浙江省宁波市鄞州区宁波鄞州新蓝青学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（含答案）

2023.6蓝青初二期末加试

参考答案与试解析

一．选择题（共10小题）

1. 若，则的值为（    ）

A. 0   B. 1   C. 2   D. 3

【解答】解：根据题意得，

即，

∴或，

解得或，

∵，

∴，不满足条件；

只有，时，满足，

∴当，时，原式

．

故选：D．

2. 在△ABC中，，动点P从点A沿线段AB向点B移动，一动点Q从点B沿线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为，点Q的速度为，当Q到达点C时两点同时停止运动，若使△PBO的面积为5，则点P运动的时间是（    ）

A. 1s   B. 4s   C. 5s或1s   D. 4s或1s

【解答】解：设点P运动的时间为ts，则，

依题意得：，

整理得：，

解得：，

∵当Q到达点C时两点同时停止运动，

∴，

∴，

∴

故选：A．

3. 若，，…，的平均数为a，，，…，的平均数为b，则，，…，的平均数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解答】解：∵，，…，的平均数为a，

∴，，…，的总数为10a，

又∵，，…，的平均数为b，

∴，，…，的总数为20b，

∴，，…，的总数为，

∴，，…，的平均数为，

故选：C．

4. 如图，已知四边形ABCD中，，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是（    ），

A. 3   B. 3  C. 3  D.

【解答】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，

∵E、F分别是边AD、CB的中点，

∴且，

且，

∵，

∵，

∴．

故选：C．

5. 如图所示，点E为ABCD内一点，连接EA，EB，EC，ED，AC，已知△BCE的面积为2，△CED的面积为10，则阴影部分△ACE的面积为（    ）

A. 6   B. 8   C. 10   D. 12

【解答】解：如图，过点B作于点F，

设△ABE和△CDE的AB和CD边上的高分别为a和b，

∴，，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

故选：B．

6. 已知△ABC中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：

①∴，这与三角形内角和为矛盾

②因此假设不成立．∴

③假设在△ABC中，

④由，得，即．

这四个步骤正确的顺序应是（    ）

A. ④③①②   B. ③④②①   C. ①②③④   D. ③④①②

【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：

1、假设在△ABC中，

2、由，得，即，

3、∴，这与三角形内角和为矛盾，

4、因此假设不成立．∴，

故选：D．

7. 将6张宽为1的小长方形如图1摆放在平行四边形ABCD中，则平行四边形ABCD的周长为（    ）

A.  B.  C.  D.

【解答】解：过点A作于F，过点C作于E，如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，，

∴四边形AFCE是矩形，

∴，

∴，

由图形可知：，

∴△AFB与△CED都是直角边为4的等腰直角三角形，

∴，

∴平行四边形ABCD的周长为，

故选：D．

8. 如图，点A（a，b）在双曲线上，，，过A作轴，垂足为C．OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（    ）

A. 4  B. 5   C. 2  D.

【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B，

∴，

∴△ABC的周长，

设，

则有方程组，

解得，

即△ABC的周长．

故选：B．

9. 已知二次函数，当自变量为时，其函数值大于零；当自变量为，时，其函数值分别为，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【解答】解：∵二次函数，

∴该函数图象开口向下，当时，该函数取得最大值，当时，，

该函数与y轴的交点为（0，c），在y轴的负半轴，

∴点（2，c）在该函数图象上，在x轴下方，

∵当自变量为时，其函数值大于零，

∴，

∴，

∵当自变量为与时，其函数值分别为，，

∵，

故选：B．

10. 定义符号min{a，b}的含义为：当时min{a，b}＝b；：当a＜b时min{a，b}＝a．如：min{l，－3}＝－3，min{－4，－2}＝－4，则的最大值是（    ）

A.  B.  C. 1   D. 0

【解答】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示，设它们交于点A、B．

令，即，解得：或，

∴A，），B，）．

观察图象可知：

①当时，，函数值随x的增大而增大，其最大值为；

②当时，，函数值随x的增大而减小，其最大值为小于；

③当时，，函数值随x的增大而减小，最大值为．

综上所述．－x}的最大值是．

故选：A．

二． 填空题（共8小题）

11. 如果，那么的值是______．

【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴．

故答案为：25．

12. 已知关于x的一元二次方程，若方程有两实数根为，，且满足，则实数m的值是______．

【解答】解：由一元二次方程根与系数的关系可知：，

∵，

∴，

∴，

解得，

把代入原方程得．

故答案为：6．

13. 已知实数a，b满足，求______．

【解答】解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∵，

∴，

∵，

故答案为：0．

14.已知两组数据3，2a，5，b与a，4，2b的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数是______．

【解答】解：∵两组数据3，2a，5，b与a，4，2b的平均数都是6，

∴，

解得，

∴合并后数据按照从小到大排列是：3，4，4，5，6，8，12，

∴这组数据的中位数为：5，

故答案为：5．

15. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC分别交BC，BD于点E，点M，过点B作于点P，交AC于点G，交CD于点F，则OM与OG存在数量关系______；当时，则BM＝______．

