精品解析：广西壮族自治区河池市2022-2023学年高二上学期2月期末数学试题（解析版）

河池市2022年秋季学期高二年级教学质量检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回.

4.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章.

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知点关于轴对称的点为点，则（    ）

A.  B.  C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间坐标系中的点关于轴的对称可得对称点坐标，进而根据点点距离即可求解.

【详解】关于轴对称的点为点，则.

故选：.

2. 已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】分别令，，求解即可.

【详解】对于A，令，解得：，故A不正确；

对于B，令，解得：，故B不正确；

对于C，令，解得：，故C不正确；

对于D，令解得：或（舍）,故D正确.

故选：D.

3. 已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行得到关于a的方程，求出的值，再由两平行线之间的距离公式计算即可.

【详解】因为直线，相互平行，

所以，解得，

所以，即，

所以、之间的距离.

故选：A.

4. 已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】计算得出椭圆的长轴长，即可得出以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，即可得出该圆的最小面积.

【详解】由题意知该椭圆的长轴长为，

以16为弦长的圆的最小半径为8，

所以圆的最小面积为，

故选：D．

5. 已知是等差数列的前项和，若，则（    ）

A. 15 B. 18 C. 23 D. 27

【答案】B

【解析】

【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列的性质求解即可.

【详解】因为是等差数列的前项和，

所以，

故选：B．

6. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点共面的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】，分析出当共面时，，从而分析四个选项，得到正确答案.

【详解】当共面时，不妨设，

变形得到，

则，

设，若点与点共面，

则，

只有选项中符合题意.

故选：.

7. 已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当 共线且点在之间时，最小，由勾股定理即可求解.

【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时，

最小，由于所以min，

所以.

故选：.

8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（    ）

A. 4 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意求出点坐标，根据直线过焦点的直线，联立抛物线方程求出点的横坐标，根据抛物线的焦点弦的弦长公式求解即可.

【详解】因为，所以，所以，

所以，又，所以4），

即，又，

所以，解得或，所以，

又因为，

点到直线的距离，

所以的面积.

故选：.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】由等比数列的定义求得公比，从而求得，得通项公式，前项和，判断各选项．

【详解】设等比数列的公比为，

，，，故A错误；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误．

故选：BC．

10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若为坐标原点，则（    ）

A. 点的坐标为 B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义结合已知可求出点的坐标，从而可得答案.

【详解】由题可知，

因为点在抛物线上，且，

所以，

解得，

所以，

故选：BD.

11. 如图，在四棱柱中，，，则下列说法正确的是（    ）

A.  B.

C.  D. 直线与所成角的余弦值为

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，利用空间向量的加法法分析判断，对于B，由两边平方化简可求出，对于C，由两边平方化简可求出，对于D，利用向量的夹角公式求解判断.

【详解】，故正确；

因为，所以，

即，解得或舍，故错误

因为，

所以，

所以，故错误；

因为，

所以，

，

所以，

所以直线与所成角的余弦值为，故D正确.

故选:AD.

12. 已知双曲线的右焦点为，左、右顶点分别为、，点是双曲线上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是（    ）

A. 过点有且仅有条直线与双曲线有且仅有一个交点

B. 点关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线上

C. 若直线、的斜率分别为、，则

D. 过点的直线与双曲线交于、两点，则的最小值为

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线与双曲线的位置关系可判断出A选项；求出点关于双曲线的渐近线的对称点的坐标，再将点的坐标带入双曲线的方程，可判断B选项；利用点差法可判断C选项；求出当直线的斜率为时的值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，过点垂直于轴的直线、平行于渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，所以至少有条，故A错误；

对于B选项，易得，双曲线的一条渐近线方程为，

设点关于的对称点为，

则，解得，所以，

又，即点在双曲线上，故B正确；

设，所以，即，

所以，故C正确；

当直线的斜率为时，，故D错误．

故选：BC

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为______．

【答案】

【解析】

【分析】写出点斜式方程，化为一般式方程.

