北京市育英学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析

这是一份北京市育英学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，解答题，填空题，创新题等内容，欢迎下载使用。
北京育英学校2019-2020学年高一上数学期中试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1. 已知全集，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据集合的交、补运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以所以故选：B【点睛】本题考查集合的混合运算，属于基础题.2. 命题对任意，都有的否定为（    ）A. 对任意，都有 B. 不存在，使得C. 存在，使得 D. 存在，使得【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可判断；【详解】解：因为命题对任意，都有，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故其否定为存在，使得故选：D【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.3. 已知集合，则“”是““的（    ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当时，或．所以“”是“”的充分不必要条件．故A正确．考点：1充分必要条件；2集合间的关系． 4. 函数的最小值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，所以，所以当且仅当，即时取等号；故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.5. 函数的定义域是（  ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】函数要有意义，则需解析式有意义，分式的分母不为0即可.【详解】要是函数有意义，则需，解得，所以函数的定义域为，故选C.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，属于中档题.6. 若，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】直接代入函数解析式计算可得;【详解】解：因为，所以故选：A【点睛】本题考查函数值的计算，属于基础题.7. 已知函数是上的偶函数，当时，，则的解集是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数是上的偶函数，可知函数图象关于y轴对称，解出当时的解，由函数图像的对称性，可知时，的解.【详解】当时,，所以解得，由是上的偶函数知，函数图象关于y轴对称，所以当时，的解为，综上知，的解集为.故选D.【点睛】本题主要考查了偶函数的性质及图象，属于中档题.8. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】直接根据零点存在性定理判断可得；【详解】解：因为，定义域为，在上为连续函数且为减函数，，所以，所以函数在上存在一个零点；故选：C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用，属于基础题.9. 下列各组函数为同一个函数的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】分析】判断两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同，判断即可．【详解】对于A：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，对于B：定义域为，定义域为，函数的定义域相同，且函数关系式一样，故是同一函数，对于C：定义域为，定义域为，两个函数的定义域相同，但是函数关系式不相同，故不是同一函数，对于D：定义域为，定义域为，定义域不相同，故不同一函数，故选：B【点睛】本题考查函数的基本知识，两个函数相同的判断方法，属于基础题．10. 如图，设有圆和定点，当从开始在平面上绕匀速旋转（旋转角度不超过）时，它扫过的园内阴影部分的面积时间的函数，它的图象大致是如图所示的四种情况中的哪一种？（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由图象可以看出，阴影部分的面积一开始增加得较慢，面积变化情况是先慢后快然后再变慢，由此规律找出正确选项【详解】解：观察可知阴影部分的面积变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知选项C符合要求，故选：C．【点睛】本题考查直线与圆相交的性质，解答本题的关键是根据所给的图形得出直线扫过的阴影部分的面积变化规律，利用函数的思想找出正确答案，本题考查识图的能力以及根据实际问题选择函数模型的能力．11. 已知函数满足：①；②，则的值为（    ）A. 或 B. 或 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】依题意可得在上的最大值为，求出函数的对称轴，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可．【详解】解：因为函数满足：①；②，即函数在上的最大值为，因为，对称轴是，开口向下，当时，在，递增，在，递减，故，解得：，不合题意，时，在，递增，故，解得：，符合题意，故选：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．12. 已知关于的方程组：(其中)无解，则必有（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由已知可得方程无解，所以，且不同时为1，然后利用基本不等式可得答案【详解】解：由方程组得，所以方程无解.所以当，且不同时为1，其中，∴，即.故选：B【点睛】此题考查基本不等式的应用，考查数学转化思想，属于中档题.二、解答题（本大题共3题，共计40分）13. 已知全集，集合，（1）求集合（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分析可得，是不等式的解集，由不等式的解法，容易解得，进而可得可得答案．