2020-2021学年重庆市西南大学附属中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2020-2021学年重庆市西南大学附属中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．下列关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据集合与集合的关系，对选项进行逐一判断

【详解】

选项A：集合与集合之间的关系只能是包含与不包含，故A不正确.

选项B：，故B不正确.

选项C：集合是以为元素的集合，是以0,1为元素的集合，所以互不包含，所以C不正确.

选项D：由空集是任何集合的子集，则D正确.

故选：D

【点睛】

本题考查集合以集合之间的关系，属于基础题.

2．已知集合，，若，则（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】C

【解析】由，可解得，代入即可求得结果.

【详解】

由，

可得，

解得：，

又，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了已知交集求解参数.属于容易题.

3．若，则M，N的大小关系是（    ）

A．M＝N B．M<N

C．M≤N D．M>N

【答案】B

【解析】利用不等的性质，先分别比较和，然后再用不等的性质比较M，N的大小

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

又∵，

∴

∴,即M<N.

故选：B

【点啃】

此题考查利用不等式的性质比较两个代数式的大小，属于基础题.

4．若实数，满足，且，则称与互补，记那么是与互补的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】判断“a与b互补”和“a与b互补”的真假．

【详解】

解析若，则，平方得，

当时，，所以；

当时，，所以，故a与b互补；

若a与b互补，易得.

故“”是“a与b互补”的充要条件

故答案为：C

【点睛】

本题考查充分必要条件的判断，在确定了和的真假后可给出正确选择．属于中档题

5．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ）

A． B．或

C． D．或

【答案】A

【解析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果.

【详解】

的解集为

且方程的两根为：和

，解得：   

即，解得：

的解集为

故选:

【点睛】

本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题.

6．若，且，则的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】将表示为，利用基本不等式即可求解.

【详解】

∵，且，

∴，

∴

，

当且仅当，即，时等号成立，

即的最小值为1，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题..

7．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】C

【解析】不等式化为，只需讨论，时，求出解不等式的解集，再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出的取值范围.

【详解】

关于的不等式可化为，

当时，解不等式得，由不等式的解集中恰有两个整数，则；

当时，解不等式得，由不等式的解集中恰有两个整数，则；

所以的取值范围是或，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了不等式的解法与应用问题，同时考查了分类讨论思想，属于中档题.

8．下列说法正确的是（    ）

A．若命题，都是真命题，则命题“”为真命题

B．命题“若，则或”与命题“若且，则”真假相同

C．“”是“”的必要不充分条件

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】B

【解析】A：根据复合命题的真假性判断；B：利用互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性判断选项即可； C：“”能推出“ ”； D：含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论．

【详解】

对于A，命题，是真命题，则命题“”为假，也为假，命题“”为假命题，故此选项错误；

 对于B，两个命题互为逆否命题，所以这两个命题有相同的真假性，故此选项正确；

对于C，“”能推出“ ”，故此选项错误；

对于D，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，即“，”的否定是“，”，故此选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查了命题的否定、逆否命题、充分条件的判定，属于较易题．

二、多选题

9．下列各不等式，其中不正确的是（    ）

A． ； B． ；

C． ； D． .

【答案】ACD

【解析】利用基本不等式，对每个选项进行逐一分析，即可判断正误.

【详解】

对A项，当时，，则A错误；

对B项，当时，，当且仅当时，等号成立

当时，，当且仅当时，等号成立，

则B正确；

对C项，当时，，则C错误；

对D项，当时，，则D错误；

故选：ACD

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，注意对目标式的变形和配凑，属基础题.

10．下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解.

【详解】

解不等式，可得，

因为，，

，

所以的一个充分不必要条件有：，.

故选：BC.

【点睛】

本题考查了充分不必要条件的判断，考查了转化化归思想，属于基础题.

11．下列命题正确的是（    ）

A． B．，使得

C．是的充要条件 D．，则

【答案】AD

【解析】对A．当时，可判断真假，对B.  当时，，可判断真假，对C.  当时，可判断真假，对D可用作差法判断真假.

【详解】

A．当时，不等式成立，所以A正确.
B.  当时，，不等式不成立，所以B不正确.
C.  当时，成立，此时，推不出.所以C不正确.
D.  由，因为，则,所以D正确.
故选：A D.
本题考查命题真假的判断，充要条件的判断，作差法比较大小，属于中档题.

12．给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是（    ）

A．集合为闭集合 B．正整数集是闭集合

C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则为闭集合

【答案】ABD

【解析】明确闭集合的定义，然后严格按照题目当中对“闭集合”的定义逐一验证即可.

【详解】

A.当集合时，，而，所以集合不为闭集合.

B.设是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合.

C.当时，设，则，，所以集合是闭集合.

D .设，由C可知，集合，为闭集合，，而，此时不为闭集合.

所以说法中不正确的是ABD，

故选：ABD.

【点睛】

本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律，属于中档题.

三、填空题

13．已知集合，，则______.

【答案】

【解析】先求集合，然后求即可.

【详解】

解：由，得，

所以，

因为，所以，

故答案为：

【点睛】

此题考查了一元二次不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题.

14．若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【解析】根据充分不必要条件的含义，即可求出结果.

