人教版八年级上册第十五章 分式15.3 分式方程第1课时教案设计

第十五章  分式

15.3 分式方程

第1课时   分式方程及其解法

一、教学目标

【知识与技能】

1.理解分式方程的概念,能将实际问题中的等量关系用分式方程表示,体会分式方程的模型作用;

2.知道分式方程的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程.

3. 了解分式方程产生增根的原因，掌握解分式方程验根的方法.

【过程与方法】

经历“实际问题—分式方程模型”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.

【情感、态度与价值观】

1.在探索活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.

2. 通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想.

二、课型

新授课

三、课时

第1课时

四、教学重难点

【教学重点】 

1. 正确、完整地解可化为一元一次方程的分式方程.

2.探索如何将分式方程转化为整式方程并掌握解分式方程的一般步骤.

【教学难点】 

产生增根的原因.

五、课前准备 

教师：课件、直尺等。

学生：三角尺、练习本、铅笔、圆珠笔或钢笔。

六、教学过程

（一）导入新课

甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工1件,已知乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同.甲每天加工多少件服装?

解:设甲每天加工x件服装，根据题意，得

=

这样的方程与以前学过的方程一样吗？（出示课件2）

（二）探索新知

1.创设情境，探究分式方程的概念

教师问1：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它沿江以最大航速顺流航行90 km所用时间,与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等,江水的流速为多少?
    学生讨论后回答：解:设江水的流速为 v km/h，根据题意，得
=

教师问2：为了帮助遭受地震的灾区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？

学生回答：＝.

观察我们得到两个方程：＝，＝.

教师问3：上面所得到的方程是我们以前学过的方程吗？

学生回答：不是.

教师问4：以前我们学过什么方程？试举例说明.

学生回答：以前学过一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.

教师问5：仔细观察这两个方程，未知数的位置有什么特点？

学生回答：分母中都含有未知数．

教师问6：以前学过的方程与上面刚得到的两个方程有什么不同？

学生回答：以前学过的都是整式方程，里面没有分式，而刚才的两个方程都含分式，且有未知数处在分母的位置上.

教师问7：方程 与上面的方程有什么共同特征？（出示课件4）
    学生回答：分母中都含有未知数．

教师问8：你能尝试给它一个名字吗？说一说命名的原因.

学生讨论后回答：分式方程.

教师问9：为什么叫做分式方程呢？

学生回答：因为它里面含有分式.

教师问10：方程x＋(x＋1)＝是不是分式方程？为什么？

学生回答：不是，因为它不含分式，分母中没有未知数.

教师问11：你能归纳出分式方程的概念吗？

学生回答：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

总结点拨：（出示课件5）

分式方程的概念：
　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
    分式方程的特征：分母中含有未知数.
    注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．
    2.师生互动，探究分式方程的解法

教师讲解：分式方程和我们以前研究的一(二)元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型，但它从形式上又与它们不同：分母中含有未知数.要使上述2个问题得到真正的解决，则必须想方设法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我们就一起来学习“分式方程的解法”.

教师问12：你会解分式方程：(1)＝；(2)＝.

学生回答：不会解这两个方程》

教师问13：为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

回顾一下一元一次方程是怎么去分母的？

学生回答：方程的两边同乘以最简公分母.

教师问14：从中能否得到一点启发？

学生回答：分式方程的两边也乘以最简公分母.

教师问15：我们可以试解方程＋＝2.

学生回答：解：方程两边同乘以6得：3（3x-1）+2(5x+2)=6×2

             去括号得：9x-3+10x+4=12

             移项得：9x+10x=12+3-4

            合并同类项得：19x=11

           系数化为1得：x=

教师问16：能不能效仿有分母的一元一次方程的解法，想办法去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？

学生回答：

解：(1)＝

方程两边同乘以（30+v）(30-v)得：90（30-v）=60(30+v).

             去括号得：2700-90v=1800+60v

             移项得：-90v-60v=1800-2700

            合并同类项得：-150v=-900

           系数化为1得：v=6

解：(2)＝.

方程两边同乘以（x+20）x得：4800（x+20）=5000x.

             去括号得：4800x+96000=5000x

             移项得：4800x-5000x=-96000

            合并同类项得：-200x=-96000

           系数化为1得：x=480

教师问17：怎样去分母？

学生回答：方程的两边乘以最简公分母.

教师问18：如何找最简公分母呢？

学生回答：把分母相乘即可.

教师问19：下边方程的公分母是多少呢？

学生讨论后回答：12（x-3）2

教师问20：由此我们如何找最简公分母呢？

师生共同解答如下：（1）定系数：找系数的最小公倍数；（2）定相同因式：相同因式取指数较大的因式；（3）定单独因式：单独的因式作为公分母的一个因式.

教师问21：这样做的依据是什么？（出示课件8）

学生回答：等式的基本性质.

