2020-2021学年河北省安平中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2020-2021学年河北省安平中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，集合，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用补集的定义可得出，再利用交集的定义可得出集合.

【详解】

由已知条件得，因此，.

故选：C.

【点睛】

本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.

2．已知集合，，若，则等于（   ）

A．或3 B．0或 C．3 D．

【答案】C

【解析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得的值.

【详解】

由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，属于基础题.

3．“”是“>0”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】

“”⇒“>0”，“>0”⇒“”或”，

所以“”是 “>0”的充分不必要条件．

故选：A.

【点睛】

本题主要考查逻辑条件的判断，属于基础题.

4．命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在(0，＋∞)上有解”的否定是（    ）

A．∃x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0

B．∀x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0

C．∃x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0

D．∀x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0

【答案】B

【解析】先写出原命题，再改量词否结论即可得到结论.

【详解】

原命题为：，

其否定为：.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了命题的否定.属于容易题.

5．已知，，则和的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】考虑的符号即可得到两者的大小关系.

【详解】

，故.故选D.

【点睛】

比较两个代数式的大小，可选用作差法或作商法，前者需要把差因式分解后再确定各个因式的符号，后者要注意两个代数式的符号且需确定商与1的大小关系.

6．若函数在处取最小值，则等于（     ）

A．3 B． C． D．4

【答案】A

【解析】将函数的解析式配凑为，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的值，可得出的值.

【详解】

当时，，则

                             ，

当且仅当时，即当时，等号成立，因此，，故选A.

【点睛】

本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.

7．已知集合，，且，则满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用补集运算求得B的补集，再根据求得参数范围即可.

【详解】

，又且

.

故选：A.

【点睛】

本题考查了集合的基本运算，属于基础题.

8．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）

A．a <0 B．a >0 C．a <-1 D．a >1

【答案】C

【解析】分析：求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．

解答：解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，

即a＜0，

而a＜0的一个充分不必要条件是a＜-1

故应选  C

点评：本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义．本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件．

二、多选题

9．下列各组集合不表示同一集合的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】ABD

【解析】逐项分析集合中的元素，结合集合相等的定义，即得结果.

【详解】

选项A 中，集合M的元素表示点，集合N的元素表示点，不表示同一集合；

选项B 中，集合M的元素表示一个数0，集合N中没有元素，不表示同一集合；

选项C 中，集合M的元素是4，5，集合N的元素是4，5，表示同一集合；

选项D 中，集合M的元素是1，2，集合N的元素表示点，不表示同一集合.

故选：ABD.

【点睛】

本题考查了集合元素的特征和集合的相等，属于基础题.

10．下列叙述正确的有是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】AB

【解析】直接利用绝对值的几何意义判断即可．

【详解】

解：对于A：若，则，故A正确；

对于B：若，则，成立，故B正确．

对于C：若，满足，但是故C正确；

对于D：若，则，利用，，满足条件，不满足结果，故D错误；

故选：AB

【点睛】

本题考查绝对值的几何意义，属于基础题．

11．下列命题正确的是（    ）

A．存在， B．对于一切实数，都有

C．， D．，能被2整除是假命题

【答案】AB

【解析】依次分析选项，判断正误即可.

【详解】

选项A中，存在，使，故正确；

选项B中，对于一切实数，都有成立，故正确；

选项C中，，，则，故错误；

选项D中，，能被2整除，故，能被2整除是真命题，故D选项错误.

故选：AB.

【点睛】

本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，属于基础题.

12．已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】讨论二次项系数或，当时，即可求解.

【详解】

当时，即，解得，

当时，代入方程解得，满足题意；

当时，方程无解，不满足题意；

当时，即，，即，

整理可得，解得，满足题意；

故选：BC

【点睛】

本题考查了由集合元素个数求参数值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.

三、填空题

13．命题“，使”为真命题，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】由题意知：有实根，利用即可求出的值.

【详解】

∵，使为真命题，

所以方程有实根，

则，解得.

故答案：

【点睛】

本题主要考查了已知命题真假求参数，属于中档题.

14．已知集合，则集合的真子集个数为________.

