浙江省宁波市江北区2023届九年级下学期学业质量检测（一模）数学试卷(含解析)

2022学年第二学期九年级学业质量检测（数学试题）

试题卷Ⅰ

一、选择题

1. 在，0，，2这四个数中，最小数是（    ）

A.  B. 0 C.  D. 2

2. 下列计算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. “宁波地铁”发文称，2023年2月13日至6月30日，每天晚上8点后及法定节假日全天，宁波地铁1—5号线全线网皆可免费乘车，免费时段无需购票、刷卡、扫码，可直接进站乘车．2月17日，宁波地铁限时段免费后的首个周五，地铁客流量达到约万人次．数万用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图是某品牌的多功能笔筒，其俯视图为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 某鞋店对某款女鞋一周的销售情况进行统计，结果如下：

根据上表信息，该店主决定下周多进一些37码的鞋子，影响店主进货决策的统计量是（    ）

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

7. 如图，在中，，．以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N．接着分别以点M，N为圆心，大于长为半径作圆弧，两弧交于点H．作射线，交于点D．再以点D为圆心，长为半径作圆弧，交于点E，连接．则下列说法错误的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 《张丘建算经》是中国古代数学著作，其中提出了许多数学问题，比如：“今有甲乙怀钱各不知其数，甲得乙十钱，多乙余钱五倍；乙得甲十钱，适等；问甲乙怀钱各几何？”可以理解为：甲乙两人各有一些钱，若乙给甲10元，则甲钱比乙；若甲给乙10元，则两人的钱一样多．不妨设甲原有钱元，乙原有钱元，则可列方程组为（    ）

A  B.

C.  D.

9. 如图是由4个全等的大正方形和5个全等的小正方形组成的图形．若要求线段的长度，只需要知道顶点与正方形某个顶点之间的距离即可，这个点是（    ）

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

10. 已知抛物线经过，，三点，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则的值为（    ）

A.  B. 3 C.  D. 4

试题卷Ⅱ

二、填空题

11. 化简：=_____．

12. 因式分解：＝_____．

13. 如图，小江，小北周末都在荪湖公园踏春．小江在三岔路口处，随意选择一条路准备出园，小江与在其中一条路上的景点处游玩的小北邂逅的概率是______．

14. 如图，在中，分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与，若点是的重心，则______．

15. 如图1，在中，，动点，从点同时出发，分别沿和的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点后停止运动．设运动时间为，的面积为，与的大致函数关系如图2所示．则当时，的值为______．

16. 如图，菱形的顶点与对角线交点都在反比例函数的图像上，对角线交轴于点，，且的面积为15，则______；延长交轴于点，则点的坐标为______．

三、解答题

17. （1）计算：．

（2）解不等式组：．

18. 如图，下列3×4网格图均由12个相同的小正方形组成，每个网格图中有2个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，分别按下列要求选取两个涂上阴影：

（1）使得4个阴影小正方形组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形．

（2）使得4个阴影小正方形组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形．

请将以上两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形即可．

19. 今天，4月20日恰逢24节气中的谷雨．播谷降雨，雨生百谷，这也是春季的最后一个节气．在古代，各地都有着不同的习俗活动来迎接与庆祝，有赏花、品茗、走谷雨（踏春）、洗桃花水（沐浴）、吃椿（香椿）等．为了了解学生最感兴趣的一项活动的人数分布情况，学校从全校学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，并绘制了如下两幅统计图．

（1）请计算最感兴趣活动为“洗桃花水（沐浴）”的学生总人数，并补全条形统计图．

（2）请计算最感兴趣活动为“走谷雨（踏春）”女生人数．

（3）男生最感兴趣活动中“洗桃花水（沐浴）”和“吃椿（香椿）”的人数相同吗？为什么？

20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点．

（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；

（2）根据图像直接写出满足当时，的取值范围．

21. 桑梯——登以採桑，它是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图1是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知米，米，设，为保证安全，的调整范围是．

（1）当时，若人站在的中点处，求此人离地面（）的高度．

（2）在安全使用范围下，求桑梯顶端到地面的距离范围．（参考数据：，，，，，精确到0.1米）

22. 乌馒头是江北慈城地方特色点心，用麦粉发酵，再掺以白糖黄糖，蒸制而成．因其用黄糖，颜色暗黄，所以称之谓“乌馒头”．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量（盒）是销售单价（元/盒）的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于20元，每天销售乌馒头的固定损耗为20元，且销售单价为18元/盒时，日销售纯利润为1180元．

（1）求乌馒头的日销售量（盒）与销售单价（元/盒）的函数表达式；

（2）“端午乌馒重阳粽”是慈城的习俗．端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客．在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为1480元？

