精品解析：福建省莆田第十五中学、二十四中学2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题（解析版）

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高二上学期数学期末试卷一､选择题（每题5分，共60分）1. 若数列满足，，（且），则等于（    ）A.  B. 2 C. 3 D. 【答案】C【解析】【分析】先由题设求得数列的前几项，然后得到数列的周期，进而求得结果.【详解】因为，，（且），所以，， ，，，，，所以数列是周期为的周期数列，所以，故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）根据题中所给的前两项以及递推公式，逐项写出数列的前几项；（2）根据规律判断出数列的周期；（3）根据所求的数列的周期，求得，进而求得结果.2. 经过点，倾斜角为的直线方程为　　A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求出直线斜率，再由点斜式求得直线的方程．【详解】倾斜角为的直线的斜率，再根据直线经过点，由点斜式求得直线的方程为，即，故选D．【点睛】本题考查了由点斜式的方法求直线的方程，属于基础题．3. 已知点到直线的距离为，则等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】解：由题意得．解得或．，．故选：C.4. 从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为（    ）A. 12 B. 18 C. 24 D. 36【答案】C【解析】【分析】根据排列组合公式和奇数的特点即可得到答案.【详解】从1，3，5中取两个数有种方法，从2，4中取一个数有种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，另外两个数全排列即可，故奇数的个数为.故选：C.5. 等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【详解】∵a1＋a5＝10，a4＝7，∴⇒d＝26. 顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程是A. B. C. 或D. 或【答案】D【解析】【详解】试题分析：设抛物线为，代入点，解得，则抛物线方程为；设抛物线为，代入点，解得，则抛物线方程为；故D为正确答案．考点：1、抛物线方程的求法；2、分类讨论的思想．7. 高三要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是A. 1800 B. 3600 C. 4320 D. 5040【答案】B【解析】【详解】试题分析：先排除了舞蹈节目以外的5个节目，共种，把2个舞蹈节目插在6个空位中，有种，所以共有种.考点：排列组合.8. 双曲线C两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的定义求出，然后可求得答案.【详解】2a＝所以，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为故选：B9. 设圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列选项正确的是（    ）A. 圆A的半径为2B. 圆A截y轴所得的弦长为2C. 圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1D. 圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离【答案】ABC【解析】【分析】将圆化为标准式即可判断A，根据弦长求法判断B，求出圆心到直线的距离进而判断C，计算两圆的圆心距进而判断D.【详解】把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以该圆A的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A项正确；圆心到y轴的距离为1，该圆A截y轴所得的弦长为，B项正确；圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C项正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据圆心距为，而半径和为：2+3=5，所以圆A与圆B外切，D项错误.故选：ABC.10. 设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）A.  B. 与是的最大值C.  D. 【答案】ABD【解析】【分析】对于A，根据求和的定义，可得，，结合等差数列公差的定义，可得答案；对于B，根据数列的通项公式，结合公差的取值范围，可得数列的单调性，易得答案；对于C，利用作差法，结合等差数列中等差中项的推论，可得答案；对于D，根据A的结论，可得答案.【详解】对于A，由，则，即，由，则，即，因为，所以，故A正确；对于B，由是等差数列，则可设，由A可知，是单调递减的数列，易知当时，；由，则，当时，，故和是的最大值，所以B正确；对于C，，则，故C错误；对于D，由A可知D正确.故选：ABD.11. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ）A. 若任意选择三门课程，选法总数为B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为【答案】ABD【解析】【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D.【详解】解：由题意得：对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为，A错误；对于选项B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余五门中选，有种选法；若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，故B错误；对于选项C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确；对于选项D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法；②选化学，不选物理，有种选法；③物理与化学都选，有种选法.故总数，故D错误故选：ABD12. 已知双曲线上的点到和的距离之差的绝对值为，则下列结论正确的是（    ）A. 的标准方程为 B. 的渐近线方程为C. 的焦点到渐近线的距离为 D. 圆与恰有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】根据定义求出双曲线的标准方程，可判断A选项的正误；求出双曲线的渐近线方程，可判断B选项的正误；求出的焦点到渐近线的距离，可判断C选项的正误；联立圆与曲线的方程，求出交点个数，可判断D选项的正误.【详解】根据双曲线的定义，，，得，，所以的方程为，A正确；双曲线C的渐近线为，B错误；双曲线的一个焦点为，到渐近线的距离为，C正确；联立，解得，圆与恰有个公共点，D错误.故选：AC.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的定义、渐近线、以及圆与双曲线的公共点个数问题，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.二､填空题（每题5分，共20分）13. 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.【答案】9【解析】【分析】根据分类加法计数原理即可得解.【详解】解：由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有种.故答案为：9.14. 设等比数列满足.则通项公式________．【答案】【解析】【分析】把数列的项，分别用表示出来，列出方程，即可得到结果.【详解】设的公比为，则.由已知得，解得，，所以的通项公式为.故答案为:15. 双曲线的渐近线方程为________.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的方程求得，进而的其渐近线的方程.【详解】由双曲线，可得双曲线的焦点在轴上，且，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：.16. 已知圆的圆心在轴上，并且过点和，则圆的方程是______.【答案】.【解析】【分析】设圆心坐标为,根据、两点在圆上利用两点的距离公式建立关于的方程，解出值.从而算出圆的圆心和半径，可得圆的方程.【详解】设圆心坐标为,点和在圆上，
，即，解之得，可得圆心为.
半径,圆的方程为.故答案为：.【点睛】本题考查圆的方程的求解，关键在于设出圆心的坐标，由圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径，建立方程，属于基础题.三､解答题（17题10分､其余每题12分，共70分.）17. （1）设是等差数列，且，，求的通项公式；（2）设是公比为正数的等比数列，若，，则数列的前7项和.【答案】（1）；（2）127【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，利用已知条件求出，可得答案；（2）设等比数列的公比为，由已知条件求出，再由等比数列的求和公式可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，， 所以，所以；（2）设等比数列的公比为，由，，得，解得，所以.18. 求圆在点处的切线方程.【答案】【解析】【分析】根据点在圆上，求得可得，得到切线斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由圆的方程，又由点在圆上，可得，所以切线斜率，所以切线方程为，即.19. 已知. 求：（1）； （2）； （3）；【答案】（1） ；（2）；（3）.【解析】【分析】赋值法 （1）令得：；令可得.（2）令,再两式相减可得.（3）令,再两式相加可得.【详解】解 （1）令，则 ① 令，则② 又，则所以（2）两式相减，得（3）两式相加，得【点睛】赋值法在求各项系数和中的应用(1)形如， ()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可．(2)对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．(3)若，则展开式中各项系数之和为．20. 已知抛物线C与双曲线有相同的焦点，且顶点在原点，求抛物线C的方程.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的焦点坐标，即抛物线的焦点坐标，即可得解.【详解】因为双曲线的焦点为.设抛物线方程为，则，所以，所以抛物线方程为x.21. 已知数列的前n项和．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用求得数列通项公式.（2）利用分组求和法求得数列的前项和.【详解】（1）当时，；当时，，当时，上式也符合.故数列的通项公式为．（2）由（1）知，，记数列的前项和为，则．记，则，．故数列的前项和．22. 已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于M，N两点.求弦MN的长.【答案】【解析】【分析】根据定点坐标得到值，再根据离心率和关系即可求出，最后联立直线方程解出交点横坐标，最后利用弦长公式即可得到答案.【详解】由已知得，且，即，所以，即，解得，所以椭圆方程为.将与联立，消去得，所以，所以所求弦长.