河北省衡水市第二中学2023届高三三模数学试题（含解析）

河北省衡水市第二中学2023届高三三模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（    ）

A．， B．， C．， D．，

3．已知向量，满足，，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

4．在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（    ）

A． B．平面平面

C．平面 D．平面

5．第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（    ）

A．76种 B．82种 C．86种 D．90种

6．函数的部分图象如图所示，则（    ）

A．－2 B．－1 C．0 D．

7．若，，则（    ）

A． B．

C． D．

8．已知球O的半径为2，三棱锥底面上的三个顶点均在球O的球面上， ，，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知正方体，则（    ）

A．异面直线与所成的角为

B．异面直线与所成角的正切值为

C．直线与平面所成的角为

D．直线与平面所成角的正切值为

10．已知函数，则（    ）

A．是偶函数

B．在区间上单调递减

C．的图象与轴相切

D．的图象关于点中心对称

11．已知曲线是顶点分别为的双曲线，点（异于）在上，则（    ）

A．

B．的焦点为

C．的渐近线可能互相垂直

D．当时，直线的斜率之积为1

12．已知函数的定义域为，是奇函数，的导函数为，则（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．的展开式中的系数为______．（用数字作答）

四、双空题

14．若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______

五、填空题

15．已知函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是________．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上的动点．若，且点到直线的最小距离为，则的离心率为______．

六、解答题

17．已知数列的前项和为，．

(1)证明：是等差数列；

(2)求数列的前项积．

18．已知的内角的对边分别为，且．

(1)证明：；

(2)若，点在边上，且，，求的周长．

19．如图，在四棱锥中，，，，.

(1)证明：平面平面；

(2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值.

20．某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病与是否具有生活习惯的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如下数据：

(1)依据的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关？

(2)从该市市民中任选一人，表示事件“选到的人不具有生活习惯”，表示事件“选到的人患有疾病”，试利用该调查数据，给出的估计值；

(3)从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯，且末患有疾病的人数为，试利用该调查数据，给出的数学期望的估计值．

附：，其中．

21．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过点，.

(1)求E的方程；

(2)已知，是否存在过点的直线l交E于A，B两点，使得直线PA，PB的斜率之和等于？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.

22．已知函数．

(1)若在R上是增函数，求a的取值范围；

(2)若当时，有两个极值点m，n，证明：．

参考答案：

1．C

【分析】根据并集及补集运算求解即可.

【详解】由已知得，全集，

故．

故选：C

2．B

【分析】根据复数加减法运算规则和复数相等的定义求解.

【详解】因为 ，所以，

由，得 ，即 ；

故选：B.

3．C

【分析】由求得，再根据向量夹角公式即可求解.

【详解】因为.又，所以.

所以，

因为，所以与的夹角为.

故选：C

4．B

【分析】由面面垂直的判定定理判断B，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法证明面面、线面的位置关系判断ACD．

【详解】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；

以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.

设，则，.设平面的法向量为，

则有可取，得.

又，

则，故A不正确；

因为，所以，故D不正确；

因为，所以，故C不正确．

故选：B．

5．D

【分析】应用分步计数原理先分组再讨论相同预约计算即可.

【详解】由题意知这4人中恰有2人均预约了2个馆，剩下2人均预约了1个馆，

首先将4人分成2组，有种不同的分法，

下面分2种情况：若预约2个馆的2人预约完全相同，有种不同的结果；

若预约2个馆的2人有预约1馆相同，有种不同的结果，

所以每个馆恰有2人预约的不同方案有种．

故选：D.

6．C

【分析】根据图象及“五点法”求函数解析式.

【详解】由图可知，且过点，代入解析式可知，

即．

因为，所以，

所以，

所以．

故答案为：C

7．B

【分析】构造，对求导，得出的单调性、最值，可得，可判断；将不等式中的换为，可得，可知，通过对数运算可得，即可得出答案.

【详解】．

令，则．

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，即，当且仅当时，等号成立．所以．

将不等式中的换为，可得，

当且仅当时，等号成立，所以；

又，所以．故．

故选：B.

8．A

【分析】求出三棱锥的高，对于等价于BC边在外接圆上固定不动，A点在劣弧上运动，求三棱锥体积的最大值就是求面积的最大值.

【详解】记球O的半径为R，所在外接圆的半径为r，由，得，，设三棱锥的高为h，则，所以；

在中，如图：

等价于BC边在外接圆上固定不到，A点在劣弧上运动，显然当A点为的中点时，高AD最大，

AD的最大值，面积的最大值，

三棱锥体积的最大值；

故选：A.

9．ACD

【分析】根据异面直线所成角判断A,B选项，根据线面角判断C，D选项即可.

【详解】如图，连接，，，．

因为，所以为直线与所成的角，故A正确．

显然，为直线与所成的角．

因为在正方体中，平面，所以．

在Rt中，，故B错误．

连接，设．因为平面，平面，所以．

因为在正方形中，，，所以平面．

所以为直线与平面所成的角，故正确．

因为平面，所以为直线与平面所成的角．

在Rt中，，故D正确．

故选：ACD.

10．AC

【分析】根据偶函数的概念判断A；利用导数研究函数的单调性判断B；利用导数的几何意义判断C；利用特例法判断D.

【详解】由题意知的定义域为，定义域关于原点对称，

因为，所以是偶函数，故A正确；

因为时，，

所以在区间上单调递增，故B错误；

因为，则，，

所以的图象在点处的切线方程为，故C正确；

因为，，所以的图象不关于点对称，故D错误.

