(1)当时，证明：；(2)若的两个零点分别为，证明：.【解析】 (1)令，则在上恒成立，所以在，上单调递增，所以，即在上恒成立.当时，要证，即证，又，所以只需证，即.令，则.令，解得，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，故.所以.(2)由题意知，两式相加得，两式相减得，即.所以，即.显然，记，令，则.所以在上单调递增，则，所以，则，即.所以，所以，所以，即.令，则时，，所以在上单调递增，又，故.所以，所以，则，即