2022-2023学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省揭阳市榕城区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形中为中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知，则下列各式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列命题中，是假命题的是(    )

A. 两点之间，线段最短 B. 对顶角相等
C. 直角的补角仍然是直角 D. 同旁内角互补

4.  在中，，，的对边分别记为，，，下列结论中不正确的是(    )

A. 如果，那么是直角三角形且
B. 如果：：：：，那么是直角三角形
C. 如果：：：：，那么是直角三角形
D. 如果，那么是直角三角形

5.  如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )

 

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在中，，，点在上，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  关于的一元一次不等式的解集为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为、将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  点先向右平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为        ．

12.  等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是____．

13.  若点在第一象限，则的解集为______．

14.  若不等式组有解，则的取值范围是______．

15.  如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点；的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．

17.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
画出关于点成中心对称的；
画出绕点顺时针旋转所得的，并直接写出线段在旋转过程中扫过的面积是        结果保留

18.  本小题分
关于的两个不等式与．
若两个不等式的解集相同，求的值．
若不等式的解都是的解，求的取值范围．

19.  本小题分
已知：如图，在中，，．
求作边的垂直平分线，交于点、交于点要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
在的条件下，连接，求的角度．
 

20.  本小题分
已知关于，的方程组的解满足，．
求的取值范围；
在的取值范围内，当取何整数时，不等式的解集为？

21.  本小题分
如图，是等腰三角形，，点是上一点，过点作交于点，交延长线于点．
证明：是等腰三角形；
若，，，求的长．
 

22.  本小题分
随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为元、元的、两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：

求，两种型号的净水器的销售单价；
若电器公司准备用不多于元的金额在采购这两种型号的净水器共台，求种型号的净水器最多能采购多少台？
在的条件下，公司销售完这台净水器能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

23.  本小题分
如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒个单位长度．
当时，______，______；请直接写出答案
当______时，是直角三角形；请直接写出答案
求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A、、不符合题意；
选项B中的图形是中心对称图形，故B符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断．
本题考查中心对称图形，关键是找到对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
故A不符合题意；
，
，
故B符合题意；
当时，，
故C不符合题意；
，
，
，
故D不符合题意，
故选：．
根据不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，分别判断即可．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、两点之间，线段最短是真命题；
B、对顶角相等是真命题；
C、直角的补角仍然是直角是真命题；
D、如果两直线不平行，同旁内角不互补，所以同旁内角互补是假命题；
故选：．
根据线段、对顶角、补角、平行线的性质判断即可．
此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：如果，那么是直角三角形且，不合题意；
如果：：：：，
设，则，，
则，
解得，，
则，，，
那么不是直角三角形，符合题意；
如果：：：：，
则如果，
那么是直角三角形，不合题意；
如果，那么是直角三角形，不合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形的判定定理解得即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，
在中，，
由旋转的性质得 ，，
在 中，．
故选：．
在中，由勾股定理解得的长，再根据旋转的性质得到，，，在 中再利用勾股定理解得的长即可．
本题考查旋转变换、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选C．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理．同时涉及三角形外角的性质．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
【解答】
解：，，
，
，
在中，
，
．
故选D．  

8.【答案】 

【解析】解：解不等式得：，
不等式的解集为，
，
解得，
故选：．
先用含有的式子把原不等式的解集表示出来，然后和已知解集进行比对得出关于的方程，解之可得的值．
本题主要考查解一元一次不等式，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
 

9.【答案】 

【解析】解：作于，

平分，，，
，
，
故选：．
作于，根据角平分线的性质求得，然后根据三角形面积公式求得即可．
本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为一平行四边形的面积．
根据题意，线段扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是的长，底是点平移的路程．求当点落在直线上时的横坐标即可．
【解答】
解：如图所示．

点、的坐标分别为、，
．
，，
．
．
点在直线上，
，解得：．
即．
．
．
即线段扫过的面积为．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：点先向右平移个单位，再向下平移个单位后的坐标为，
即：．
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所求点的坐标是，进而得到答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

12.【答案】或 

【解析】

【分析】
考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．
【解答】
解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是；
当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是．
故答案为：或．  

