2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）数据1，2，3，4，5，6，7，8的75百分位数为　　
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
2．（5分）设复数满足为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）某船以24海里的速度沿着正北方向行驶，在点处测得灯塔在船的北偏东方向上，后到点处测得灯塔在船的北偏东方向上，则船到达点时与灯塔的距离是　　
A．6 海里 B．海里 C．海里 D．3 海里
4．（5分）某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为、，新平均分和新方差分别为、，若此同学的得分恰好为，则　　
6666666666666
A．， B．， C．， D．，
5．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
6．（5分）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于　　
A． B． C． D．
7．（5分）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，，，若，则的值为　　

A． B． C． D．
8．（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，角的角平分线交于点，若，且，，则的值为　　
A． B． C．3 D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．（5分）若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有　　
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”
D．“甲站排头”与“乙站排尾”
10．（5分）已知，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，且与不平行，，，则
11．（5分）下列说法正确的是　　
A．已知，，若，则
B．在中，若，则点是边的中点
C．已知正方形的边长为1，若点满足，则
D．若，共线，则
12．（5分）下列条件中，能推导出是钝角三角形的是　　
A．在平面直角坐标系中，，，
B．
C．
D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是　　．
14．（5分）若，则的值为 　　．
15．（5分）如图，在中，点在边上，，，，．则的长为 　　．

16．（5分）如图，在正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为4，为中点，为中点，是线段上的动点，是平面上的动点，则最小值是 　　．

四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
18．（12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．
在中，内角，，的对边分别为，，，，，______．
（1）求角，，的大小；
（2）求的周长和面积．
19．（12分）已知向量，且．
（1）求函数在区间，上的最值；
（2）设，，，求的值．
20．（12分）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，又平面，且，点在棱上且．
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值．

21．（12分）由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
质量指标值





产品等级





为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图（设“”时，发现满足：，，．
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件级品的概率；
（3）求样本质量指标值的平均数（各分组区间的数据以该组区间的中点值代表）．
22．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求角的值；
（2）若点为中点，且，求中线的最大值；
（3）求的最小值．

2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区金陵中学高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）数据1，2，3，4，5，6，7，8的75百分位数为　　
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【分析】由百分位数的定义直接求解即可．
【解答】解：数据共有8个，，
故第75百分位数是数据从小到大排序后的第6、7个数的平均数，
即，
故选：．
【点评】本题考查了百分位数的应用，属于基础题．
2．（5分）设复数满足为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】把已知的等式变形，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标得答案．
【解答】解：由，得
，
，对应的点为在第四象限．
故选：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3．（5分）某船以24海里的速度沿着正北方向行驶，在点处测得灯塔在船的北偏东方向上，后到点处测得灯塔在船的北偏东方向上，则船到达点时与灯塔的距离是　　
A．6 海里 B．海里 C．海里 D．3 海里
【分析】作出图形，则，，，利用正弦定理解出．
【解答】解：由题意可知，，，
，
在中，由正弦定理得，即，
解得，
即船到达点时与灯塔的距离是海里．
故选：．

【点评】本题考查了利用正弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于基础题．
4．（5分）某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为、，新平均分和新方差分别为、，若此同学的得分恰好为，则　　
6666666666666
A．， B．， C．， D．，
【分析】根据平均数和方差的公式计算比较即可．
【解答】解：设这个班有个同学，数据分别是，，，，
第个同学没登录，
第一次计算时总分是，
方差是
第二次计算时，，
方差，
故，
故选：．
【点评】本题考查了求平均数和方差的公式，考查对应思想，是一道基础题．
5．（5分）已知，则　　
A． B． C． D．
【分析】由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，计算求得要求式子的值．
【解答】解：，，，
则，
故选：．
【点评】本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
6．（5分）前一段时间，高一年级的同学们参加了几何模型的制作比赛，大家的作品在展览中获得了一致好评．其中一位同学的作品是在球当中放置了一个圆锥，于是就产生了这样一个有趣的问题：已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，若圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于　　
A． B． C． D．
【分析】设球半径为，圆锥底面半径为．利用扇形的弧长，面积公式求得，即可求解．
【解答】解：如图，设圆锥的母线为，因为圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，
设球半径为，圆锥底面半径为．圆锥的母线为，
根据扇形的面积公式可得：，
根据扇形的弧长公式可得：，
解得，，圆锥的高，
则有，解得，
则球的表面积等于．
故选：．

【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，圆柱的体积和表面积，其中熟练掌握球和圆锥的体积表面积公式，是解答的关键．
7．（5分）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，，，若，则的值为　　

A． B． C． D．
【分析】由平行四边形法则可得，再由，，三点共线可得，由此即可求解．
【解答】解：由已知可得，
因为，，三点共线，所以，即，
又，联立解得，所以，
故选：．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三点共线的性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
8．（5分）在中，角、、所对的边分别为、、，角的角平分线交于点，若，且，，则的值为　　
A． B． C．3 D．
【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得的值，进而求得的值，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，可得，解得，的值，进而根据余弦定理可得的值．
【解答】解：由正弦定理化简已知等式得：，即：，
故，
由于，
可得：，
因为角的角平分线交于点，可得，
所以由余弦定理可得，，
因为，
所以，即，整理可得，，
所以由余弦定理可得．
故选：．