（2）根据，利用区间端点值建立不等关系，最后解不等式组即可求实数的取值范围．【详解】解：（1）因为全集，集合，所以或所以，即集合（2）因为，所以解得所以【点睛】本题考查集合间的交、并、补的混合运算，这类题目一般与不等式、方程联系，难度不大，注意正确求解与分析集合间的关系即可，属于基础题．14. 已知（1）判断函数的奇偶性，并说明理由.（2）求证：函数在区间上单调递减.（3）判断函数的零点个数.（只需写出结论）【答案】（1）非奇非偶函数；（2）证明见解析；（3）1个【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域，即可判断；（2）按照定义法证明函数的单调性；（3）将函数的零点转化为函数与的交点个数，数形结合即可判断；【详解】解：（1）因为，所以函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数；（2）设且，因为且，所以，，所以所以函数在区间上单调递减.（3）因为的零点个数，即函数与的交点个数，在同一平面直角坐标系上画出函数图象，由图可得，两函数只有一个交点，故函数有1个零点； 【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，函数的单调性的证明，以及函数的零点问题，属于中档题.15. 已知函数.（1）求不等式的解集（2）在平面直角坐标系中画出函数在区间上的图象（3）设，求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）函数图象见解析；（3）【解析】【分析】（1）依题意将函数解析式写出分段函数的形式，再分类讨论，分别求出不等式的解集，最后取并集即可；（2）根据函数解析式画出函数图象即可；（3）结合函数图象得到函数的单调区间，再对参数分类讨论，求出函数的最大值；【详解】解：（1）因为当时，即解得当时，即解得综上可得（2）函数图象如下所示：（3）由函数图象可得函数在和上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，所以，因为，，若即解得，即当时，当时，综上可得【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，考查分类讨论思想，属于中档题.三、填空题（本大题共6题，每小题5分，共计30分.）16. 已知关于的方程的解集为，则________【答案】【解析】【分析】直接利用韦达定理计算可得；【详解】解：因为关于方程的解集为所以、是方程的两个实数根，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.17. 函数的零点是________【答案】，【解析】【分析】根据函数解析式，令，分别求出所对应的的值，即可得解；【详解】解：因，令，当时，，解得当，，解得（舍去）或故函数的零点为，故答案为：，【点睛】本题考查函数的零点的计算，属于基础题.18. 函数满足下列条件：①函数的定义域为②函数的图象关于对称③函数不是二次函数.写出一个函数的解析式：__________【答案】【解析】【分析】本题是一个开放题，根据题意构造函数即可；【详解】解：依题意，函数满足下列条件：①函数的定义域为②函数的图象关于对称③函数不是二次函数.故答案为：【点睛】本题属于开放题，只需找出符合题意的函数解析式即可，属于基础题.19. 设是定义在上的偶函数，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【详解】解：是定义在上的偶函数，且在上是减函数，不等式，等价为，即，所以，即，即，解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．20. 函数的值域为_______（其中表示不大于的最大整数）【答案】【解析】【分析】由题设中的定义，可对分区间讨论，设表示整数，综合此四类即可得到函数的值域【详解】解：设表示整数．①当时，，．此时恒有．②当时，，．此时恒有．③当时，  ，此时恒有④当时，    此时，此时恒有．综上可知，．故答案为：．【点睛】此题是新定义一个函数，根据所给的规则求函数的值域，求解的关键是理解所给的定义，一般从函数的解析式入手，要找出准确的切入点，理解表示数的整数部分，考察了分析理解，判断推理的能力及分类讨论的思想21. 给定数集，对于任意，有且，则称集合为闭集合．①集合为闭集合；②集合为闭集合；③若集合，为闭集合，则为闭集合；④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得．其中，全部正确结论的序号是______．【答案】②【解析】分析】根据新定义的概念得出：①举反例说明命题错误；②可以通过理论证明命题正确；③举反例说明命题错误；④举例说明命题错误．【详解】解：①当、时，，集合不是闭集合，命题错误；②任取、，则，，、；，，同理，，是闭集合，命题正确；③，是闭集合，，是闭集合，且，，但，不是闭集合，命题错误；④集合是闭集合，，是闭集合，且，，则，对于任意的，则，命题错误．正确命题的序号是②．故答案为：②．【点睛】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于基础题．四、创新题（本大题共1小题，共计20分）22. 设函数的定义域分别为，且.若对于任意，都有，则称是在上的一个延拓函数.给定.（1）若是在上的延拓函数，且为奇函数，求的解析式.（2）设为在上的任意一个延拓函数，且是上的单调函数，试判断函数在上的单调性，并加以证明.（3）在（2）的条件下，设，求证：（4）在（2）的条件下，求证：关于的不等式有解.【答案】（1）（2）函数 是上的增函数，证明见解析；（3）证明见解析；（4）证明见解析；【解析】【分析】（1）先求出，再求出，时的解析式，即可得出的解析式；（2）函数 是，上的增函数，利用导数知识可求；（3）确定函数是，上的增函数，可得，同理可得：．将上述两个不等式相加，并除以，即可得出结论．（4）取，满足，记；由（3）知；同理可得，即可得证；【详解】解：（1）当时，由为奇函数，得． 任取，，则，，由为奇函数，得， 所以的解析式为   （2）函数 是上的增函数． 证明如下：因为为在上的一个延拓函数，所以当时，．记，则，所以函数是上的增函数． （3）由 是 上的单调函数，且，时，是增函数，从而得到函数是，上的增函数． 因为，，所以，，所以，即．同理可得：．将上述两个不等式相加，并除以，即得． （4）取，满足，记；由（3）知；同理可得：，；一定存在，使得；故不等式有解．【点睛】本题以新定义为切入点，主要考查了利用偶函数的性质求解函数的解析式，属于函数知识的综合应用，属于难题．