【详解】

因为“”是“”的充分不必要条件， ∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了不等式的意义、充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

15．若不等式的解集为，则实数的取值范围是_____.

【答案】；

【解析】分三种情况讨论：（1）当等于0时，原不等式变为，显然成立；

（2）当时，根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；

（3）当时，二次函数开口向下，且与轴没有交点即△小于0时，由此可得结论．

【详解】

解：（1）当时，得到，显然不等式的解集为；

（2）当时，二次函数开口向上，函数值不恒小于0，故解集为不可能．

（3）当时，二次函数开口向下，由不等式的解集为，

得到二次函数与轴没有交点，即△，即，解得；

综上，的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查解不等式，考查恒成立问题，考查学生的计算能力，属于基础题．

16．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是________.

【答案】.

【解析】在等式两边同时除以得到，将代数式和相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，由题意得出，解出该不等式即可得出实数的取值范围.

【详解】

，，且，在等式两边同时除以得，

由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，

由于不等式恒成立，则，即，

解得，因此，实数的取值范围是，故答案为.

【点睛】

本题考查基本不等式处理不等式恒成立问题，同时也考查了一元二次不等式的解法，在利用基本不等式求最值时，要创造出定值条件，并对代数式进行配凑，考查化归与转化数学思想，属于中等题.

四、解答题

17．解不等式：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）将不等号右边的1移到左边，转化为一元二次不等式求解即可；

（2）分别解一元二次不等式，再取交集即可.

【详解】

（1）∵，即，得出，

等价于，

∴不等式的解集为.

（2）∵得出，

故不等式组的解集为或.

【点睛】

本题主要考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法，考查了学生的计算能力，属于基础题.

18．已知全集，集合，.

（1）求；

（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.

【答案】（1）或.；（2）.

【解析】（1）求出以及后可得.

（2）根据集合等式关系可得，故可得各集合中范围的端点的大小关系，从而可求实数的取值范围.

【详解】

（1）由题，或，

 或.

（2）由得，则，解得，

由得，则，解得，

∴实数的取值范围为．

【点睛】

本题考查集合的交和补以及在包含的条件下参数的取值范围的求法，注意根据集合的等式关系判断出集合之间的包含关系，本题属于中档题.

19．已知：对于，成立，：关于的不等式成立.

（1）若为真命题，求的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由判别式可得；

（2）先解中关于的不等式，再根据集合包含关系可得．

【详解】

（1）对于，成立，所以，；

（2）因为，由得，又是的必要不充分条件，

所以．

【点睛】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查必要不充分条件的应用，解题对由充分必要条件求参数问题可以利用集合包含关系得出结论．

20．已如函数.

（1）若不等式解集为时，求实数的值；

（2）当时，解关于的不等式.

【答案】（1）或；（2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为或

【解析】(1)由已知可得的两个根为和3，即可求出的值.

(2)分，，三种情况进行讨论求解.

【详解】

（1）∵的解集为，

∴或，∴或

（2）当时

当，即，恒成立.∴

当，即，或

当，即时，或

综上：时，不等式的解集为；

时，不等式的解集为或

时，不等式的解集为或

【点睛】

本题考查二次方程的根与二次不等式的解集间的关系，考查含参数的二次不等式的解法，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.

21．某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4 200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.

(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；

(2)问：当x取何值时，总造价最少？求出这个最小值．

【答案】(1) ； （2）当x＝时，Qmin＝118 000(元).

【解析】（1）设，利用两个举行的总面积为，求得关于的表达式.然后计算各个部分的面积，分别乘以造价，然后相加，可求得总造价关于的表达式.（2）利用函数的单调性求得总造价的最小值.

【详解】

(1)设AM＝y，AD＝x，

则x2＋4xy＝200，∴.

故Q＝4200x2＋210×4xy＋80×2y2＝38 000＋4000x2＋ (0<x<10)．

(2)令t＝x2，则Q＝38 000＋4 000(t＋)，且0<t<200.

∵函数u＝t＋在(0,10]上递减，在[10,200)上递增，

∴当t＝10时，umin＝20.

故当x＝时，Qmin＝118 000(元)．

【点睛】

本小题主要考查实际生活中的函数案例.先求出各个部分的面积之后，可求得总造价.对于总造价的表达式中，含有类似的函数，这样的函数属于对勾函数，在递减，递增.这个结论在平时经常要用到，需要特别的记忆下来.本题属于中档题.

22．设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，记

（1）当时，若，，求和的值

（2）当时，对于中的任意两个不同的元素，.证明：.并举一个使得等号成立的，的例子.

【答案】（1），；（2）答案见解析.

【解析】（1）利用的定义，求得和的值.

（2）由题意设，，求出和，得到，所以即可得出结论，举例当，，利用定义求解即可得出结论.

【详解】

（1）因为，，

所以，

；

（2）当时，对于中的任意两个不同的元素，，

设，，有

，.

对于任意的，，，

当时，有，

当时，有.

即，

所以，

又因为，，

所以，，当且仅当时等号成立，

所以

，

即，

当且仅当（）时等号成立；

当，，

，

，

，

所以.

【点睛】

本题主要考查了新定义概念的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.