【答案】3

【解析】首先解一元二次不等式求出集合，再计算其真子集个数；

【详解】

解：因为，即，即，解得

所以含有个元素，所以集合的真子集个数为

故答案为：

【点睛】

本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．

15．周长为12的矩形，其面积的最大值为____________；

【答案】9

【解析】长宽和为定值，积有最大值，当且仅当长宽相等时取等号．

【详解】

设矩形的长、宽分别为，则，即，矩形面积为，当时，面积的最大值为9，所以答案为9

【点睛】

长宽和为定值，积有最大值，当且仅当长宽相等时取等号．

16．已知集合，，其中，我们把集合记作，若集合中的最大元素是，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】【详解】

解：∵，，

∴集合中的元素分别是，

∵最大元素是，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查集合中元素的特征与解不等式，注意对新定义的理解，属于基础题．

四、解答题

17．设全集U＝R，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B．

【答案】∁UA＝{x|x≥3或x≤－2}，A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≥3或x≤－2}，(∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}.

【解析】根据补集定义、交集定义逐一求解，即得结果.

【详解】

解：∵U＝R，A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，

∴∁UA＝{x|x≥3或x≤－2}，

A∩B＝{x|－2<x<3}，

∁U(A∩B)＝{x|x≥3或x≤－2}，

(∁UA)∩B＝{x|x≥3或x≤－2}∩{x|－3<x≤3}＝{x|－3<x≤－2或x＝3}.

【点睛】

本题考查补集与交集混合运算，考查基本求解能力，属基础题.

18．已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．

(1)求实数a，b，c的值；

(2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.

【答案】(1) a＝6，b＝9，c＝－8;(2) {－2，－1,0,1}

【解析】（1）因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0即得c＝－8. 因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，从而求出a,b的值.(2)先求出P＝－≤x≤1}，再求集合P∩Z.

【详解】

(1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以32＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}．

又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x2－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.

(2)不等式ax2＋bx＋c≤7即6x2＋9x－8≤7，

所以2x2＋3x－5≤0，

所以－≤x≤1，

所以P＝－≤x≤1}，

所以P∩Z＝－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．

【点睛】

（1）本题主要考查集合的运算关系，考查二次方程的根，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解题的关键是根据A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}分析得到A＝{3}.

19．已知集合，.

（1）若“命题：，”是真命题，求的取值范围.

（2）“命题：，”是真命题，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由“命题：，”是真命题得，再根据集合之间的包含关系求解即可；

（2）由“命题：，”是真命题得，再根据集合之间的包含关系求解即可.

【详解】

解：得，则，

（1）“命题：，”是真命题，∴，

当时，∴，解得；

当时，，解得，

综上所述，的取值范围；

（2）由为真，则，，∴，∴，

∴，故只需要∴

综上，.

【点睛】

本题考查了根据命题真假求参数取值范围，利用集合之间的关系求参数取值范围，属于中档题.

20．设全集,已知集合

（1）求；

（2）记集合已知集合若,求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）通过解不等式和方程求得集合M,N，再进行集合的补集、交集运算；

（2）由（1）知集合，根据集合关系，得或，利用分类讨论求出的范围.

【详解】

（1）∵

且

（2）由题意得．

∵

,

∴或

①当时, ,得;

②当时,解得．

综上所述,所求的取值范围为．

【点睛】

该题考查的是与集合相关的参数的取值范围的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有集合的交集，集合的补集，以及集合之间的包含关系，正确得出其满足的式子是解题的关键.

21．已知关于的方程的解集至多有两个子集，，．若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】

【解析】由二次方程的解的个数可得，设，又是的必要不充分条件，则，列不等式组可得或求解即可.

【详解】

解：∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件，

对于，依题意，知，∴，

设，，

由题意知，∴，或，解得，

故实数 的取值范围是：．

【点睛】

本题考查了充要条件与集合间的包含关系,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题.

22．已知，，.

（1）若，求证：；

（2）若，求的最小值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）直接利用均值不等式计算得到答案.

（2）变换得到，故，代入不等式，整理化简利用均值不等式计算得到答案.

【详解】

（1）因为，，所以，由，得，

故，，当且仅当时，等号成立.

（2）由得.

.

当且仅当，且时，两个等号同时成立.

即当且仅当且，的最小值是.

【点睛】

本题考查了均值不等式的应用，意在考查学生的计算能力和转化能力，变换是解题的关键.