【解答】证明：在正方形ABCD中，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

又∵，

∴，

在△AOM和△BOG中，

，

∴，

∴；

如图，作于点N，

∵，AE平分∠BAC，

∴，

又∵，

∴，

在Rt△BMN中，，

∵时

则．

故答案为：相等；．

16. 如图，等腰△ABC的面积为100，底边BC在x轴上，腰AB交y轴于点D，反比例函数的图象交腰AB于点E，F，反比例函数的图象交腰AC于点A，G，恰有，FG交y轴于点H，且△DFH面积为18，则的值为______．

【解答】解：过点A作轴于点M，则，

设A（，），则，

∵，

∴，

∴，

∴，

设直线AC的解析式为，则

，解得：，

∴直线AC的解析式为，

由，解得：或，

∴点G的坐标为，），

∵轴，

∴点F的坐标为，

设直线AB的解析式为，则

，解得：，

∴直线AB的解析式为，

∴点D的坐标为（0，），

∴，

∵△DFH的面积为18，

∴，

∴，

∴点F的坐标为（－，），，

∵，

∴，

故答案为：32．

17. 如图，正方形ABDE的面积是169平方厘米，正方形CAFG面积是144平方厘米，正方形BCHK的面积是25平方厘米，则阴影四边形AGHP的面积是______平方厘米．

【解答】解：根据正方形ABDE的面积、正方形CAFG面积、正方形BCHK的面积

可得，且满足，

∴△ABC为直角三角形，∴B、C、G三点共线，A、C、H三点共线，

∴，

即．

∴阴影部分的面积为，

，

＝132平方厘米．

故答案为132．

18. 如图，点A在二次函数的图象上，A点坐标为（－1，1），连结OA，将OA绕着点O顺时针旋转后并延长交抛物线于点B，则点B的横坐标为______．

【解答】解：如图，过点A作轴于点M，过点B作轴于点N，在ON上截取，

∵点A（－1，1）在的图象上，

∴，

∴二次函数的关系式为，

∴，

由旋转可知，

∴，

∵，

∴，

∵，

在Rt△PBN中，设，由于，则，

∴，

∴点B（k，），

∵点B在的图象上，

∴，

∴，

即点B的横坐标为，

故答案为．

三．解答题（共5小题）

19.【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：

；

．

【类比归纳】

（1）请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方；

（2）请运用小明的方法化简：．

【变式探究】

（3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值．

【解答】解：（1）

；

（2）

；

（3）∵，a，m，n均为正整数，

∴，

∴，

∴．

20.已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，

理由是：∵把代入方程得：，

∴，

∴，

∴△ABC的形状是等腰三角形；

（2）∵△ABC是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

即，

解得：，

即这个一元二次方程的根是．

21. 某中学八年级组织了一次数学计算比赛（禁用计算器），每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，数学教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根据提供的信息解答下列问题．

（1）把一班竞赛成绩统计图补充完整．

（2）填表：

（3）成绩B级以上（包括B级）为优秀，请你利用数据分析哪个班级优秀人数更多．

【解答】解：（1）一班C等级的学生有：，

补全的条形统计图如右图所示：

（2）一班的中位数是85，

二班的众数是100，

故答案为：85、100；

（3）从B级以上（包括B级）的人数方面来比较，一班成绩更好．

22.如图1，已知矩形ABCD，点E是边CD上一点，点F是CB延长线上一点，且，．

（1）求证：四边形ABCD是正方形；

（2）如图2，在（1）的条件下，若，点G是边AD上一点，连结CG交AE于点H，有，求CG．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在△ABF与△ADE中，

，

∴，

∴矩形ABCD是正方形；

（2）解：过点A作交BC于点M，连接ME，如图所示：

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

在△MAF和△MAE中，

，

∴，

∴，

设，

∵，

∴，

∴，

∵，

根据勾股定理，得，

解得，

∴，

∵，

根据勾股定理，得，

∵，

∴四边形AMCG是平行四边形，

∴．

23.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在点P，Q运动过程中，△MPQ可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）点M在抛物线上，且△AOM的面积与△AOC的面积相等，求出点M的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数过点A（－3，0），B（4，0），

∴抛物线的解析式为；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形，

理由：由（1）知，抛物线的解析式为，

∴C（0，4），

∵，

∴，

由运动知，，

∴

∵∠OAP是Rt△AOC的一个锐角，

∵△APQ是直角三角形，

①当时，

∵，

∴轴，

∵点Q在OB上，

∴点P不可能在第二象限内，此种情况不存在，

②当时，

∵，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴此种情况不符合题意，

即在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；

（3）由（2）知，，

∴，

∵△AOM的面积与△AOC的面积相等，

∴，

设点，

∴，

∴（舍）或或，

∴M（1，4）或，－4）或（，－4）．