2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷：数学（沪教版2020A卷）（全解全析）

2022-2023学年高一下学期期末考前必刷卷

数学·全解全析

一、填空题

1．复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为___________.

【答案】﹣1

【分析】根据复数的运算法则直接求出Z，然后求可得.

【解析】因为，

所以

所以的虚部为

故答案为：.

2．函数的最小正周期为______．

【答案】

【分析】直接根据正切函数的周期公式得答案.

【解析】函数的最小正周期为

故答案为：

3．将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______．

【答案】

【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可.

【解析】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为.

故答案为：.

4．已知向量的夹角为，，，则______．

【答案】

【分析】根据向量数量积定义以及向量模的定义即可求出结果.

【解析】解：因为向量的夹角为，，，

所以，

因此，，

故答案为：.

5．函数（且，）的部分图象如图所示，函数解析式为________.

【答案】

【分析】由图象可直接判断出，计算周期，从而可得值，代入最小值结合的范围计算值，从而可得函数解析式.

【解析】由图象可知，，，得，

所以，当时，，

得，所以，

因为，所以，

所以函数解析式为.

故答案为：

6．已知向量，则向量在方向上的投影向量为______．

【答案】/

【分析】直接用投影向量的定义计算即可.

【解析】向量在方向上的投影为.

故答案为：

7．若，则的值为______．

【答案】或

【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.

【解析】因为，则，

则，即，解得，

所以的值为或.

故答案为：或

8．复数，则_______．

【答案】6

【分析】根据复数乘法运算规则计算即可.

【解析】

，

；

故答案为：6.

9．已知关于x的实系数方程的两虚根为、，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据求出m的范围，设，，，结合韦达定理求出范围，从而可求出的范围．

【解析】∵关于x的实系数方程的两虚根为、，

∴，即，

设，，，

则，

，

∵，所以根据二次函数性质可知，

∴.

故答案为：.

10．在中，、、所对边分别为、、，若，的面积为6，则______．

【答案】

【分析】由已知利用三角形面积公式可求的值，进而利用余弦定理即可计算得的值．

【解析】∵，

∴可得，

∵的面积为，

∴，

∵，

∴由余弦定理，可得：

∴解得：

故答案为：

11．在中，，且，为边的中点. 若在边上运动（点可与重合），则的最小值为_______．

【答案】

【分析】由题得三角形是等腰直角三角形，利用平面向量基本定理，将，用其他已知方向和模长的向量表示，计算数量积，求最小值.

【解析】

由题，为等腰直角三角形，，，，

设，，

则，，

所以，

即，因为，所以当时，最小等于.

故答案为：.

12．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：(1)偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；(2)周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域．由此可求函数的值域为_______．

【答案】

【分析】利用奇偶性和周期性的定义可得是周期为的偶函数，由所给的函数性质可得求在区间上的值域即可得到在定义域上的值域.

【解析】因为，

所以是偶函数，

又因为，

所以是的一个周期，

所以当时，，

因为，所以，

由结论（1）可得在区间上的取值范围也为，

即在区间上的取值范围为，

又由结论（2）可得在定义域上的值域为，

故答案为：

二、单选题

13．已知是非零向量，是向量的夹角，“”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】先考虑充分性，再考虑必要性得解.

【解析】解：当时，，

所以“”是“”的充分条件；

当时，，

所以“”是“”的非必要条件.

所以“”是“”的充分非必要条件.

故选：A

14．已知，下列命题中错误的是（    ）

A．函数的图象关于直线对称；

B．函数在上为严格增函数；

C．函数的图象关于点对称；

D．函数在上的值域是.

【答案】C

【分析】根据正弦函数的性质结合整体思想逐一判断即可.

【解析】对于A，因为为最小值，

所以函数的图象关于直线对称，故A正确；

对于B，因为，所以，

所以函数在上为严格增函数，故B正确；

对于C，因为，

所以点不是函数的对称中心，故C错误；

对于D，因为，所以，

所以，故D正确.

故选：C.

15．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．若，则的面积是 D．若，则外接圆半径是

【答案】C

【分析】根据题意，由正弦定理可判定A错误；由余弦定理求得，结合向量的数量积的定义，可判定B错误；由三角形的面积公式，可判定C正确；由正弦定理求得外接圆的半径，可判定D错误.

