精品解析：北京市中关村中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

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2021-2022学年北京市海淀区中关村中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）.1. 已知数列的通项公式为，则257是这个数列的（    ）A. 第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项【答案】C【解析】【分析】将代入通项公式求解即可.【详解】令，解得.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项公式及其应用，属于基础题.2. 两个数的等差中项是（　　）A.  B.  C. 5 D. 4【答案】C【解析】【分析】利用等差中项的定义即可得出结论．【详解】两个数的等差中项为.故选：C．3. 已知数列中，，，则等于（　　）A.  B. 12 C.  D. 16【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的定义、通项公式即可得出结论．【详解】由，可得，则数列为等差数列，且公差为，所以，则.故选：C．4. 下列结论正确的是（    ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】利用导数运算确定正确选项.【详解】，A正确，，B错误，，C错误，，D错误.故选：A5. 若1，，，，4成等比数列，则（    ）A. 16 B. 8 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据1，，，，4成等比数列，利用等比中项求解.【详解】因为1，，，，4成等比数列，，，(负不合题意，奇数项符号相同)，则，故选：B.6. 若函数在上是减函数,则实数m取值范围是(　　)A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的对称轴，结合函数的单调性得到不等式解出即可．【详解】函数的对称轴是：，若函数在上是减函数，只需，即即可，故选：B．7. 直线是曲线的一条切线，则实数b=（    ）A. -1或1 B. -1或3 C. -1 D. 3【答案】B【解析】【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得的值.【详解】令，解得，故切点为或，而，所以或.故选：B8. 如图，从上往下向一个球状空容器注水，注水速度恒定不变，直到t0时刻水灌满容器时停止注水，此时水面高度为h0．水面高度h是时间t的函数，这个函数图象只可能是（　　）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据球的形状，结合单位时间内高度的变化情况进行判断．【详解】容器是球形，两头体积小，中间体积大，在一开始单位时间内高度的增长速度比较慢，超过球心后高度的增长率变快根据图象增长率可得对应的图象是本题正确选项：【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数图象的增长速度是解决本题的关键．9. 如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论：①在区间上是增函数；②是的极小值点；③的零点为和；④是的极大值点．其中正确结论的序号是（　　）A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③④【答案】A【解析】【分析】利用导函数的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案．【详解】由导函数的图象可知，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，故①正确，②正确；又和是的零点（是极值点），不是的零点，且不是的极大值点，故③④均错误；故选：A10. 一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】利用每年后的价值成等比数列，可求得结果.【详解】依题意可知第一年后的价值为 ，第二年后的价值为，依此类推可知每年后的价值成等比数列，其首项，公比为， 所以年后这批设备的价值为.故选:D。【点睛】本题考查了数列的简单应用，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.11. 数列是等比数列，m，n，p∈，则“”是“m＋n＝2p”的（　　）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由已知等比数列的通项公式分别检验充分性及必要性即可判断．【详解】因为数列是等比数列，m，n，p∈，若，则一定成立，此时m，n，p可以是任意正整数，即m＋n＝2p不一定成立，当m＋n＝2p，，则“”是“m＋n＝2p”的必要不充分条件．故选：B．12. 设（），则等于（　　）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定和式形式找出规律，利用等比数列前项和公式直接计算作答.【详解】数列是首项为2，公比为的等比数列，共有项，所以.故选：D.二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.13. 在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如表．观察表中数据的特点．年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135a145舒张压（水银柱毫米）707375788083b88则a＝________，b＝_______．【答案】    ①. 140    ②. 85【解析】【分析】由题意知，表格中的收缩压形成一个等差数列，舒张压的奇数项形成一个等差数数列，从而求解．【详解】由题意知，表格中的收缩压形成一个等差数列，公差为5，故a＝135+5＝140；表格中的舒张压奇数项形成一个等差数列，公差为5，故b＝80+5＝85.故答案为：140，85．14. 函数的导函数______.【答案】【解析】【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果.【详解】∵，∴.故答案为：.15. 设等差数列的前n项和为，若，，则n＝________时，有最小值为 ________．【答案】    ①. 4或5    ②. －10【解析】【分析】由已知结合等差数列的求和公式先求出，然后结合二次函数的性质即可求解．【详解】因为等差数列中，，，则d＝1，所以，根据二次函数的性质可知，当n＝4或5时，有最小值－10．故答案为：4或5，－10．16. 已知数列满足，，则_________．【答案】【解析】【分析】求出数列的通项公式，然后求解即可．【详解】数列满足，，所以数列是等差数列，首项为1，公差为1，所以，所以，．故答案为：．17. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则经过_______后池水中药品的浓度达到最大.【答案】2【解析】【详解】C＝＝5当且仅当且t＞0，即t＝2时取等号考点：基本不等式，实际应用18. 已知数列的前n项和为，现将该数列按如下规律排成个数阵：按行排列，第行有项，每一行从左到右项数依次增大，记为该数阵中第行从左到右第个数的坐标，则坐标为对应的数为 _______；对应的坐标为 ________【答案】    ①. 41    ②. 【解析】【分析】利用，求出，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，可求对应的数，进而可求对应的坐标．