（3）当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润．

23. 【基础巩固】

（1）如图1，在中，是的中点，是的一个三等分点，且．连接，交于点，则______；______．

尝试应用】

（2）如图2，在中，为上一点，，，若，，，求的长．

【拓展提高】

（3）如图3，在▱中，为上一点，为中点，与，分别交于点，，若，，，，求的长．

24. 如图，等腰内接于，其中，点在上运动，，分别交、于点、，交于点．

（1）求证：．

（2）连结，当为的直径时，

①求证：．

②连结，若∥，求的值．

③连结，设，，请直接写出关于的函数表达式．

答案

1. A

解：∵在－2、0、－1、2这四个数中有－2＜－1＜0，0＜2

∴在－2、0、－1、2这四个数中，最小的数是－2．

故选：A．

2. D

因为，所以A不正确；

因为，所以B不正确；

因为，所以C不正确；

因为，所以D正确．

故选：D．

3. C

解：万，

故选C．

4. C

解：俯视图是从上面看到的图形，

∴俯视图是，

故选：C．

5. C

解：∵，

∴当时，该命题是假命题，

故选：C．

6. A

A、众数是最多的数，它代表了销量最好，故符合题意；

B、中位数是指排好序后最中间的数，对进货没有指导意义，故不符题意；

C、平均数是所有尺码的平均销售量，反映整体水平，也不能做进货指导，故不符题意；

D、方差反映的是波动水平，不能做进货指导，故不符题意．

故选：A

7. C

解：由题意可知：是的角平分线，，

∵，，

，

∵是的角平分线，

，

，

，故A正确；

，

，故B正确；

，

，

，

又，

，

，

，

又∵，

，故C不正确；

，，

，

，故D正确，

故选：C．

8. B

解：由题意知，，

故答案为：B．

9. B

解：方法一：如图，将平移至， 则，

由题意得，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∴为等腰直角三角形，

∴，

∴只需要知道的长即可求出的长；

方法二：设黑色正方形的边长为，白色正方形的边长为，则有

，，

∴，即，

∴只需要知道的长即可求出的长；

故选B．

10. B

解：∵，

∴，两点关于对称轴对称．

∴，

即抛物线解析式为．

∵，

∴点在点的右侧，且有，

∴．

情况1：如图1，当点与点均在对称轴的左侧时，此时；

当时，二次函数取到最大值为；

当时，二次函数取到最小值为，

∴，解得（舍去）．

情况2：如图2，当点与点在对称轴的两侧时，此时；到对称轴的水平距离为．到对称轴的距离为，当时，二次函数取到最大值为；当时，二次函数取到最小值为，∴，解得或（舍）．

综上，．

故选：B

11. 2

∵22=4，

∴=2，

12.

故答案为：．

13.

一共有三条路三种情况；

和小北邂逅的情况只有一种；

根据概率含义得两人邂逅的概率为：

故答案为：

14. ##

连接并延长交于，过作，

∵点是的重心，

∴，，

设，则，

∵分别以，为斜边在同侧作两个等腰直角与，

∴、是等腰直角三角形，，

∴，，，

∴，

∴，

故答案为：．

15. 1或

解：四边形是平行四边形，由图得：

∴，，

当时，，

，

是等边三角形，

，

，

解得，（舍去）；

当时，如图，

，，

，

，

解得：（舍去）；

当时，如图，

，，，

∴

，

，

解得：或（舍去）；

综上所述得：当时， 或．

16.     ①. 8    ②.

解：延长交轴于点，设，则，，

∵，

∴，

∴中，，，

∴，

∵，

∴，

∴

过作轴，则，

即，

∵，

∴，即．

∵，

∴，过点作于，易证，

∵，

∴，，

∴，联立得，

∴

17. 解：（1）原式

（2）．

由①得，由②得，∴不等式组的解集为

18. 小问1详解】

如图所示：答案不唯一．

（2）

如图所示：答案不唯一．

19. （1）

解：最感兴趣活动为“洗桃花水（沐浴）”的学生总人数为（人），

补全条形统计图，如下：

（2）

解：最感兴趣活动为“走谷雨（踏春）”的女生人数为（人）

（3）

解：不同，理由如下：

洗桃花水：（人），

吃椿：（人），

所以男生最感兴趣活动中喜欢“洗桃花水”和“吃椿”的人数不同．

20. （1）

解：把代入得，∴，

把代入得，把，代入得，解得，

∴．

（2）

或

21. （1）

解：过作，

∵，，

∴，

∵点为的中点，米，

∴，

∴，

在中，，

∴；

（2）

解：过点作，

当时，∵，

∴，

∴，即；

当时，；

∴，即；

∴与地面的距离范围为．

22. （1）

解：设，由题意得

，

解得，

∴．

（2）

解：当时，，

即销售200盒的纯利润为1180元，

成本价为：（元），

，

解得：（舍），，

（元）．

答：当乌馒头每盒降价3元时，商店每天获利为1480元．

（3）

解：设日销售纯利润为元，由题意得

，

，，

当时，有最大值1580元，

答：当销售单价定为16元/盒时，日销售纯利润最大，最大纯利润为1580元．

23. 解：（1）过点D作，交于点F，如图所示：

∵是的中点，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，，，

∴，

∴，

∴；

故答案为1；3；

（2）作交于，

设，

∵，

∴，

即，，

∵，，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

解得，

∴;

（3）作交于，设，

∵，

∴，即，，

∵，

∴，

∴，即．

∵是中点，

∴，从而，

∴，，

∵，

∴，又，

∴，

∴，代入得，解得，

∵，

∴，

∴．

24. （1）

证明：∵，

∴，

∵，

∴，

即；

（2）

解：①证明∵为直径，

∴

∵由（1）知

，∴，

∴，

∴

②连结．

∵，

∴，，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

③

过程如下：

连结，

令，

∵，

∴，

∴

∵为直径，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

设，，

∴，

∵，

∴，

∴为直径，

∴，

在中：

∵，

∴，

∵为直径，

∴，

∴，

又，

∴

∴，即．