【点评】本题主要考查了解三角形问题，考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．（5分）若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有　　
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙不站排尾”
C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”
D．“甲站排头”与“乙站排尾”
【分析】把“甲、乙、丙三个人站成一排”按照“排头、排中、排尾”进行分类可解决此题．
【解答】解：按照站排头可分为三种情况：甲在排头、乙在排头、丙在排头，对错；
“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾” “甲站排中”与“乙站排中”是互斥的，对；
“甲站排头”包括“乙站排尾”， 错．
故选：．
【点评】本题考查互斥事件，考查数学抽象能力及推理能力，属于基础题．
10．（5分）已知，是两条不同的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，且与不平行，，，则
【分析】由线面平行的性质和线面的位置关系，可判断；由线面垂直的性质和面面垂直的定义，可判断；由面面垂直的性质和线面的位置关系，可判断；由面面平行的判定定理，可判断．
【解答】解：对于，若，，可得或，，故错误；
对于，若，，，由线面垂直的性质和面面垂直的定义，可得，故正确；
对于，若，，，可得或或，相交，故错误；
对于，若，，且与不平行，即，相交，由，，则，故正确．
故选：．
【点评】本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，主要是垂直和平行的判定和性质，考查转化思想和推理能力，属于中档题．
11．（5分）下列说法正确的是　　
A．已知，，若，则
B．在中，若，则点是边的中点
C．已知正方形的边长为1，若点满足，则
D．若，共线，则
【分析】由向量共线的坐标运算求得值判断；由向量加法的平行四边形法则判断；画出图形，由平面向量基本定理及向量的数量积运算判断；由向量共线与模的关系判断．
【解答】解：对于，，，，
若，则，即，故错误；
对于，在中，若，则，
由向量加法的平行四边形法则可知，点是边的中点，故正确；
对于，如图，

，，
则
，故正确；
对于，若，共线同向时，，
反向时，，故错误．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，向量共线的坐标运算及平面向量基本定理的应用，是中档题．
12．（5分）下列条件中，能推导出是钝角三角形的是　　
A．在平面直角坐标系中，，，
B．
C．
D．
【分析】对于选项，由题意可得为三角形最大角，由余弦定理可得，可得为钝角，即可判断；对于选项，由，不妨设、为锐角，则可得，可得也为锐角，可知为锐角三角形，即可判断；对于选项，利用同角三角函数基本关系式可得，进而可知为钝角，即可判断；对于选项，取，满足条件，但为锐角三角形，不能推导出是钝角三角形，即可判断．
【解答】解：对于选项，，，，
则，由余弦定理可得，可得为钝角，故正确；
对于选项，由于，
由于中至少有两个锐角，不妨设、为锐角，
则，可得，
所以为锐角，进而可知为锐角三角形，故错误；
对于选项，，
即，进而可知为钝角，能推导出是钝角三角形，故正确；
对于选项，取，满足，
但为锐角三角形，不能推导出是钝角三角形，故错误．
故选：．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是　　．
【分析】分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数，由古典概率的计算公式可得所求值．
【解答】解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为种，
而点数和为5的事件为，，，，共4种，
则点数和为5的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概率的求法，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）若，则的值为 　2　．
【分析】由题意可得，即，代入的展开式，化简可得结果．
【解答】解：若，则，
．
，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式，注意公式的灵活应用，属于中档题．
15．（5分）如图，在中，点在边上，，，，．则的长为 　　．

【分析】利用诱导公式可求的值，利用余弦定理计算的长和的值，可得到的值，最后解即可求解．
【解答】解：，，
．
，，
在中，由余弦定理可得，
，，
，，
在中，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16．（5分）如图，在正三棱锥中，侧棱长为，底面边长为4，为中点，为中点，是线段上的动点，是平面上的动点，则最小值是 　　．

【分析】取的中点，连接，则，可证平面，得到当最小时，平面，将沿翻折到平面上，则的最小值为到的距离，再求出最小值即可．
【解答】解：取的中点，连接，
则，，
因为，，为的中点，
所以，，
所以平面，又，
所以平面，
所以当最小时，平面，
故点在线段上，
因为，，
所以，故，
所以，又，
所以，
将沿翻折到平面上，如图所示，