总结点拨：（出示课件9）

（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．
（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．

教师问22：你得到的解v=6是分式方程的解吗？(出示课件11)

学生回答：检验：把v=6代入分式方程得：
左边=        
右边=
左边=右边，所以v=6是原方程的解.
教师问23：试一试：解方程＝.（出示课件12）

学生回答：方程两边同乘以(x＋1)(x－1)，约去分母，得

x＋1＝2.

解这个整式方程，得

x＝1.

教师问24：x＝1真是原分式方程的解吗？

学生通过代回发现：x＝1时，原方程的分母为0，分式根本没有意义.

学生产生困惑并且问：问题出在哪里？

师生共同讨论，达成共识：问题只能出现在“去分母”这一步，其他步骤一点问题都没有.师捕住时机，提出问题2.

教师问25：同样是分式方程，前面解的两个方程为什么没有碰到这样的麻烦？解一元一次方程为什么也没有这些麻烦？具体一些，就是为什么＝去分母后所得整式方程90(30－v)＝60(30＋v)的解就是原分式方程的解，而＝去分母后所得整式方程x＋1＝2的解却不是原分式方程的解呢？（出示课件13）

师生共同讨论后解答如下：

因为在去分母时，两边乘了一个含未知数的整式，是否为零是事先不知道的，我们实际上是假定不为零来操作的，而第一个方程化整后的解不能使“(30＋v)(30－v)”等于零，避开了麻烦，而＝去分母后所得整式方程的解恰好使得两边乘的整式“(x＋1)(x－1)”等于零，这样就扩大了未知数的范围，以致出现分母为零的现象，因此x＝1只是化整后整式方程的解，而不是原分式方程的解，所以原方程无解.整式方程在去分母时，两边乘以的数是否为零一目了然，自然不会遇到以上的麻烦.由此得出结论，解分式方程必须检验.

总结点拨：

原因：
　　在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．
教师问26：解分式方程，如何检验？

师生共同解答如下：

方法一：和整式方程的检验一样，将去分母后获得的整式方程的解代入原方程的左右两端，看它们是否相等.

方法二：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.

教师问27：回顾解分式方程 与 ＝的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？（出示课件15）   
    师生共同解答如下：
    基本思路：将分式方程化为整式方程.
    一般步骤：
    （1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．
    注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．
    例1：解下列方程：（出示课件17）

师生共同解答如下：

解：方程的两边同乘以x(x–2)，
        得2x=3x–6
        解得：x=6
        检验：当x=6时，x（x–2）≠0.
        所以，原方程的解是x=6.
    例2：解方程：（出示课件19）

师生共同解答如下：

解：方程两边同乘（x-1）(x+2)                     
    得 x(x+2)-(x-1)(x+2) =3.
    化简，得x+2 =3.
    解得 x =1.
    检验：当 x =1时，（x-1）(x+2) =0，
    因此x =1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.
    总结点拨：（出示课件20）

解分式方程的思路：

解分式方程的一般步骤:

1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2.解这个整式方程.
3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4.写出原方程的解.
简记：一化二解三检验

总结点拨：（出示课件23）

易错易混点拨：

(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．
(2)约去分母后，分子是多项式时， 没有添括号．(因分数线有括号的作用）

(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.

（三）课堂练习（出示课件25-29）

1.若关于x的分式方程=1的解为x=2,则m的值为（  ）

A.5   B.4   C.3   D.2

2.方程=的解为（   ）

A. x=-1     B.x=0      C. x=    D.x=

3. 已知关于x的方程 有增根，求该方程的增根和k的值.
    4. 解方程:
       

参考答案：

1.B

2.D

3. 解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，
            整理，得x2+（k–2）x–4=0.
    因为有增根，所以增根为x=0或x=1.
    当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；
    当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.
    4. 解：方程可化为：

得

解得x=–3，
经检验：x=–3是原方程的根.
（四）课堂小结

今天我们学了哪些内容:

1.分式方程的定义.

2.(1)基本思想：分式方程整式方程.

(2)基本方法：方程两边乘以最简公分母.

(3)基本步骤：①在方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程(一元一次方程)；②解这个整式方程；③检验.

3.此类分式方程要么有一解，要么无解，两种可能.

（五）课前预习

预习下节课（15.3）152页到153页的相关内容。

了解列分式方程解应用题的一般步骤.

七、课后作业

1、教材152页练习1,2

2、解方程：(1)＝－；

(2)－＝.

八、板书设计：

九、教学反思：

1. 本节课的内容是分式方程的定义和简单分式方程的解法,在教学中应设计问题让学生理解分式方程和整式方程的区别与联系,分式方程转化为整式方程的几个方法,学生根据以往的经验会提到,适时引导学生总结,教学时应充分体现这种化归思想的教学.通过学生的练习让学生充分暴露思维过程,利用小组互查互助,体现学习的主人的优势,培养学生的解题能力.

2. 本设计首先创设出生活情境，让学生经历从实际问题抽象出数学、概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用，以及分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验根的合理性.