【详解】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为.

故答案为：

14. 已知圆与圆，则两圆的位置关系为________．

【答案】相交

【解析】

【分析】根据圆的位置关系直接得出.

【详解】根据两圆方程，

得，，，

，

两圆相交．

故答案为：相交.

15. 在数列中，，且，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据等差中项可判断为等差数列，进而根据等差数列的基本量求解.

【详解】因为，所以为等差数列，又，设的公差为，所以，解得，所以，所以.

故答案为：

16. 已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】首先由可得是在以为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面的交线，故取值最小时，，，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案.

【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上，

由于，，

取值最小时，其在平面内，

其在平面的交线为如图所示的圆弧.

故取值最小时，，，三点共线，

通过点往作垂线，垂足为，则，

则，故，

代入解得，从而，

因此

.

故答案为：.

关键点点睛：本题考查立体几何中点的轨迹问题，解题关键是找到点在平面的运动轨迹．进而得到取值最小时，，，三点共线，然后通过点往作垂线，垂足为，进而可计算出在上的投影，进而得到答案.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.

17. 已知数列是等差数列，且.

（1）求的通项公式；

（2）若数列的前项和为，求.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)由等差数列的概念计算基本量即可；

(2)根据等差数列的求和公式计算即可.

【小问1详解】

设的公差为，则，解得，

所以；

【小问2详解】

由（1）知；

得.

18. 已知抛物线C：过点．

（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度．

【答案】（1），准线方程为   

（2）

【解析】

【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程；

（2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案.

【小问1详解】

∵过点，

∴，解得，

∴抛物线C：，准线方程为；

【小问2详解】

由（1）知，抛物线焦点为，

设直线AB：，，，

由，得：，则，

则．

19. 已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．

（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；

（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用双曲线的焦点坐标及标准方程，结合双曲线中三者的关系及双曲线的渐近线方程即可求解.

（2）根据已知条件及直线的点斜式方程，将联立双曲线方程与直线方程，利用韦达定理及点在直线上，结合两点间的距离公式及双曲线的离心率公式即可求解.

【小问1详解】

∵点是双曲线的一个焦点，∴，

又∵且，解得，

∴双曲线的方程为，

∴双曲线的渐近线方程为；

【小问2详解】

设直线的方程为且，

联立,可得，

则，∴，即，

∴

解得，即由可得，

故双曲线的离心率为．

20. 已知圆与圆关于直线对称.

（1）求圆的标准方程；

（2）直线与圆相交于两点，且的外接圆的圆心在内部，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，由题意可得，解方程即可得出答案.

（2）由题意可得是锐角三角形，令到的距离为，则，由点到直线的距离公式代入求解即可得出答案.

小问1详解】

设，则，

解得

所以圆的标准方程为；

【小问2详解】

因为的外接圆的圆心在内部，

所以是锐角三角形，

又是以为腰的等腰三角形，

，

令到的距离为，则，

，

解得：.

21. 如图，在三棱锥中，底面，，，，，，分别是上的三等分点，是的中点．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）用余弦定理求出，从而得到，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明出线面垂直；

（2）求出平面的法向量，进而求出两平面的夹角余弦值.

【小问1详解】

证明：，，，

根据余弦定理得，

所以，

所以，

以点为坐标原点，，所在直线为，轴，经过点垂直于，的直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，，

，，

，

平面

【小问2详解】

，，，

设平面的一个法向量为，

由，所以

令，则，，

可得，

设平面一个法向量，

由令，得，，

可得，

，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

22. 已知椭圆）的离心率为，且与直线相切.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线：与椭圆交于两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）根据题意得，由与直线相切，联立方程得，即可解决；

（2），结合韦达定理得，即可解决.

【小问1详解】

由题知，，

所以椭圆为，即，

因为与直线相切，

所以，消去得，

所以，

所以，得，

所以椭圆的标准方程为；

【小问2详解】

设，

由，得

所以，

所以

，

所以，解得，

所以存在点，使得为定值.