则，
则的最小值为到的距离．
故答案为：．
【点评】本题考查空间几何体中的距离问题，需要学生有较强的空间想象能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题10分，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，且与垂直，求与的夹角．
【分析】（1）设，结合向量平行的坐标表示及模长公式可求，，进而可求；
（2）由题意结合向量数量积的性质即可直接求解．
【解答】解：（1）设，
由题意得，
解得或，
故或；
（2）由题意得，，
所以，
所以，
故，
因为，，
所以．
【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示及向量数量积的性质，属于基础题．
18．（12分）在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．
在中，内角，，的对边分别为，，，，，______．
（1）求角，，的大小；
（2）求的周长和面积．
【分析】（1）若选择①：利用三角函数恒等变换的应用，结合范围，可求，，利用两角差的余弦函数公式可求，结合，可求，可得；
若选择②：（法一）由题意，利用基本不等式可求，可得，利用三角形的内角和定理可求的值；
（法二）设，为方程，的两根，利用一元二次方程的解法可得，且，，可求，利用三角形的内角和定理可求的值；
（2）由正弦定理可求，利用三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）若选择①：
因为，，所以（2分）
所以，
因为，所以，（4分）
又因为，
所以，（6分）
若选择②：
（法一）由题意知，，，
所以（2分）
因为当且仅当时，上式的等号成立，且，（3分）
所以（5分）
所以（6分）
（法二）设，为方程，的两根（2分）
解得，且，（4分）
所以（5分）
所以（6分）
（2）由正弦定理知：（7分）
因为，，
所以（9分）
所以的周长为（10分）
所以的面积（12分）
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式，一元二次方程的解法，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．
19．（12分）已知向量，且．
（1）求函数在区间，上的最值；
（2）设，，，求的值．
【分析】（1）根据，求出，利用辅助角公式化简，由的范围求得函数的最值即可；
（2）由，求得与的值，令，得，再根据求解即可．
【解答】解：（1），，
，
，，，，
当，即时，；
当，即时，．
（2），，
，，，
，
令，则，，
，
其中，，
．
【点评】本题考查平面向量的性质及其运算，三角恒等变换，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，又平面，且，点在棱上且．
（1）求证：平面；
（2）求锐二面角的余弦值．

【分析】（1）取中点，连结，可证明四边形为平行四边形，得到，结合线面垂直的判定定理证明平面，可得，再由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）过点作垂足为，连结，利用二面角的平面角的定理，可得即二面角的平面角，然后利用边角关系求出，再利用同角三角函数关系求解即可．
【解答】解：（1）证明：取中点，连结，
因为，，所以，
故四边形为平行四边形，
所以，则，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，又，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，，
所以平面；
（2）在中，过点作垂足为，连结，
由（1）知，平面，又平面，所以，
，平面，，所以平面，
又平面，所以．
所以即二面角的平面角，
在中，，
在中，，
所以，所以，
所以锐二面角的余弦值为．

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质，二面角的求解，解题的关键是利用二面角的平面角的定义找到平面角，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．
21．（12分）由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于2019年10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表：
质量指标值





产品等级





为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，在以组距为5画频率分布直方图（设“”时，发现满足：，，．
（1）试确定的所有取值，并求；
（2）从样本质量指标值不小于85的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中一次性随机抽取2件产品，求至少有1件级品的概率；
（3）求样本质量指标值的平均数（各分组区间的数据以该组区间的中点值代表）．
【分析】（1）根据题意，，，按组距为5可分成6个小区间，根据题意可得，15，16，17，18，19，分别算出每一组的频率，按照频率之和为1，再计算的值．
（2）分别计算出，，，的频率，，100】的频率，利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，，的有4件，分别记作，，，；，的有3件，分别记作，，，再利用列举法得从抽取的7件产品中任取2件产品，样本空间的个数，事件 “随机抽取的2件产品中至少有一件级品“个数，再由古典概型公式，计算出（A）．
（3）分别算出每一组的概率乘以各自组中值之和，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意，，，按组距为5可分成6个小区间，
分别是，，，，，，，，，，，．
因为，由，，
所以，15，16，17，18，19，
每个小区间对应的频率值分别是
所以，
解得．
（2）由（1）中的数据，得
，的频率为；
，的频率为；
，100】的频率为，
利用按比列分配分层随机抽样抽取的7件产品中，
，的有4件，分别记作，，，；
，的有3件，分别记作，，，
从抽取的7件产品中任取2件产品，则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以．
事件 “随机抽取的2件产品中至少有一件级品“，
则，，，，，，，，，，，，，，，
所以（A），
由古典概型公式，得（A）．
（3），的概率为，
，的概率为，
，的概率为，
，的概率为0.4，
，的概率为0.2，
，的概率为0.1，
．
【点评】本题考查统计与概率，解题中注意分层抽样，古典概型的应用，属于中档题．
22．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知．
（1）求角的值；
（2）若点为中点，且，求中线的最大值；
（3）求的最小值．
【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合范围，可求的值．
（2）由已知利用余弦定理，基本不等式即可求解最大值．
（3）由题意可得，利用三角函数恒等变换的应用化简可得原式，令，利用基本不等式可得原式，即可得解．
【解答】解：（1）因为，
由正弦定理，得，
因为在中，，
所以，即，
又因为，，
所以，
因为，
所以．
（2）在和中，由余弦定理得：，，
两式相加得，
又由余弦定理，所以，
即，，
所以最大值为，当且仅当时等号成立．
（3）因为，
所以

，

，
令，原式，
当且仅当时等号成立．即的最小值为．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
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日期：2021/8/23 17:49:18；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394