【详解】∵数列的前n项和为，∴，时，，时，上式成立，∴，将该数列按第行有个数排成一个数阵，如图，由该数阵前n行有：项，前四行共有15项，∴该数阵第5行从左向右第5个数字为；又∵，项，所以，故应排第11行第999个位置，故对应的坐标为．故答案为：①41；②．【点睛】思路点睛：主要观察数阵规律，可找到数阵第8行从左向右第8个数字的求法，考查等差数列和等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.19. 已知数列满足，，等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）依题意为等比数列，由等比数列的通项公式计算可得；由，，求出公差，进而得到；（2）求得，利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）由，，可得；设等差数列的公差为，由，，可得，则；（2），可得数列的前项和为．20. 已知函数在处有极值2.（Ⅰ）求的值（Ⅱ）求函数的单调区间（Ⅲ）若函数在区间上有三个零点，写出的取值范围（无需解答过程）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）单调增区间为；减区间为；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据极值定义列方程求解即可；（Ⅱ）分别求解不等式与即可得出结果；（Ⅲ）根据极值与单调性数形结合即可求解．【详解】（Ⅰ）由，依题意得，解得；（Ⅱ）由解得；当，解得或；所以函数单调增区间为；减区间为；（Ⅲ）一、选择题（共5小题，每小题4分，共20分）.21. 函数有（　　）A. 有极小值1，无极大值 B. 有极大值1，无极小值C. 有极大值1，有极小值0 D. 无极大值，也无极小值【答案】A【解析】【分析】对函数求导，求出增减区间，然后判断函数的极值即可．【详解】函数的定义域为，求导得，由，得，由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，无极大值.故选：A22. 已知是等差数列的前n项和，且，有下列四个命题，假命题的是（    ）A. 公差 B. 在所有中，最大C. 满足的n的个数有11个 D. 【答案】C【解析】【分析】根据题设条件可判断数列是递减数列，这样可判断A是否正确；根据最大，可判断数列从第七项开始变为负的，可判断D的正确性：利用等差数列的前n项和公式与等差数列的性质，可判断、的符号，这样就可判断B、C是否正确．【详解】等差数列中，最大，且，，A正确；，，，D正确；,，，；的值当递增，当递减，前12项和为正，当时为负．故B正确；满足n的个数有12个，故C错误.故选C．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最值在等差数列中,存在最大值的条件是：，;存在最小值的条件是：，．23. 如图，过原点斜率为k的直线与曲线交于两点，,①k的取值范围是．②．③当时，先减后增且恒为负．以上结论中所有正确结论的序号是（　　）  A. ① B. ①② C. ①③ D. ②③【答案】C【解析】【分析】对于①，构造，，求导，结合函数有两个不同的零点，得到，并求出的单调性和极值，最值情况，由得到①正确；对于②，在①的基础上，得到，从而得到②错误；对于③，由①②，结合图象得到③正确.【详解】对于①，令，，则，由已知有两个不同的零点，当时，恒成立，故在上单调递减，不满足有两个不同的零点，舍去；则，令得，令得，∴在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值，又时，，时，，∴只需，则，故①正确；  对于②，由①可知，∴，故②错误；对于③，结合图象可知，当时，先减后增且恒为负，故③正确．∴所有正确结论的序号是①③．故选：C【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.24. 已知数列，若存在一个正整数使得对任意，都有，则称为数列的周期.若四个数列分别满足：①，；②，；③，，；④，.则上述数列中，8为其周期的个数是（    ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】利用数列的周期的定义逐项分析即得.【详解】①∵，∴数列的周期为，故8也是数列的周期；②由，，可得故数列的周期为；③由，，可得，，故数列的周期为；④由，可得，，故数列的周期为，所以8也是数列的周期.故8为其周期的数列个数为2.故选：B.25. 若函数在区间上，对，为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”.已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】，所以在单调递减，单调递增，，，则只需，函数就是“三角形函数”，所以，解得，故选D．点睛：本题关键是理解三角形函数的定义，要对任意的都满足，则只需即可（三角形较小的两边之和大于第三边），通过求导得到函数的最小值和最大值，代入计算，得到的取值范围．二、解答题共3小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.26. 已知数列满足：，.（1）求，，；（2）求证：数列是等比数列；（3）令（），如果对任意，都有，求实数的取值范围.【答案】（1），，    （2）见解析    （3）【解析】【分析】(1)结合递推公式即可求解；(2)由可得到当时，，然后两式相减得到，最后利用等比数列的定义即可求解；(3)由(1)中结论求出数列的通项公式，然后求出的最大值，再通过一元二次不等式即可求解.【小问1详解】因为，所以，，，解得，，.【小问2详解】因为   ①，所以当时，   ②，由①②并整理得，，从而，又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.【小问3详解】由(2)可知，，故因，即对任意恒成立，所以，由可得，；可得 ，故，即，从而，解得或，故实数的取值范围为.27. 已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的极小值；（3）求函数的零点个数．【答案】（1）；（2）；（3）个．【解析】【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数的单调性，进而可得出该函数的极小值；（3）由当时，以及，结合函数在区间上的单调性可得出函数的零点个数.【详解】（1）因为，所以．所以，．所以曲线在点处的切线为；（2）因，令，得或．列表如下：a0 极大值极小值 所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以，当时，函数有极小值；（3）因为，，所以由（2）得，当时，，又．由（2）可知，函数在上单调递增，所以函数的零点个数为．【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程、极值以及利用导数研究函数的零点问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.28. 给定数列.对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.（1）设数列为，，，，写出，，的值；（2）设是公比大于的等比数列，且.证明：是等比数列.（3）设是公差大于的等差数列，且，证明：是等差数列.【答案】充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明一个数列是等差数列或等比数列，常用定义法.【解析】【详解】（1）.（2）因为，公比，所以是递增数列.因此，对，，于是对，.因此，，且，即成等比数列.（3）设为的公差.对，因为，所以，又因为，所以.从而是递增数列.因此.又因为，所以.因此.所以.所以因此，对于都有，即是等差数列.【考点定位】本题考查了数列的最值、等差数列和等比数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.