高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性教学设计

《函数的奇偶性与简单的幂函数》教学设计

1．了解函数奇偶性的概念，会利用定义证明简单函数的奇偶性．

2．感受数学对称的内涵和形式的优美．

3．了解幂函数的概念，通过梳理，理解简单幂函数的变化规律．

重点：用定义证明函数的奇偶性；掌握幂函数概念．

难点：理解简单幂函数的图象与性质．

一、新课导入

1．2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．下图是参选的会徽设计的一部分图形，试着分析它们的对称性(不考虑色彩因素)．

（1）                      （2）             （3）

可以判断出：图（2）既是中心对称图形，又是轴对称图形；图（1）（3）既不是中心对称图形，也不是轴对称图形．

2．画出函数，，的图象，观察它们的对称性．

函数图象如下：

从图象可以看出，函数，的图象分别为直线、双曲线，它们既是中心对称图形，又是轴对称图形，它们都以坐标原点为对称中心，但坐标轴不是其对称轴；

函数是最简单的二次函数，图象是抛物线，关于y轴对称．

设计意图：两个问题的情境从几何图形到函数图象，由平面图形的对称性判断到平面直角坐标系中图象的对称性分析，同时选择函数，，为例也为学习幂函数做准备．

二、新知探究

问题1：（1）画出函数的图象，并观察它的对称性．

答案：先列表，如下，

通过描点连线，画出函数的图象，如下图．结合图象，可以看出函数的图象关于原点对称．

追问1：你能说出函数的解析式是怎样体现关于原点对称这个性质的吗？

答案：对于定义域中的任一个自变量x，都有，即=．

追问2：根据上述结论，利用函数的解析式判断，的图象是否关于原点对称．

答案：因为对任意的x，都有即对定义域中的任意x，都有成立，所以函数和的图象都关于原点对称．

问题2：利用上面的结论判断函数是否满足上述性质？如果不满足，函数具有怎样的对称性？试着利用函数解析式加以说明．

答案：因为对任意的x，都有，即对定义域中的任意x，都有成立，因此函数不关于原点对称，结合学过的知识可知函数的图象关于轴对称．

设计意图:通过具体例子，抽象概括出像，，这样的函数，满足对定义域中的任意x，都有成立;像这样的函数，对定义域中的任意x，都有成立．

奇函数与偶函数：

一般地，设函数的定义域是A，如果对任意的xA，有-xA，且，那么称函数为奇函数，奇函数的图象关于原点中心对称，反之亦然．

设函数的定义域A，如果对任意的xA，有xA，且，那么称函数为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然．

问题3：函数是否具有奇偶性？

答案：因为函数=的定义域为[0，），不关于原点对称，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数．即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．

设计意图:通过研究函数的奇偶性，既巩固对函数奇偶性概念的理解，又为简单幂函数的学习积累经验．

问题4：函数，，，的解析式有什么共同特性呢？

答案：和表示为和，由此我们发现函数，，，的解析式都可以写成（α为常数）这种形式．

追问：我们该如何定义形如（α为常数）这种形式的函数呢？

答案：形如（α为常数）这样的函数称为幂函数．

问题6：你会画函数，，，的图象吗？请将这5个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写下表．

答案：画出图象如下

追问：通过观察上述函数图象你能发现它们有哪些特点？

答案：可以发现它们在第一象限内都有图象，在第四象限内都没有图象．

问题7：通过上述几个幂函数的图象和特点，你能总结出幂函数有哪些性质？

答案：幂函数的上述性质可以归纳如下：

（1）当0时，图象都过点（0,0）（1，1）；在第一象限内，函数单调递增．

（2）当0时，图象都过点（1，1）；在第一象限内，函数单调递减，图象向上与y轴无限接近．

三、应用举例

例1根据定义判断下列函数的奇偶性：

（1）；      （2）；

（3） ；        （4）．

分析：根据函数奇偶性的定义来判断．

解：（1）依题意知的定义域为R，且对于任意的xR，有，，即所以函数是奇函数．

（2）依题意知函数的定义域为R，且对于任意的xR，有=，即．所以函数偶函数．

（3）依题意知函数的定义域是{x∣x≠0}，且对于定义域内任意的，有即所以函数是偶函数．

（4）根据定义知，如果一个函数是奇函数或偶函数，它的定义域是关于原点对称的．而函数．的定义域为{x∣x≠2}，它不关于原点对称，所以既不是奇函数，也不是偶函数．

例2已知函数f(x)是在定义上的偶函数，当x（）时，f(x)=x-，则当x（0，）时，求函数f(x)的解析式．

分析：已知函数在当x（，0）的解析式，欲求x（0，）的解析式，需先将自变量范围转化到（，0）．

解：对任意的x（0，），-x（，0），当x（，0）时，f(x)=，

所以f(-x)=．又因为f(x)是定义在（，）上的偶函数，

所以当x（0，）时，f(x)=f(-x)． 

例3函数的图象是（C）

解：由幂函数的性质：当0时，图象都过点（0，0）（1，1）；在第一象限内，函数单调递增，在该题中，在第一象限内，函数单调递增，故答案选C．

四、课堂练习

1．根据定义，判断下列函数的奇偶性：

（1）；      （2）；

（3） ；        （4）．

2．已知幂函数f(x)的函数图象经过点（2，），则函数f(x)为（　　）

A．奇函数且在（0，）单调递增

B．偶函数且在（0，）单调递减

C．既不是奇函数，又不是偶函数且在（0，）单调递增

D．既不是奇函数，又不是偶函数且在（0，）单调递减

参考答案：

1．（1）函数的定义域为{│}，不关于原点对称，故既不是奇函数又不是偶函数．

（2）函数的定义域为R，关于原点对称，，所以是奇函数．

（3）由，得，即，函数定义域为，关于原点对称，又，故既是奇函数又是偶函数．

（4）函数定义域关于原点对称，当时，-，.

当时，-，，所以，故是奇函数．

2．将代入函数中，得到，所以，由幂函数的性质可知答案选C．

五、课堂小结

1．函数的奇偶性：一般地，设函数的定义域是A，如果对任意的A，有-A，且，那么称函数为奇函数，奇函数的图象关于原点中心对称，反之亦然．

设函数的定义域A，如果对任意的A，有-A，且，那么称函数为偶函数，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦然．

2．幂函数的概念：形如（α为常数）这样的函数称为幂函数．

3．幂函数的性质：当0时，图象都过点（0，0）（1，1）；在第一象限内，函数单调递增．当0时，图象都过点（1，1）；在第一象限内，函数单调递减，图象向上与y轴无限接近．

六、布置作业

教材第67页练习题A组第1~4题．