【解析】由题意，在中，满足，

对于A中，由正弦定理，所以，

所以A不正确；

对于B中，设三边的长分别为，

由余弦定理得，

所以，所以B错误；

对于C中，若，可得，可得，则，

所以的面积为，所以C正确；

对于D中，设三边的长分别为，

由，即，可得，所以，

设外接圆的半径为，则，

所以，所以D错误.

故选：C.

16．设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ）

A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根

B．可能方程有四个实数根的解

C．可能有两个实数根，两个纯虚数根

D．可能方程没有纯虚数根的解

【答案】A

【分析】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答.

【解析】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为，

则有，即，即有，，，

方程化为，方程有两个纯虚数根为，

方程化为：，

整理得，于是得或，

因此方程有两个纯虚数根，

而方程中，，

因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根，

所以选项A正确，选项B，C，D均不正确.

故选：A

【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨关系式求解.

三、解答题

17．已知复数是实系数一元二次方程的一个根，向量，．

(1)若，求实数的值；

(2)已知向量，且，若，求的减区间．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代入解出的值，再利用向量平行的坐标表示结合辅助角公式求解即可；

（2）利用向量垂直的坐标表示求出，然后根据数量积的坐标表示得到，结合辅助角公式即可求解.

【解析】（1）将代入得，

整理得，所以，解得，

因为，所以，

所以，

解得.

（2）由（1）得解得，

所以，

所以当，即，时，单调递减，

所以的减区间为.

18．已知函数.

（1）求函数的值域；

（2）在中，，，分别为内角的对边，若且，的面积为，求的周长.

【答案】（1）；（2）6.

【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后根据正弦型函数的性质进行求解即可；

（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.

【解析】解：（1）

.    

由，得，

可知函数的值域为.    

（2）由，得，因为，所以，

∴，故.    

∵，，的面积为，

∴，

故.    

又，即，即，

故，

∴的周长为.

19．某市需拍卖一块近似圆形的土地（如图），内接于圆的平面四边形作为建筑用地，周边需做绿化．因地面限制，只能测量出，测角仪测得角．

（1）求的长；

（2）因地理条件限制，不能变更，但点C可以调整．建筑商为利益最大化，要求在弧上设计一点C使得四边形面积最大，求四边形面积的最大值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）在中利用余弦定理即可求出；

（2）在中利用余弦定理结合基本不等式可得，即可求出，进而求出四边形面积的最大值.

【解析】（1）由题意可得，在中，由余弦定理可得：

，

，故的长为；

（2）在中，，

则由余弦定理可得，

则，

当且仅当等号成立，

，

则，

故四边形面积的最大值为.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确利用余弦定理结合基本不等式求解三角形.

20．在梯形中，，分别为直线上的动点.

(1)当为线段上的中点，试用和来表示；

(2)若，求；

(3)若为的重心，若在同一条直线上，求的最大值.

【答案】(1)；

(2)；

(3)1.

【分析】(1)结合条件证明，再用和来表示即可；

(2)利用表示，根据模的性质和数量积的性质求；

(3)由条件确定的关系，结合基本不等式求的最大值.

【解析】（1）因为为线段上的中点，所以，，又方向相同，

所以，所以；

（2）因为，所以，因为，，所以，所以，

又，所以

又，

所以；

（3）设线段的中点为，连接，交与点，由已知为的重心，

由重心性质可得，

又，

，

，

所以，

设，，

所以，，

由基本不等式可得，所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1.

21．已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对．

(1)若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；

(2)若、，且、均为的“平衡”数对，求的取值范围．

【答案】(1)是，理由见解析；

(2)

【分析】（1）按“可平衡”函数的定义证明即可；

（2）由“可平衡”函数的定义结合三角函数恒等变换可得，，根据x的范围，以及同角三角函数关系，即可求范围.

【解析】（1）由题意，，，

当，即时，对于定义域内的任意实数等式均成立，故是为“可平衡”函数；

（2）、均为的“平衡”数对，则有

，

，

∵，，∴.

故的取值范围为.