13.【答案】 

【解析】解：点在第一象限，
，
即；
不等式，
，
不等式两边同时除以，得：
，
故答案为：．
第一象限的点的横坐标大于，纵坐标大于，即，则；解这个不等式组就是不等式左右两边同时除以，因为，不等号的方向不变．
本题考查了不等式的性质，解不等式，系数化为的过程中，一定要先判断两边所除的式子的符号．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
考查了不等式组的解集，求不等式组的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先解出不等式组的解集，根据已知不等式组有解，即可求出的取值范围．
【解答】

解：
由得，
由得，
故其解集为，
，即，
的取值范围是．
故答案为．

15.【答案】 

【解析】解：，分别为，的垂直平分线，，
，，
，
，
，，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，即，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的外角性质求出，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

16.【答案】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
则．
在数轴上表示为：
． 

【解析】首先去分母，然后去括号，移项、合并同类项，系数化为，即可求得原不等式的解集．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图所示，即为所求，

解：如图所示：即为所求，如图：

，，
故线段在旋转过程中扫过的面积为：．
分别作出点、的对应点、，再连线即可画得；
分别作出点、、的对应点，，，再连线即可画得；再利用扇形的面积公式计算即可．
此题主要考查了扇形面积公式的应用，画中心对称图形及旋转图形，根据已知得出对应点的位置是解题关键．
 

18.【答案】解：利用不等式的基本性质，由得：，
由得：，
由两个不等式的解集相同，得到，
解得：；

由不等式的解都是的解，得到，
结合的结论，可得：． 

【解析】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值利用不等关系求解．
利用不等式的基本性质，求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出的值即可；
根据不等式的解都是的解，结合的结论，求出的范围即可．
 

19.【答案】解：如图所示，直线就是所要求作的，

如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
由作图可知是边的垂直平分线，
，
，
，
． 

【解析】本题考查尺规基本作图作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的作法与性质是解题的关键．
分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线交于，交于即可；
先由等腰三角形的性质与三角形内角和定理求得，再根据作图可知是边的垂直平分线，则，所以，然后由三角形内角和定理可求解．
 

20.【答案】解：解方程组得：，
关于，的方程组的解满足，，
，
解得：，
即的取值范围是；

要使不等式的解集为，必须，
解得：，
，
，
整数为，． 

【解析】先求出方程组的解，根据，得出不等式组，再求出不等式组的解集即可；
根据不等式的解集为得出，求出的范围，再根据的结论求出，再求出整数即可．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解二元一次方程组，二元一次方程组的解等知识点，能求出关于的不等式组或不等式是解此题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，，
，
而，
，
，
是等腰三角形；
解：，
，
，，
     
，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】由，可知，再由，可知，，然后由余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论；
根据含角的直角三角形和等边三角形的判定与性质即可得到结论．
本题主要考查等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等知识点，关键根据相关的性质定理，通过等量代换推出，即可推出结论．
 

22.【答案】解：设、两种净水器的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：．
答：、两种净水器的销售单价分别为元、元．
设采购种型号净水器台，则采购种净水器台．
依题意得：，
解得：．
故超市最多采购种型号净水器台时，采购金额不多于元．
依题意得：，
解得：，
故采购种型号净水器台，采购种型号净水器台，公司能实现利润元的目标． 

【解析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
设、两种型号净水器的销售单价分别为元、元，根据台型号台型号的净水器收入元，台型号台型号的净水器收入元，列方程组求解；
设采购种型号净水器台，则采购种型号净水器台，根据金额不多余元，列不等式求解；
设利润为元，列方程求出的值为，符合的条件，可知能实现目标．
 

23.【答案】     或秒 

时，如图，过点作于，
则，
，
；
时，，；
时，如图，过点作于，
则，
，
，
综上所述，或或秒时，是等腰三角形． 

【解析】

解：时，，
，，，
，
；

时，，
即，
解得，
所以，
秒；
时，点和点重合，
秒，
综上所述，或秒；
故答案为：，；或秒；
见答案
【分析】
根据速度时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出，再根据代入数据进行计算即可得解；
分时，利用的面积列式计算即可求出，然后利用勾股定理列式求解得到，再根据时间路程速度计算；时，点和点重合，然后根据时间路程速度计算即可得解；
分时，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得到；时，；时，过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由的结论解答．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．