故选：AC

11．ACD

【分析】根据双曲线方程的形式特征判断A、B；求出渐近线，利用渐近线互相垂直求解即可判断C；设点的坐标，求解斜率之积即可判断D.

【详解】若是双曲线，则，解得，

此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，

其焦点为，，故选项A正确、选项B错误；

的渐近线方程为，当时，的渐近线的斜率为，此时两条渐近线互相垂直，

满足题意，故选项C正确；

当时，，其顶点坐标分别为，，

设，则，故选项D正确.

故选：ACD.

12．BC

【分析】由题意可知4是的一个周期，所以，即可判断B；由，得结合，可知4也是的一个周期，由此求出可判断C；取特值可判断AD.

【详解】因为是奇函数，所以，且．

又，所以，

即．令等价于，所以，

所以4是的一个周期，所以，得，

即，故B正确．

由，得．又，

所以，所以，即．

所以，所以4也是的一个周期，

所以，得，故C正确．

取，则，显然是奇函数，符合题意．

此时，但，故A错误；

因为，所以，得，故D错误．

故选：BC.

13．

【分析】依题意，再写出展开式的通项，从而求出展开式中的系数.

【详解】因为，

其中展开式的通项公式为（且），

所以的展开式中含的项为，

所以的展开式中的系数为．

故答案为：

14．     1    

【分析】根据两圆内切由圆心距与半径关系列出方程求，联立圆的方程求出切点，根据圆的切线性质得出斜率即可求解.

【详解】如图，

由题意得与相内切，又，

所以，

所以，解得，

所以，．

联立，解得

所以切点的坐标为，

故所求公切线的方程为，即．

故答案为：1；

15．

【分析】首先参变分离为，再构造函数，利用导数判断函数的性质，转化为与的交点问题.

【详解】令，得，

设，，，

当，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值，

，，，，

所以与有2个交点，则.

故答案为：

16．/

【分析】得到椭圆切线为，将其与椭圆方程联立，利用判别式为0解出，则可得到离心率.

【详解】由题意知，解得，将直线沿着其法向量方向向右下方平移单位，

因为直线倾斜角为，那么在竖直方向向下移动了2个单位，此时直线为，且与相切．

联立，得0，

所以，解得，所以，即，

所以，即的离心率为．

故答案为：.

17．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据与的关系化简，可得，由等差数列的定义得证；

（2）由（1）求出，再由累乘法求解.

【详解】（1）由，得．

所以，

即，整理得，

上式两边同时除以，得．

又，所以，即，

所以是首项为2，公差为1的等差数列．

（2）由（1）知，．

所以．

所以．

18．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据题意化简得，得到，结合正弦、余弦定理，即可得证；

（2）由（1）得，利用余弦定理得，再由三角新面积相等求得，结合，求得，进而得到，即可求解.

【详解】（1）解：由，可得，

所以，

因为，可得，即，

又由正弦、余弦定理得，可得，

可得.

（2）解：因为，由（1）知，可得，

由余弦定理得，

又因为，可得，

又由，所以，可得，

因为，整理得，解得，

所以，可得，

所以的周长为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用夹角余弦值建立方程求解即可.

【详解】（1）如图，取的中点分别为，连接BE，AF，EF，CF，

所以，且，

又，，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为，，所以，

因为，，所以，

又，所以，

所以，即.

又，，平面，

所以平面，所以平面.

又平面，所以平面平面.

（2）由（1）知，平面，因为，平面，

所以，，所以.

在Rt中，，，

则，则.

因为，，所以，

所以，，两两垂直，

以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

，，.

由，，

得.

设平面的法向量为，则，即，

取，则，得平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则，即，

取，则，，所以，

设平面与平面的夹角为，

则，

解得，故的值为.

20．(1)有关

(2)

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据题设可得列联表，故可求的值，结合临界值表可判断该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关.

（2）根据条件概率的计算公式结合表中数据可求的估计值.

（3）利用二项分布的期望公式可求的数学期望的估计值.

【详解】（1）由已知得列联表如下：

零假设为：该市市民患有疾病与是否具有生活习惯无关．

根据列联表中的数据，经计算得到

．

依据的独立性检验，推断不成立，即认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．

（2）由（1）数据可得：，，

所以．

（3）由题意知可用估计的分布，

所以的估计值为．

21．(1)；

(2)存在，l的方程为.

【分析】（1）设出椭圆E的方程，利用待定系数法求解作答.

（2）设出直线的方程，与椭圆E的方程联立，借助斜率坐标公式求解作答.

【详解】（1）设椭圆E的方程为，

由点，在E上，得，解得，，

所以E的方程为.

（2）存在，理由如下.

显然直线l不垂直于x轴，设直线l的方程为，，，

由消去x得：，

则，得，

，

因此

，解得，

所以存在符合要求的直线l，其方程为.

【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程；

②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为 (A>0，B>0，A≠B)．

22．(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）转化为，即在上恒成立， 令，求出的最小值可得答案；

（2）设， 即证，构造函数，利用导数判断出在的单调性可得答案．

【详解】（1），若在R上是增函数，则，

即在上恒成立，，

令，，，

当时，，当时，，所以，

所以；

（2），不妨设，所以有2个不同的解，

由（1）可知，且，

要证，即证，

构造函数，

，

因为，，

所以，

令，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，又，，所以，所以在上单调递减，

所以，即原命题得证.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是转化为证成立，再构造函数，利用其单调性得出答案，考查了学生分析问题、解决问题的能力.