2020-2021学年广东省中山市一中高一上学期第一次段考数学试卷

2020-2021学年广东省中山市一中高一上学期第一次段考数学试卷 

满分：150分   考试用时：120分钟

一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，，则＝（    ）

A.           B．            C.            D. 1

2. 与为同一函数的是（     ）

A.                           B．

C.                      D. 

3.设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（     ）

A. 充分不必要条件                       B． 必要不充分条件

C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件

4. 若全集，，，则＝（     ）

A.  [1,2]             B． (－∞,0)∪(2,3]             C.  [0,1)          D.  (2,3]

5. 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为（     ）

A. 5              B.              C.            D. 2

6. 设，则＝（     ）

A.              B．         C.             D.

7. 设，则的一个必要不充分条件是（     ）

A.          B．或          C.         D.

8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（     ）

A.      B．

C.      D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. 已知x∈{1，2，x2}，则有（     ）

A．           B．           C．           D．

10. 如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式中一定成立的是（     ）

A．ab＞ac          B．c(b－a)＞0     C．cb2＜ab2          D．ac(a－c)＜0

11. 下列命题中，真命题为（     ）

A．空集是任何一个非空集合的真子集         B．∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2

C．∃x∈{－2,－1,0,1,2}，|x－2|＜2           D．∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解

12. 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（     ）

A．     B．   C．   D．

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数的定义域为　       　．

14．函数，x∈(－1,5]的值域为　     　．

15．已知集合，，若B⊆A，则m值的集合为       ．

16．不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围为      ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本题10分）

已知全集U＝R，，，

()∩B＝{2}，()∩A＝{4}．

求．

18.（本题12分）

若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．

19．（本题12分）

已知集合A＝{x|}，集合B＝{x|}．

（1）求集合A，B；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

20．（本题12分）

若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求：

（1）3x＋4y的最小值；

（2）求xy的最小值.

21．（本题12分）

实数a，b满足a2＋b2＋2a－4b＋5＝0. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解为一切实数为真命题，求实数c的取值范围.

22．（本题12分）

某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x＋1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．

中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考

数学科试卷答案

满分：150分   考试用时：120分钟

第I卷（选择题）

一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知，，则＝（  A  ）

A.           B．            C.            D. 1

2. 与为同一函数的是（  B  ）

A.                           B．

C.                      D. 

3.设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（  D  ）

A. 充分不必要条件                       B． 必要不充分条件

C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件

4. 若全集，，，则＝（  D  ）

A.  [1,2]             B． (－∞,0)∪(2,3]             C.  [0,1)          D.  (2,3]

5. 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为（  C  ）

A. 5              B.              C.         D. 2

6. 设，则＝（  C  ）

A.              B．         C.             D.

7. 设，则的一个必要不充分条件是（  C  ）

A.          B．或          C.         D.

8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（  D  ）

A.      B．

C.      D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）

9. 已知x∈{1，2，x2}，则有（ BC ）

A．           B．           C．           D．

10. 如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ABD ）

A．ab＞ac          B．c(b－a)＞0     C．cb2＜ab2          D．ac(a－c)＜0

11. 下列命题中，真命题为（ AC ）

A．空集是任何一个非空集合的真子集         B．∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2

C．∃x∈{－2,－1,0,1,2}，|x－2|＜2           D．∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解

12. 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则（ AD ）

A．     B．   C．   D．

第II卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．函数的定义域为　       　．{x|0≤x≤1}

14．函数，x∈(－1,5]的值域为　     　．{x|－3≤x≤13}

15．已知集合，，若B⊆A，则m值的集合为       ．{－,0,}

16．不等式对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围为      ．

{x|－≤m≤3}

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（本题10分）

已知全集U＝R，，，

()∩B＝{2}，()∩A＝{4}．

求．

【解答】解：∵()∩B＝{2}，()∩A＝{4}，

∴2∈B，4∈A，

把x＝4代入集合A得，42＋4p＋12＝0，解得p＝－7，

把x＝2代入集合B得，22－5×2＋q＝0，解得q＝6，

∴A＝＝＝，

B＝＝＝，

∴A∪B＝．

18.（本题12分）

若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．

【解答】解：∵不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为，

∴，解得：b＝－a，c＝－12a，或

∴不等式bx2＋2ax－c－3b≥0即为－ax2＋2ax＋15a≥0，

∵a＜0，∴x2－2x－15≥0，解得：x≤－3或x≥5，

∴不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集为{x|x≤－3或x≥5}．

19．（本题12分）

已知集合A＝{x|}，集合B＝{x|}．

（1）求集合A，B；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）集合A＝{x|}＝{x|－2＜x＜2}，

集合B＝{x|}＝{x|m＜x＜m＋1}；

（2）∵B⊆A，

∴，解得，

∴实数m的取值范围是{m|－2≤m≤1}．

20．（本题12分）

若正数x，y满足x＋3y＝5xy，求：

（1）3x＋4y的最小值；

（2）求xy的最小值.

【解答】解：（1）∵正数x，y满足x＋3y＝5xy，

∴＋＝5，

∴3x＋4y＝(3x＋4y)×5×＝(3x＋4y)(＋)＝(13＋＋)≥(13＋2)＝5，

当且仅当x＝1，y＝时取等号，

∴3x＋4y的最小值为5.

（2）∵正数x，y满足x＋3y＝5xy，

∴5xy＝x＋3y≥2，解得：xy≥，

当且仅当x＝3y＝时取等号，

∴xy的最小值.

21．（本题12分）

实数a，b满足a2＋b2＋2a－4b＋5＝0. 若不等式ax2＋bx＋c＜0的解为一切实数为真命题，求实数c的取值范围.

【解答】解：∵实数a，b满足a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，

∴(a＋1)2＋(b－2)2＝0，得a＝－1，b＝2，

∵不等式ax2＋bx＋c＜0的解为一切实数为真命题，

∴－x2＋2x＋c＜0对一切实数恒成立，

等价于x2－2x－c＞0对一切实数恒成立，

∴△＝(－2)2＋4c＜0，解得c＜－1，

∴实数c的取值范围为{c|c＜－1}.

22．（本题12分）

某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元．其中f（x）＝x＋1；g（x）＝．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．

【考点】分段函数的应用．

【专题】函数的性质及应用．

【分析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可

【解答】解：设投入B商品的资金为x万元（0≤x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，设收入为S（x）万元，

①当0≤x≤3时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝，

则S（x）＝6﹣x＋＝17﹣[（x＋1）＋]≤17﹣2＝17﹣6＝11，当且仅当x＋1＝，解得x＝2时，取等号．

②当3＜x≤5时，f（5﹣x）＝6﹣x，g（x）＝﹣x2＋9x﹣12，

则S（x）＝6﹣x﹣x2＋9x﹣12＝﹣（x﹣4）2＋10≤10，此时x＝4．

∵10＜11，

∴最大收益为11万元，

答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．

【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．