数学八年级上册14.3.2 公式法教学课件ppt

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如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2– b2=(a+b)(a–b)
1. 探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．
2. 能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．
用平方差公式进行因式分解
多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a，b两数的平方差的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
两数是平方，减号在中央．
(x+5y)(x–5y)
a2 – b2 =
利用平方差公式分解因式的应用
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
分解因式：(1)(a＋b)2–4a2； (2)9(m＋n)2–(m–n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b–2a)(a＋b＋2a)
＝(b–a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
解：(1)原式＝(x2)2–(y2)2
＝(x2+y2)(x2–y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x–y);
(2)原式＝ab(a2–1)
＝ab(a+1)(a–1).
分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
分解因式：(1)5m2a4–5m2b4； (2)a2–4b2–a–2b.
＝(a＋2b)(a–2b–1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a–b)；
解：(1)原式＝5m2(a4–b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2–b2)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
联立①②组成二元一次方程组，
利用因式分解求整式的值
方法总结：在与x2–y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
已知x–y=2，x2–y2=8，求x+y的值.
例4 计算下列各题：(1)1012–992； (2)53.52×4–46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101–99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52–46.52)
＝ 4× (53.5＋46.5)(53.5–46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
利用因式分解进行简便运算
用平方差公式进行简便计算:(1)38²–37² (2)213²–87²(3)229²–171² (4)91×89
解：(1) 38²–37²=(38+37)(38–37)=75
(2) 213²–87²=(213+87)(213–87)=300×126=37800
(3) 229²–171²=(229+171)(229–171)=400×58=23200
(4) 91×89=(90+1)(90–1)=90²–1=8100–1=8099
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
若a，b，c是三角形的三边，且满足关系式a2–2bc=c2–2ab，试判断这个三角形的形状.
解：∵a2–2bc=c2–2ab， ∴(a2–c2)+ 2ab–2bc=0，(a+c)(a–c)+ 2b（a-c）=0，∴(a–c)(a+c+2b)=0.∵a+c+2b≠0，∴a–c=0，即a=c，∴这个三角形是等腰三角形.
分析：已知等式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解，得到a=c，即可确定出三角形形状.
1. 多项式4a–a3分解因式的结果是(　　)A．a(4–a2) B．a(2–a)(2+a)C．a(a–2)(a+2) D．a(2–a)2
2. 若a+b=4，a–b=1，则(a+1)2–(b–1)2的值为　 　．
解析：∵a+b=4，a–b=1，∴(a+1)2–(b–1)2=(a+1+b–1)(a+1–b+1)=(a+b)(a–b+2) =4×(1+2)=12．
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A．a2＋(–b)2 B．5m2–20mnC．–x2–y2 D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是(　　)A．x(x2–1) B．x(1–x2)C．x(x+1)(x–1) D．x(1+x)(1–x)
3.若a+b=3，a–b=7，则b2–a2的值为(　　)
A．–21 B．21 C．–10 D．10
4.把下列各式分解因式：(1)16a2–9b2=_________________; (2)(a+b)2–(a–b)2=_________________; (3) 因式分解：2x2–8=_________________; (4) –a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a–3b)
(4+a2)(2+a)(2–a)
5.若将(2x)n–81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x–3)，则n的值是_____________.
2(x+2)(x–2)
1. 已知4m+n=40，2m–3n=5．求(m+2n)2–(3m–n)2的值．
原式= – 40×5= –200．
解：原式=(m+2n+3m – n)(m+2n – 3m+n)
=(4m+n)(3n – 2m)
= –(4m+n)(2m – 3n)，
当4m+n=40，2m–3n=5时，
2.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
6.82–4×1.62
＝6.82– (2×1.6)2
＝(6.8＋3.2)(6.8 – 3.2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
(1)992–1能否被100整除吗？
解：(1)因为 992–1=(99+1)(99–1)=100×98，
所以，(2n+1)2–25能被4整除.
(2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
所以992–1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1–5)
=(2n+6)(2n–4)
=2(n+3) ×2(n–2)=4(n+3)(n–2).
a2–b2=(a+b)(a–b)
一提：公因式；二套：公式；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.